Matematica per le applicazioni I - i numeri razionali

MEMORIE DI MATEMATICA

EUGENIO MONTEFUSCO

Queste note sono semplicemente un promemoria. L’intenzione è

di ripassare alcuni argomenti di matematica che dovrebbero essere

già noti, usando esercizi, qualche applicazione e premettendo un

minimo di chiacchiere condito con qualche formula sintetica. Mi au-

guro che sia superfluo per tutti gli studenti, o che lo sia ben presto...

La dispensa è organizzata in cinque paragrafi, rifacendosi all’o-

rario dei precorsi di matematica. Il primo paragrafo parla di numeri

e intende richiamare solo le regole pratiche dell’algebra senza ad-

dentrasi nei problemi della fondazione della matematica. Nel para-

grafo si affronta lo studio di equazioni e disequazioni, proponendo

2

esercizi da risolvere. La sezione successiva richiama alcune nozioni

di geometria analitica. Infine, negli ultimi due paragrafi, si ripassano

i concetti di funzioni periodiche ed esponenziali, riflettendo un poco

su alcune definizioni basilari dell’analisi matematica che dovrebbero

essere note. Naturalmente la scelta degli argomenti è del tutto per-

sonale, aspetto suggerimenti o correzioni visto che non mancano

sviste o possibilità di miglioramento. Alcuni esercizi proposti sono

di taglio un po’ più teorico, nella speranza che aiutino a capire mag-

giormente la materia, gli esercizi di tipo standard dovrebbero essere

risolti senza eccessiva difficoltà.

In bibliografia sono riportati i testi a cui mi sono ispirato per l’or-

ganizzazione del materiale e la costruzione degli esercizi. Ovvia-

mente gli argomenti proposti sono solo una minima parte del ba-

gaglio culturale matematico che dovrebbe avere ogni scienziato, ma

per colmare le altre lacune contiamo sulla buona volonta del lettore!

Note redatte per il precorso di matematica per studenti del corso di laurea in

fisica, informatica e matematica, a.a. 2002-03.

1

2 EUGENIO MONTEFUSCO

1. N , , ...

UMERI NUMERI NUMERI

1.1. La prima classe di nu-

Due chiacchiere sui numeri razionali. numeri

meri che si incontra in matematica (e nella vita?) è quella dei

{0,

naturali ovvero Essi strettamente legati alla necessità

1, 2, 3, . . .}.

di enumerare. Le quattro operazioni note, ovvero somma, prodotto e

soprattutto le loro inverse sottrazione e divisione (o forse il bisogno

di gestire i debiti e le spartizioni?), ci costringono ad allargare i nostri

{0, ±1, ±2,

numeri interi

orizzonti. Si introducono cosı̀ i e, in un

. . .}

numeri razionali, frazioni,

secondo momento, i cioè l’insieme delle

ma entriamo nello specifico.

Per frazione intendiamo il rapporto di due interi, e supporremo

che il denominatore sia sempre un numero naturale non nullo, ovvero

un Due frazioni e si dicono equivalenti se

intero positivo. a/b c/d

in tale caso entrambe rappresentano lo stesso numero razio-

ad = bc,

nale. In genere si preferisce prendere come rappresentante la frazione

ridotta ai minimi termini, cioè quella il cui denominatore e numera-

tore non hanno fattori in comune (o, equivalentemente, hanno mas-

simo comun divisore Come noto valgono le seguenti leggi

1).

a c se e solo se

> ad > bc,

b d

a c ad + bc

+ = ,

b d bd

a c ac

· = ,

b d bd

c

a ad 6

: = , c = 0.

b d bc

Svolgere le seguenti espressioni.

1 1 1 1

1+ + + + ,

2 3 4 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

·

+ + 2 + + : + + ,

2 4 6 24 4 6 6 24 3 2 4

1 1 1 1 1 1 1

1: + : + : + : +1 ,

12 2 10 4 8 6 7

1 1 1 1 1 2 1

· −

+ + + + ,

2 4 8 16 3 5 7

MEMORIE DI MATEMATICA 3

1 1 1 1 1

− − − − −

2+ 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6

1 1 1 5

1

· −

1+ 1+ 1+ 1+ .

2 3 4 5 6

Alcuni problemi di geometria forzano ad allargare il nostro con-

numeri reali.

cetto di numero con l’introduzione dell’insieme Non

discuteremo di questo, rimandando ai corsi di analisi, e ci limiteremo

ad elencare gli assiomi che compongono la struttura di In questo

IR. ·

insieme sono definite due operazioni la somma e il prodotto ed

+

≤

un ordinamento che godono delle seguenti proprietà

∀a, ∈

b IR a + b = b + a,

∀a, ∈

b, c IR a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c,

∃0 ∈ ∀a ∈

tale che

IR a + 0 = a, IR,

∀a ∈ ∃(−a) ∈ tale che

IR IR a + (−a) = 0,

∀a, ∈ · ·

b IR a b = b a,

∀a, ∈ · · · · · ·

b, c IR a (b c) = (a b) c = a b c,

∃1 ∈ · ∀a ∈

tale che

IR\{0} 1 a = a, IR,

−1 −1

∀a ∈ ∃a ·

tale che

IR\{0} a a = 1,

∀a ∈ ≤

IR a a,

≤ ≤

se e allora

a b b a a = b,

≤ ≤ ≤

se e allora

a b b c a c,

∀a, ∈ ≤ ≤

o o

b IR a b b a,

∀a, ∈ · · ·

b, c IR a (b + c) = a b + a c

∀a, ∈ ≤ ≤

con allora

b, c IR a b a + c b + c,

∀a, ∈ ≥ · ≥

con allora

b, c IR a, b 0 a b 0.

4 EUGENIO MONTEFUSCO

−1

·

In futuro scriveremo e

a b = ab ab = a/b,

Infine menzoniamo l’assioma di continuità, il quale, insieme ai

precedenti assiomi, caratterizza noi non parleremo di questo as-

IR,

sioma rimandando a corsi o testi ([1] e [3], per esempio) più avanza-

ti. Proponiamo ora pochi esercizi di tipo teorico, essi possono essere

tralasciati per soffermarsi maggiormente sugli esercizi successivi.

Svolgere i seguenti esercizi.

∀a ∈

Provare che a0 = 0, IR.

≤ ≥

Provare che se allora

a 0 (−a) 0.

∈

Dimostrare che, dati se allora

a, b, c IR, a + b = a + c b = c.

≤ ≥ ≤

Mostrare che se e allora

a b s 0, as bs.

2 2

≤ ≤ ≤ ≥

Dimostrare che se allora (a cosa serve che

0 a b a b a 0?).

−1 −n

n n

Ponendo (n volte, con numero intero) e ,

a = a·. . .·a n (a ) = a

provare le seguenti proprietà delle potenze m

n m n+m n m n−m n nm 0

·

a a = a , a : a = a , (a ) = a , a = 1.

1.2. Tutti gli assiomi prece-

Problemi legati alla somma e al prodotto.

dentemente enunciati devono essere meditati: molti degli errori che

si ripetono con una certa frequenza sono dovuti ad una conoscenza

superficiale delle proprietà dei numeri reali. In particolare invitiamo

a riflettere sulla legge distributiva del prodotto rispetto alla som-

ma e al fatto che non possiede un inverso rispetto all’operazione

0

prodotto.

Semplificare le seguenti espressioni 34

34 2 4 1/2

−

(x x )

23

2 2

(1 + a) , 1 + a , .

3 4 3 1/3

−

(x x )

Spiegare perché le seguenti operazioni non sono corrette

p 2

3(1 + a )

x 2x 2+ x x +1 p 2

= , = , = (1 + a ),

2/3 3 2y y 3

√ √ √ √ √ √

x 3 2 6

·

= 1, 2+ 3= 5, 2 3= 6.

x MEMORIE DI MATEMATICA 5

Semplificare la seguente espressione

1 1

+ 2 2 2 2

− −

1 a b c (a + b)

−

a b c 2+ + .

1 1 bc 2bc

2 − −

a b c

1.3. Ordinare una coppia di nu-

Problemi legati all’ordinamento.

meri (ovvero dire chi è il più grande tra i due) può sembrare una

banalità eppure è un problema da affrontare con attenzione, avere

le idee chiare su quest’argomento significa capire molto meglio le

proprietà delle disequazioni.

Dire quali delle seguenti disuguaglianze sono vere

2 3 1 1 2 1

− −1, ≤ ≥

< , < , 1.

3 2 5 2 4 1/3 + 1/2

Assumendo che dire quali delle seguenti relazioni

a < 0 < b < c,

sono vere ≥ ≤

ab < ac, ab ac, ab ac, ab > 0.

1.4. Il valore assoluto o modulo di un numero

Il valore assoluto.

reale è cosı̀ definito ≥

se

a a 0

|a| = ,

−a se a < 0 |a|

il senso della definizione deve essere estremamente chiaro: è la

distanza di da su di una retta che rappresenta quindi, in parti-

a 0 IR,

colare, il modulo di un numero è sempre una quantità non negativa

ed è nulla se e solo se a = 0.

Approfittiamo del momento per sottolineare una cosa estrema-

mente importante, anche se decisamente poco nota. Poiché la radice

quadrata (come tutte le radici di ordine pari) da‘ come risultato solo

√ 2

∀a ∈ |a|!

numeri non negativi vale Più avanti ritroveremo

IR a =

questa uguaglianza.

Esercizi.

Calcolare i seguenti moduli

1 3 1

|2|, | − − · −

3|, 1+ 1 .

5 2 3

|a ≤ |a| |b|, ∀a, ∈

Provare che + b| + b IR.

6 EUGENIO MONTEFUSCO

2. E :

QUAZIONI E DISEQUAZIONI MISCELLANEA

2.1. Dagli assiomi di dis-

La legge di annullamento del prodotto. IR

cende che un prodotto è nullo se e solo se uno dei suoi fattori è ze-

ro, risolvere equazioni significa esattamente questo: calcolare i valori

dell’incognita per cui almeno uno dei fattori che compongono la nos-

tra espressione è nullo. Quindi dobbiamo saper scomporre in fattori

le nostre espressioni. 2 − −

Risolvere l’equazione x x 6 = 0.

2 −

Dire se l’equazione ha soluzioni.

x 5x + 7 = 1

2

(2x + 4)

Risolvere l’equazione = 0.

2 2

− −

x(x 1)(x 4) 3 2

− − −

Dire se è radice del polinomio e in caso

x = 2 2x x 4x 4,

−

affermativo dividere il polinomio per x 2.

3 2 2

− −

Dividere il polinomio per il polinomio

p(x) = 6x 2ax + a x 1

−

d(x) = a 2x.

2.2. Le proprietà dell’ordinamento dei

Il prodotto e il suo segno.

numeri reali ci dicono che un numero è maggiore di zero se e solo se

i suoi fattori negativi sono in numero pari (provarlo!), questa idea è

alla base della teoria delle disequazioni ed è fondamentale rifletterci

un poco sopra. Questa e la precedente spiegazione giustificano l’ac-

canimento nel fattorizzare opprotunamente polinomi e roba simile

per tanti anni di scuola...

Risolvere le seguenti disequazioni.

−

2 3x 1 x x x 1 1 1

− ≥ ≥

0, + + + + ,

5 2 2 4 8 2 4 8

3 1 x x

2

2 − − ≤ − −

x + 3 (x 1) 1 + 1 + x 3,

4 2 2 2

√ √ √

2 2

− − − ≥ − −

(x 3)(x 3) + ( 3x 1) 3 3(1 x), x 15x + 16 > 0,

2 ≥ − −

x 8, (x + 2)(x 2)(x 3) < 0, −

x 1 x +1

2

− − − ≥ −

(x 1)(x + 2)(x x 6) 0, < 2.

−

x +1 x 1

MEMORIE DI MATEMATICA 7

≥ ≥

Sapendo che se e solo se cosa si può dedurre

Ax + B 0 x 3,

2 ≥

per la disequazione Ax + b 0?

2

E’ vero che e sono equivalenti?

A(x) > 0 A (x) > 0

2.3. Questa tipologia di esercizi non pre-

Sistemi di disequazioni.

senta alcuna difficoltà rispetto ai precedenti, infatti si tratta di risol-

vere separatamente le disequazioni che formano il sistema e, solo al-

la fine, intersecare gli insiemi delle soluzioni nella speranza che tale

intersezione non sia vuota...

Risolvere i seguenti sistemi

2 2

− −(x ≥

x 5x + 4 < 0 + x ) 0

, ,

2

− ≥ ∗ ≥

x 2 0 3x x 0

1

2

  2 − −

2 x x 2 > 0

− +

x (2x 1) > 0

( 

 

2 −1

x x >

3x + 2 x< 3

, , ,

2

x + x +4

≤ 0 ≥ 0 2(x + 1) > x

2

x +4  

 2

−

4 x 3x + 1 2 + 4x

1 4+ x x +2

  ≤

− −

<

 

 

2 2 3

6 4x + 2x 3x , .

2

2 x + 2x > 3

3x + 5 x x

− > 

 − −

x 1 < 5 2x

 

2

− − −

4x + 1 3x 4 12x 13x 4

2.4. Esercizi di vario tipo, l’uni-

Ancora equazioni & disequazioni.

co consiglio è di procedere con calma e di usare la testa.

Risolvere le seguente equazioni

√ √

√ √

2 − − − − −

x 4 x 2 = (x 2) x + 2, 2 x 2 = 4 x,

√ √

√

q − − −

3x 2 x = 2 x, 2= 2 3x.

Risolvere le seguenti disequazioni

|x − ≤ |x − ≤

1| 2, 1| 3x + 4,

x − ≥ |x| ≥ |x −

3x + 1 1, 1|,

−

x 1 √

√

2

|x − ≥ |x − − −

7x + 12| 3|, 2 2 x < 2 (1 + 3|2x 3|) ,

8 EUGENIO MONTEFUSCO

r 3 −

|3 − −

2x| 2x x 1

− ≤

< 0, x 2 ,

− |2 −

3x 3x| x +2

√

r 5x + 2 2 − ≤ −

< 2, x 4 2 x,

x +1 1/2 1/2

− −

x 1 x 2 1/3

3 2

≥ , x + 1 < x + 2x + 3x .

x +1 x +2

Risolvere i seguenti sistemi

−(2x

x + y =0 + y) = 0

, ,

− −

x y =0 x 3y = 7

 −

x y = z

x +1=0  x + z =3

, .

−

y 4x = 0 −

y 2x + 5z = 4



MEMORIE DI MATEMATICA 9

3. G EOMETRIA ANALITICA

L’idea fondamentale di Descartes che è alla base della geometria

analitica è quella di fornire il piano euclideo di un sistema di rifer-

imento ortogonale. In questo modo è possibile associare a rette e

coniche delle equazioni e far corrispondere a equazioni delle curve

piane: il risultato è che ora i metodi dell’algebra sono a disposizione

per lo studio della geometria. Ovviamente non possiamo condensare

la geometria analitica in poche pagine, quindi rimandiamo ad op-

portuni testi per uno studio completo, in ogni caso proponiamo vari

esercizi. Il lettore non dovrebbe incontrare problemi nel risolverli.

3.1. Nella geometria cartesiana i punti sono individ-

Punti e rette.

uati tramite due coordinate (le proiezioni sugli assi coordinati), men-

tre le rette sono in corrispondenza con le equazioni di primo grado

(lineari) in due incognite. Ricordiamo alcune formule indispensabili

p 2 2

− −

-dati due punti e la loro distanza è ,

P Q (x x ) + (y y )

P Q P Q

-dati due punti distinti e esiste un’unica retta passante per essi

P Q

di equazione − − − −

(x x )(y y ) = (y y )(x x ),

Q P Q Q P Q

0 0 0

{ax {a

-date due rette e esse sono

+ by + c = 0} x + b y + c = 0},

0 0 0 0

parallele se perpendicolari se

ab = a b, aa + bb = 0.

Esercizi.

Trovare la distanza tra le seguenti coppie di punti

√ √ −1).

e e e

(1, 2) (−2, 3), (1, 2) ( 2, 1), (−3, 0) (2,

Scrivere l’equazione e disegnare le rette passanti per le seguenti

coppie di punti

−1) −1).

e e e

(2, (−1, 0), (−2, 1) (−2, 3), (1, 2) (−1, −1)

Scrivere l’equazione della retta passante per il punto e avente

(2,

−1,

coefficiente angolare poi disegnarla.

−3x

Tracciare la retta di equazione e quella di equazione

y = + 5

− −

3x 4y 9 = 0.

Scrivere l’equazione della retta passante per e parallela a

(1, 2)

−(x + 1) = 3y.

10 EUGENIO MONTEFUSCO

Scrivere l’equazione della retta passante per il punto ortogo-

(1, 2)

nale alla retta dell’esercizio precedente.

Calcolare la distanza tra il punto e le rette e

(1, 1) x+2 = 0 x+y = 1.

3.2. Le coniche occupano un posto impor-

Qualcosa sulle coniche.

tante nella matematica e nel suo sviluppo storico, in questa sede ci

limitiamo a dire che sono in corrispondenza con equazioni di secon-

do grado (o quadratiche) nelle due variabili, per uno studio un po’

più completo rimandiamo ad opportuni manuali (ad esempio [2]).

Completiamo questo paragrafo con un’importante osservazione: per

cercare i punti comuni a due (o più) curve è sufficiente risolvere il

sistema composto dalle equazioni delle curve. Ricordiamo alcune

equazioni. 2 2 2

− −

L’equazione di una circonferenza è , dove

(x α) + (y β) = ρ

il centro ha coordinate e è il raggio della curva.

(α, β) ρ > 0

L’equazione di una generica parabola con asse parallelo all’asse

2

{y

delle ordinate è = ax + bx + c}.

Scrivere l’equazione della circonferenza centrata nell’origine e avente

raggio 2.

Scrivere l’equazione della circonferenza centrata nel punto (−1, 2)

e passante per il punto (0, 2). 2 2 −6x+2y

Trovare centro e raggio della circonferenza x +y +6 = 0,

inoltre disegnarla sul piano cartesiano.

−

Trovare i punti comuni alla retta e alla circonferenza

x y + 2 = 0

centrata in avente raggio

(1, 2) 1.

Scrivere l’equazione della circonferenza centrata in e tan-

(1, 1)

− −

gente alla retta 3x 4y 9 = 0. −

Trovare i valori del parametro per cui la retta

k x y + k = 0

risulta esterna, secante e tangente alla circonferenza individuata dal-

2 2 −

l’equazione Relativamente ai valori di per cui si ha

x + y 2x = 0. k

tangenza calcolare le coordinate del punto comune a retta e conica.

2 −

Disegnare la parabola e determinare i punti di

y = 3x x + 1

intersezione con la retta di equazione y = x + 1. 2 −

Determinare i valori di per cui la parabola

k y = x 4x + k

interseca la retta in due punti.

2x + y = 0

MEMORIE DI MATEMATICA 11

Scrivere l’equazione della parabola avente asse di s