Matematica per le applicazioni I - i numeri razionali

Le serie numeriche

X XS = a = k = .n k 2k=0 k=0 kAnche in questo caso, la serie diverge. Sia a = 2 per ogni n in Ricordando laN.kformula che dà la somma della serie geometrica, la serie (divergente) S associata adna è allorak n nX X k n+1 −S = a = 2 = 2 1 .n kk=0 k=0k6In generale, se q = 1, e se a = q , la serie S associata ad a è data dak n kn n n+1 −q 1X X k(9.2) S = a = q = .n k −q 1k=0 k=0 1≥ −1Si ha, evidentemente, che S diverge se q 1, converge a se < q < 1, mentren 1−q≤ −1.è indeterminata se q(10)Nessuno ha il tempo sufficiente a sommarli tutti, a meno che la k-sima somma non sia−effettuata in un tempo che è la metà di quello necessario per effettuare la (k 1)-sima.9. LE SERIE NUMERICHE. 399.3. Un caso particolare della serie associata ad una progressione geo-Esempiometrica — e che aiuta a comprendere il motivo del perché la somma di una serie non−1.sia la somma di infiniti termini —, è il caso q = Se

Scriviamo i primi termini della successione S definita da nX kS = (-1)^n+k

Troviamo S = 1, S = 0, S = 1, S = 0, e così via, con i valori 0 e 1 che si alternano.

Al giorno d'oggi - forti del concetto rigoroso di limite - sappiamo che una successione fatta in questo modo non converge, ma quando in passato si presentò questo esempio, ed il concetto di somma di una serie come limite di una successione non era ancora ben codificato, furono parecchie le dispute attorno al "risultato corretto":

1. se S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., allora S = 0; infatti S = (1 + 1/2) + (1/4 + 1/8) + (1/16 + 1/32) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0;
2. se S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., allora S = 1; infatti S = 1 + (1/2 + 1/4) + (1/8 + 1/16) + ... = 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 1;
3. se S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., allora S = ∞; infatti S = 1 + (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = 1 + S.

1 + 1 . . . = 1 S =⇒ 2S = 1 =⇒ S = 2

In altre parole, dal momento che la successione delle somme parziali non è con-vergente (secondo il concetto di convergenza oggi adottato), non è possibile usare l'associatività della somma e sperare di ottenere sempre lo stesso risultato (o di ot-tenerne uno che sia “migliore” degli altri). Volendo, si potrebbe “dimostrare” che S assume un qualsiasi valore riordinando opportunamente i termini: come si vede, pensare che la somma di una serie sia la “somma di infiniti termini” porta rapidamente a delle conclusioni paradossali.

(11) Se, invece, la serie converge “bene”, si ottiene lo stesso risultato S qualunque sia la “regola” scelta per sommare i vari termini della successione. Ad esempio, se -1 < q < 1 abbiamo:

+∞ n n+1−1 q 1X Xk kS = q = lim q = lim = ,− −1 q 1 qn→+∞ n→+∞k=0 k=0

(11) Qualsiasi cosa ciò significhi. .

.9. LE SERIE NUMERICHE. 40ma anche +∞ +∞X X2k 2k+1S = q + q .k=0 k=0Infatti +∞ +∞ 2n+2− 11 qX X2k 2 kq = (q ) = lim = ,2 2− −1 q 1 qn→+∞k=0 k=0e +∞ +∞ 2n+2− q1 qX X2k 2 kq = q (q ) = lim q = ,2 2− −1 q 1 qn→+∞k=0 k=0e si ha q 1+ q 11 + = = .2 2 2− − − −1 q 1 q 1 q 1 qLo stesso risultato si otterrebbe sommando prima sui multipli di 3, poi sui multiplidi 3 più 1, ed infine sui multipli di 3 più 2, o sommando in una maniera “qualsiasi”(purché corretta).Si noti che nel caso q < 0 (quando cioè i termini della serie sono a segno alterno),spezzando la somma sugli indici pari e dispari si ottengono due serie a termini disegno costante, ed entrambe convergenti. 69.4. Sia q una successione convergente ad 1 e tale che q = 1 perEsercizio m mogni m in Sia n un naturale fissato. Calcolare, usando le (9.1) e (9.2) e i teoremiN.sui limiti, n+1 −q 1m .lim

−q 1m→+∞ m

Risposta 9.4: Si ha, per le (9.1) e (9.2),n n nn+1 −q 1 X X Xm k klim = lim q = lim q = 1 = n + 1 .m m−q 1 m→+∞ m→+∞m→+∞ m k=0 k=0 k=0

9.5. Supponiamo di avere a disposizione un numero infinito di mattoniEserciziotutti uguali, omogenei e di lunghezza unitaria. Poggiamo il primo mattone a terra,perfettamente in piano; successivamente sistemiamo un secondo mattone esattamentesotto il primo. Spostiamo ora il secondo mattone verso destra, facendolo scorrerefinché il sistema resta in equilibrio. È chiaro che possiamo spostarlo verso destraesattamente di mezza unità. Mettiamo ora un terzo mattone sotto il secondo, efacciamolo scorrere verso destra finché il sistema resta in equilibrio. Quanto possiamospostarlo? Possiamo arrivare fino al punto in cui l’estremo sinistro del terzo mattonesi trova esattamente sotto il baricentro del sistema composto dai primi due mattoni.Adesso mettiamo un quarto mattone, e

Ripetiamo l'operazione; e così via. Dopo n⁹. LE SERIE NUMERICHE. 41mattoni, dove si trova l'estremo destro x dell'n-simo mattone se l'estremo sinistrondel primo mattone è nell'origine?

Risposta 9.5: Come detto, l'estremo sinistro dell'n-simo mattone deve coincidere con il baricentro del sistema formato dai primi n-1 mattoni. Dove si trova quest'ultimo? Il baricentro del primo mattone, b, si trova nel punto . Mettendo il secondo mattone e spostandolo verso destra finché il suo estremo destro non si trova sotto b, il baricentro del sistema dei primi 2 mattoni è dato da 1/2 * b = 1/2 * b + b + , ovvero, per n = 2, 1 , peso degli n mattoni per la somma tra - * (peso dei primi n-1 mattoni) (baricentro dei primi n-1 mattoni) , e * (peso di un mattone) (baricentro dell'n-simo mattone) . Generalizzando, la formula per il calcolo di b è n-1/2 * b = (n-1) * b + b + = b + .

n−1 n−1 n−1n 2 2n

Ovviamente, l’estremo destro dell’n-simo mattone si trova in b + 1, cosicchén−1 n−11 1 1 1Xx = b + 1 = b + + 1 = b + + +1 = ... = 1+ ,n n−1 n−2 n−3− − −2(n 1) 2(n 2) 2(n 1) 2kk=1da cui n−1 11 Xx = 1 + .n 2 kk=19. LE SERIE NUMERICHE. 42Una volta svolto l’esercizio precedente, ci troviamo davanti al problema di cal-colare esplicitamente x . Dalla definizione di serie, è chiaro che x è esattamenten n 1−il termine (n 1)-simo della serie associata alla successione a per ogniche valek 2k≥k 1, e a = 1, ma non abbiamo alcuna idea di quanto valga realmente x . Quel-0 nlo che possiamo però chiederci è cosa succede alla successione x quando n tendenall’infinito. Converge? Diverge?Per semplicità, consideriamo solo n 1XS = ,n kk=1che è la cosiddetta serie armonica. Iniziamo ad osservare che la successione S èn1monotona strettamente crescente. Infatti S = S +

S . Pertanto, per il Teo-n+1 n nn+1rema 5.3, S ammette limite, finito o più infinito che sia. Inoltre, tale limite coincidencon quello di una qualsiasi sottosuccessione estratta da S (per il Teorema 8.3). Con-nksideriamo allora la sottosuccessione corrispondente a 2 , ovvero la sottosuccessione≥S , con k 0. Abbiamok2 S = 1 ,1 1S = 1 + ,2 2 1 1 1S = 1 + + + ,4 2 3 4... 1 1 1 1 1S = 1 + + + + ... + + ... + .k2 k−1 k2 3 4 2 + 1 212Notiamo che nelle parentesi tonde c’è un solo termine, uguale a , nelle parentesi14quadre ci sono due termini, entrambi maggiori di , mentre nelle parentesi graffe ci1k−1sono esattamente 2 termini, tutti maggiori di . Pertanto,k2 1 1 1 1 1≥S 1 + + + + ... + + ... +k2 k k2 4 4 2 21 1 1 k= 1 + + + ... + = 1 + .2 2 2 2Pertanto, S diverge a più infinito, e quindi S diverge a più infinito. Con calcolik n2analoghi, raggruppando diversamente i termini, si può dimostrare che S è minorek −12di 1 + k. Questo

ed è quindi necessario ricorrere ad altri strumenti per dimostrarne la convergenza (o la divergenza); nel caso della serie associata alla successione , abbiamo concluso che la serie divergeva osservando 1) che ammetteva limite essendo monotona crescente e 2) calcolando tale limite per mezzo di stime su una sottosuccessione (che ha, comunque, lo stesso limite della successione di partenza).

Consideriamo ora la successione a = , definita per k 1, e chiediamoci se k 2k la serie associata converga o diverga. Come prima, la serie associata è monotona crescente, e pertanto ammette sicuramente limite (finito o infinito). Studiamo allora la sottosuccessione S . Abbiamo k2S = 1 ,1 1S = 1 + ,2 4 1 1 1S = 1 + + + ,4 4