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Matematica per le applicazioni I - limiti e successioni

Appunti di Matematica per le applicazioni I sui limiti e sulle successioni. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: il principio di sostituzione degli infinitesimi, gli infiniti, il principio di sostituzione degli infiniti, le operazioni con i limiti.

Esame di Matematica per le applicazioni I docente Prof. F. Gori

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ESTRATTO DOCUMENTO

5

1 > M

−1

x

sia soddisfatta per tutti i valori della x che formano un intorno completo del punto x =1.

0

Applicando i teoremi sul valore assoluto, otteniamo i due sistemi:

 

1 1

> < −

M M

 

1 − −

1 1

x x

> = e .

M  

1 1

− 1

x  

> <

0 0

− −

 

x 1 x 1

si ha (trasportando M al primo membro):

Risolvendo il primo sistema − −

  M x

1 ( 1

)

1 − > >

M 0

0

 

− −

x

x 1

1 Si calcola poi il m.c.m. e si ottiene

  1

1

 

> > 0

0

− −

  x

x 1

1

Ci si sofferma poi sulla seconda disequazione. Affinchè il quoziente fra 1 e (x-1) sia

maggiore di zero è necessario, dato che 1 è una quantità ovviamente positiva, che anche

(x-1) sia maggiore di zero, per cui si semplifica il sistema ponendo semplicemente:

− −

 M x

1 ( 1

)

 > 0 .

 −

x 1

 − >

x 1 0

Si passa ora all’esame della prima disequazione. Poiché (x-1) è sicuramente una

quantità maggiore di zero (lo abbiamo affermato poco fa), è allora necessario che, affinchè

il quoziente sia maggiore di zero, anche il numeratore sia maggiore di zero. Si scrive

allora: − − > − + > − > − −

  

1 M ( x 1

) 0 1 Mx M 0 Mx M 1

da cui

  

− > > >

x 1 0 x 1 x 1

  

 1

< +

 Mx M 1  < +

x 1

infine dividendo per M ambo i membri:

  M

>

x 1

  >

x 1

scrittura, quest’ultima, che rappresenta un intorno destro di 1:

 ∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼ →

( )

1 1+1/M

si ha (trasportando M al primo membro):

Passando poi al secondo sistema + −

  M x

1 ( 1

)

1 + < <

M 0

0

 

− −

x

x 1

1 Si calcola poi il m.c.m. e si ottiene

  1

1

 

< < 0

0

− −

  x

x 1

1 e

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6

Ci si sofferma poi sulla seconda disequazione. Affinchè il quoziente fra 1 e (x-1) sia

minore di zero è necessario, dato che 1 è una quantità ovviamente positiva, che (x-1) sia

minore di zero, per cui si semplifica il sistema ponendo semplicemente:

+ −

1 M ( x 1

)

 < 0 .

 −

x 1

 − <

x 1 0

Si passa ora all’esame della prima disequazione. Poiché (x-1) è sicuramente una

quantità minore di zero (lo abbiamo affermato poco fa), è allora necessario che, affinchè il

quoziente sia minore di zero, il numeratore sia maggiore di zero. Si scrive allora:

+ − > + − > > −

  

1 M ( x 1

) 0 1 Mx M 0 Mx M 1

da cui .

  

− < < <

x 1 0 x 1 x 1

  

 1

 > −

x 1

Infine dividendo per M ambo i membri:  M

 <

x 1

scrittura, quest’ultima, che rappresenta un intorno sinistro di 1:

 ∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼ →

( )

1-1/M 1

Le due soluzioni, considerate congiuntamente, danno un intorno completo del punto

1, ossia: 1 1

− < < +  ∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼ ∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼ →

( )

1 1

x 1-1/M 1 1+1/M

M M

Poiché abbiamo ricavato un intorno completo del punto 1 abbiamo dimostrato che

∞ .

il limite della funzione è

IV.3 Limite per una funzione all’infinito

Oltre che studiare il comportamento della funzione per x tendente a un determinato

(ossia in convenienti intorni del punto x ) è sicuramente interessante

valore finito x

0 0

vedere ciò che accade al tendere di x a valori sempre più grandi. Ciò che si osserva, in

relazione al tipo di funzione in esame, si può riassumere nei seguenti casi:

1) Limite finito per una funzione all’infinito: Può accadere che attribuendo ad x

valori, sia positivi che negativi, sempre più grandi in valore assoluto, i corrispondenti valori

della f(x) risultino sufficientemente vicini ad un numero l; in particolare fissato

ε >0 piccolissimo, può darsi che sia possibile determinare un

arbitrariamente un numero e

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7  

numero N>0 tale che per ogni valore di x in valore assoluto maggiore di N ( x >N), si

ε

abbia un corrispondente f(x) che cada in un intorno di l di raggio (oppure potremo dire

ε   ε  

, ossia f(x)-l < per ogni x >N)

che ogni f(x) differisce, in valore assoluto, da l meno di

[Fig. 3]. In tal caso si dirà che la funzione f(x) per x tendente a infinito ha per limite il

numero l, e si scrive: lim f(x) = l

→∞

x   ε

f(x)-l < , applicando i teoremi sul valore

Per quanto detto sopra, dalla disequazione

assoluto si otterrà: ε ε

< f(x) < l+ .

l-

Se la disequazione è soddisfatta soltanto per x>N,

oppure soltanto per x<-N, allora si dice che

esistono rispettivamente i limiti:

lim f(x) = l lim f(x) = l

→ ∞ → ∞

x + x -

Per meglio comprendere il concetto appena

Figura 3 introdotto, ragioniamo su un esempio concreto:

Consideriamo la funzione: +

x 1

=

y x

Diamo ad x dei valori, sia positivi che negativi, sempre più grandi in valore assoluto.

Riuniamo nelle due seguenti tabelle, alcuni dei valori corrispondenti di x e di y.

5 10 25 100 1500 10000 …...

X 1,2 1,1 1,04 1,01 1,0006… 1,0001 …….

Y -5 -10 -25 -100 -1500 -10000 …...

X 0,8 0,9 0,96 0,99 0,9993… 0,9999 …….

Y

Osserviamo che, questa funzione al crescere in valore assoluto della x, assume

valori sempre più prossimi a 1 ∞

Tutto ciò, si esprime brevemente dicendo che, per x tendente a infinito ( ), la

funzione in esame ha per limite il valore finito 1. e

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8 +

x 1 =

Verificare che risulta

Esercizio svolto: lim 1

x

→ ∞

x ε

Per provare ciò, dobbiamo vedere se, fissato un numero >0 piccolo a piacere, la

disequazione: + 1

x 1 ε ε

− < ⇒ <

1 x

x

sia soddisfatta per tutti i valori della x che risultano, in valore assoluto, maggiori di un

ε ).

certo numero positivo N (che dipende da

Eliminando il valore assoluto si ha: 1 ε

<

1 x

ε ε

− < < che equivale a 1

x ε

> −

x

da cui:

1

>

x 1

ε ⇒ >

x

1 ε

< −

x ε

1

=

Posto , in effetti, la disequazione è soddisfatta quando risulta:

N ε >

x N

e ciò prova, che per la funzione in questione, vale quanto ipotizzato.

2) Limite infinito per una funzione all’infinito: Può accadere che attribuendo ad x

valori, sia positivi che negativi, sempre più grandi in valore assoluto, i corrispondenti valori

della f(x) (presi in valore assoluto) risultino via via

sempre più grandi. In particolare, fissato

arbitrariamente un numero positivo M grande a

nostro piacere, può darsi che sia possibile

determinare un numero N>0 tale che per ogni

valore di x in valore assoluto maggiore di N

 

x >N), i valori f(x) che la funzione assume

(

Figura 4 risultino, in valore assoluto, tutti maggiori di M

   

(ossia, esprimendoci in termini matematici, scriveremo f(x) >M per ogni x >N)) [Fig. 4].

e

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9 ∞

In tal caso si dirà che la funzione f(x) per x tendente a infinito ( ) ha limite infinito

( ), e si scrive: ∞

lim f(x) =

→∞

x  

Per quanto detto al paragrafo III.1 la soluzione della disequazione f(x) >M, sarà

3

data dalla risoluzione dei sistemi : > < −

 

f x M

( ) f ( x ) M

> = e

f x M

( )  

> <

f x

( ) 0 f ( x ) 0

 

 

Se invece per x >N risulta sempre f(x)>M, oppure f(x)<-M, allora si dirà che

esistono rispettivamente i limiti: ∞ ∞

lim f(x) = + lim f(x) = -

→∞ →∞

x x

 

f(x) >M, oppure f(x)>M, oppure f(x)<-M, allora si

Se invece per x>N risulta sempre

dirà che esistono rispettivamente i limiti:

∞ ∞ ∞

lim f(x) = lim f(x) = + lim f(x) = -

→ ∞ → ∞ → ∞

x + x + x +

 

f(x) >M, oppure f(x)>M, oppure f(x)<-M, allora si

Se invece per x<-N risulta sempre

dirà che esistono rispettivamente i limiti:

∞ ∞ ∞

lim f(x) = lim f(x) = + lim f(x) = -

→ ∞ → ∞ → ∞

x - x - x -

Per avere una idea più concreta di quanto affermato, basta applicare il procedimento

effettuato per i casi precedenti alla funzione = −

3

y 5 x 1

e calcolarne il limite per x tendente a infinito ( ).

IV.4 Teoremi fondamentali sui Limiti

In questo paragrafo sono descritti alcuni importanti teoremi sui limiti. Dei primi due

(unicità del limite e permanenza del segno) se ne riportano solo gli enunciati, in quanto

la loro dimostrazione è identica agli stessi teoremi visti per le successioni (paragrafi III.3 e

III.4 della relativa dispensa). In questa sede si dimostrerà solo il Criterio del confronto

detto anche Teorema dei due carabinieri (è facile immaginarne il perché!!!):

>

f ( x ) per f(x) 0

= π

f ( x )

3 Ciò perché: − <

f ( x ) per f(x) 0 e

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1. Teorema dell’unicità del limite:

Se esiste il limite della funzione f(x), per x tendente a x tale limite è unico.

0

2. Teorema della permanenza del segno:

la funzione f(x) tende ad un limite l (finito e non

Se per x tendente al numero x

0 per ogni x del quale (escluso al più x ) la

nullo) esiste un intorno del punto x

0 0

funzione f(x) assume valori dello stesso segno del suo limite.

3. Criterio del confronto:

Se f(x), h(x) e g(x) sono tre funzioni definite nello stesso intervallo (eccettuato al

di questo), e se per ogni x risulta:

più un punto x 0

≤ ≤ = =

, e se, inoltre, è ,

f ( x ) h ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) l

→ →

x x x x

0 0

allora risulta anche: = .

lim h ( x ) l

x x 0

Dimostrazione: = =

Dato che per ipotesi per le due funzioni varranno

lim f ( x ) lim g ( x ) l

→ →

x x x x

0 0

simultaneamente: ε ε ε

− < ⇒ − < < +

f x l l f x l

( ) ( )

ε ε ε

− < ⇒ − < < +

g x l l g x l

( ) ( )

ma poiché per ipotesi: ≤ ≤

f ( x ) h ( x ) g ( x )

si ha: ε ε

− < ≤ ≤ < +

l f ( x ) h ( x ) g ( x ) l

espressione che dimostra il teorema.

IV.5 Operazioni sui Limiti

In questo paragrafo, si elencano i più importanti teoremi relativi alle operazioni sui

limiti, limitandoci alla sola enunciazione di essi (per la dimostrazione, in quanto identica, si

rimanda al paragrafo III.5 della dispensa sulle successioni).

Se risulta: = =

, e , con l e m numeri, allora si ha:

f x l g x m

lim ( ) lim ( )

→ →

x x x x

0 0 e

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11 f ( x ) l

=

+ = + ; 4. ;

1. lim

f x g x l m

lim [ ( ) ( )] g ( x ) m

→ →

x x x x 0

0 =

− = −

2. ; 5. .

lim f ( x ) l

f x g x l m

lim [ ( ) ( )]

→ →

x x x x

0 0

⋅ = ⋅

3. ;

f x g x l m

lim [ ( ) ( )]

x x 0 IV.6 Funzioni continue

Di questa tipologia di funzioni si dà la seguente definizione:

Si dice che una funzione f(x), definita in un intervallo [a,b] è continua nel punto x 0

(interno a questo intervallo) se risulta: ) [1]

lim f(x) = f(x

0

x x 0

In altre parole, la funzione f(x) è continua nel punto x quando si verificano queste tre

0

circostanze: ,

esiste il valore della funzione nel punto x

0

esiste il limite della funzione per x x ,

0

il limite coincide con il valore della funzione nel punto x .

0

Se, invece della [1], vale soltanto la relazione:

lim f(x) = f(x )

0

x x 0+

allora si dice che la funzione è continua a destra del punto x .

0

Analogamente, se vale soltanto la relazione:

lim f(x) = f(x )

0

x x 0-

si dice che la funzione è continua a sinistra del punto x .

0

Dalla definizione di continuità e dai teoremi sui limiti precedentemente enunciati,

segue il seguente Teorema: , sono pure continue in x la loro

Se due funzioni sono continue in un punto x

0 0

somma, la loro differenza, il loro prodotto, il loro quoziente, ammesso in quest’ultimo

.

caso che la funzione al denominatore non si annulli in x

0

Per facilitare ulteriormente la comprensione di quanto espresso può essere utile il

seguente esempio:

Sia data la funzione: y=3x+1 e

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e si voglia verificare la continuità della stessa in un punto x =2 appartenente

0

all’intervallo di definizione. Per quanto affermato al punto 1. bisogna prima verificare che

:

esista il valore della funzione nel punto x

0 ⋅

y = 3 (2)+1 = 7

Da ciò si evince che il valore della funzione nel punto x esiste ed è uguale a 7.

0 →

Dobbiamo adesso verificare che esista il limite della stessa funzione per x 2 e che

, ossia a 7:

questo limite sia uguale al valore della funzione in x

0

lim (3x+1) = 7

x 2 ε

Per provare ciò, dobbiamo vedere se, fissato un numero >0 piccolo a piacere, la

disequazione:   ε   ε

3x+1-7 < che si può anche scrivere 3x-6 <

sia soddisfatta per tutti i valori della x che formano un intorno completo del punto

=2. Applicando i toremi sul valore assoluto, otteniamo:

x

0 ε ε ε ε

6- < 3x < 6+ da cui 2- /3 < x < 2+ /3

scrittura, quest’ultima, che equivale alla definizione di un intorno completo del punto

=2. Perciò abbiamo anche verificato che il limite della funzione esiste ed è uguale a 7. Si

x

0 =2.

conclude affermando che la funzione y=3x+1 è continua nel punto x

0

IV.7 La Continuità delle funzioni elementari

Come abbiamo visto, se una funzione è continua, il calcolo del limite non presenta

difficoltà. Per questo motivo è importante sapere quali sono le principali funzioni continue.

Consideriamone alcune:

IV.7.1 Funzioni razionali: = ;

1) Una funzione costante, y=K (k costante), è continua in ogni punto; cioè k k

lim

x x 0

=

2) Una funzione y=x, è continua in ogni punto; cioè ;

x x

lim 0

x x 0

n

3) Una funzione y=x (n intero positivo), è una funzione continua in ogni punto

perché prodotto di funzioni continue; n (k costante), è una

4) Per lo stesso motivo di cui al punto 3), la funzione y=Kx

funzione continua; −

= + + + +

n n 1 , è continua per ogni

5) Ogni funzione razionale intera: y a x a x ... a x a

0 1 n 1 n

valore della x, perché somma di funzioni continue; e

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A

( x )

= , con A(x) e B(x) polinomi in x, è continua

6) Ogni funzione razionale fratta: y B ( x )

per ogni valore della x che non annulla il denominatore perché quoziente di

funzioni continue.

IV.7.2 Funzioni goniometriche:

1) Le funzioni y=senx e y=cosx sono continue per ogni valore della x; cioè:

= =

e ;

senx senx x x

lim lim cos cos

0 0

→ →

x x x x

0 0 senx

= = , in quanto quoziente di funzioni continue, è continua

2) La funzione y tgx cos x π π

≠ ± +

per ogni valore che non annulli il denominatore; ossia per .

x k 2

2

IV.7.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche:

x

1) La funzione y=a (con a>0), è continua per ogni valore della x, cioè risulta,

= x

x

: ;

qualunque sia x lim a a 0

0 →

x x 0 ≠

2) La funzione y=log x (con a>0 e a 1), è continua per ogni valore positivo della x,

a =

cioè risulta, qualunque sia il numero positivo x : .

x x

lim log log

0 a a 0

x x 0

IV.7.4 Funzioni potenza e Funzioni irrazionali:

α α∈ℜ

1) La funzione y=x (con )), è continua per ogni valore della x>0, cioè risulta,

α

α =

qualunque sia il numero positivo x : ;

lim x x

0 0

x x 0

= n

3) La funzione , è continua per ogni valore positivo o nullo della x, cioè

y x =

n

: .

risulta, qualunque sia il numero positivo o nullo x lim x x

n

0 0

x x 0

IV.8 Continuità delle Funzioni in un intervallo

Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b]. La funzione si dice

continua nell’intervallo [a, b] se essa è continua in ogni punto di questo intervallo.

L’interpretazione geometrica rende intuitivi certi risultati fondamentali sulle funzioni

continue in un intervallo chiuso. Se consideriamo una curva, immagine geometrica di una

funzione y=f(x) continua nell’intervallo chiuso [a, b], l’intuizione avverte che esisterà

almeno un punto Q del diagramma, la cui ordinata ha un valore m non maggiore delle

ordinate degli altri punti, e almeno un punto P, la cui ordinata ha un valore M non minore di

quella degli altri punti. L’intuizione geometrica avverte ancora che una retta di equazione

e

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y=k, con m<k<M, deve tagliare il diagramma precedente (fig. 5) almeno in un punto T;

, x , x , rispettivamente le ascisse del punti P, Q e T, deve

perciò, se indichiamo con x 0 1 2

)=M, f(x )=m, f(x )=k.

essere: f(x

o 1 2

Figura 5 Figura 6

Così pure, se i punti A e B della curva (fig. 6), corrispondenti agli estremi x=a, x=b, si

trovano rispettivamente sopra e sotto l’asse delle ascisse, allora l’intuizione avverte che la

linea in discorso deve attraversare almeno una volta l’asse x tra i punti a e b. Pertanto si è

condotti ad enunciare, e si potrebbe dimostrarli con tutto rigore, i seguenti teoremi:

TEOREMA DI WEIERSTRASS

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] essa assume ivi il

4

massimo assoluto e il minimo assoluto .

TEOREMA DI DARBOUX-BOLZANO

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a, b] essa assume ogni valore

compreso fra il suo minimo e il suo massimo assoluto.

TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a, b] e se agli estremi

dell’intervallo assume valori di segno opposto, essa si annulla in almeno un punto interno

all’intervallo. IV.9 Punti di Discontinuità per una Funzione

Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b], escluso al più un punto

di questo. Se essa non è continua in x , il punto x si dice punto singolare o di

x 0 0 0

discontinuità di f(x).

Vi sono diversi tipi di discontinuità, in relazione ai motivi per cui l’uguaglianza:

4 che possono anche non essere diversi. e

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lim f(x) = f(x )

0

x x 0

non ha luogo: a specie

IV.9.1 Punti di Discontinuità di 1 a

Si dice che nel punto x la funzione f(x) ha una discontinuità di 1 specie, se in tale

0

punto esistono e sono finiti i limiti destro e sinistro della funzione ma sono diversi tra

loro, ossia: ∃ = ∃ = ≠

lim f ( x ) l lim f ( x ) m l m

ed ma:

+ −

→ →

x x x x

0 0

= −

La differenza tra l e m, ossia si chiama salto della funzione f(x) nel punto x .

s l m 0

Per meglio comprendere il concetto esposto, può essere utile il seguente esempio:

x

Figura 7 = , definita per tutti i valori

Consideriamo la funzione y x

della x 0. x = −

Per valori di x<0, si ha: ; mentre per valori di x>o

1

x

x = . Pertanto [Fig. 7]:

si ha: 1

x x

x ≠

∃ = = ∃ = − = l m

lim 1 l lim 1 m

ed ma:

x x

+ −

→ →

x 0 x 0 a

e quindi nel punto x=0 la funzione ha una discontinuità di 1 specie, con salto s=2.

a specie

IV.9.2 Punti di Discontinuità di 2 a

Si dice che nel punto x la funzione f(x) ha una discontinuità di 2 specie, se in tale

0

punto: ;

1) Non esiste il limite della funzione f(x) per x tendente a x

0

2) Non esiste o è infinito almeno uno dei due limiti laterali (il destro o il

sinistro).

Per meglio comprendere il concetto esposto, può essere utile il seguente esempio:

1 ≠

= , definita per tutti i valori della x 0.

Consideriamo la funzione y x

Calcoliamone i limiti laterali (destro e sinistro) per x tendente a 0. Si ha:

1 1

= +∞ = −∞

e

lim lim

x x

+ −

→ →

0 0

x x e

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Pertanto, poiché rientriamo in uno dei casi previsti, possiamo affermare che la

a

funzione in questione ha una discontinuità di 2 specie nel punto x=0.

a specie (o discontinuità eliminabile)

IV.9.3 Punti di Discontinuità di 3 a

Si dice che nel punto x la funzione f(x) ha una discontinuità di 3 specie (o

0

discontinuità eliminabile) se in tale punto: , ma non è

1) Esiste ed è finito il limite della funzione f(x) per x tendente a x

0

possibile calcolare il valore della funzione nello stesso punto (ossia

)=?);

f(x

0 , ma lo

2) Esiste ed è finito il limite della funzione f(x) per x tendente a x

0

stesso limite non coincide con il valore della funzione calcolato nello

stesso punto (ossia ).

lim f ( x ) f ( x )

0

x x 0

L’aggettivo “eliminabile” è dovuto al fatto che si può stabilire per la f(x) la continuità

nel punto x effettuando una delle seguenti operazioni:

0 la funzione non è definita (ossia f(x )=?), basta completare la

a) Se in x

0 0

=

definizione in x ponendo: ;

f ( x ) lim f ( x )

0 0 x→ x 0

b) Se il limite della funzione per x tendente a x non coincide con il valore della

0 =

funzione calcolato nel punto x , basta porre anche qui: .

f ( x ) lim f ( x )

0 0 x→ x 0

In entrambi i casi, naturalmente, la funzione che si ottiene non è più quella originaria,

.

ma ne differisce solo per x=x 0

Questa nuova funzione si chiama prolungamento per continuità di f(x) nel punto x .

0

Per meglio comprendere il concetto esposto, può essere utile il seguente esempio:

senx ≠

= , definita per tutti i valori della x 0. Proprio nel

Consideriamo la funzione y x a

punto x=0, la funzione ha una discontinuità di 3 specie, perché in tale punto esiste ed è

finito il limite (1), ma come detto non esiste il valore della funzione. Per quanto detto al

precedente punto a), tale funzione è prolungabile per continuità nel punto x=0, e il suo

prolungamento è la funzione:  senx

 ≠

x

, per ogni 0

;

=

*

f x

( )  x

 =

x

1

, per 0

.

e

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17

IV.10 La Continuità della Funzione Composta e della Funzione Inversa

→ →

Data una funzione g:A B e una funzione f:B C, ove A, B, C, sono tre insiemi,

esiste, come è noto, una funzione →

h:A C

che associa a ogni elemento x di A uno e un solo elemento di C in tal modo:

∀ ∈ ⇒ = = ο

x A h ( x ) f ( g ( x )) ( f g )( x ) .

h prende il nome di funzione composta, f e g sono le funzioni componenti

Più propriamente, se z=g(x) è una funzione reale definita in [a, b] e y=f(z) è una

funzione della variabile z, che supponiamo definita per ogni valore della z che si ricava

dalla prima funzione al variare della x nell’intervallo [a, b], è possibile costruire la funzione

y=f[g(x)] che viene chiamata funzione composta o anche funzione di funzione, poiché

appunto la y è funzione della z che a sua volta è funzione della x.

Per tali funzioni si dimostra, ma noi ci limitiamo solo ad enunciarlo il seguente

teorema: ∈ [a, b] e f(z) è continua nel punto z =g(x ), allora la

Se g(x) è continua in un punto x 0 0 0

funzione composta f[g(x)] è continua nel punto x .

0

In poche parole, una funzione composta è continua in un punto, se nello stesso punto

sono continue le sue funzioni componenti.

Grazie a questo teorema è possibile dimostrare la continuità di funzioni assai

complicate. Così, ad esempio:

= 3 2 è continua perché lo sono le due funzioni componenti, ossia:

La funzione y log x = = 3 2

e .

y log z z x

= senx

Così pure è continua la funzione , perchè lo sono le due funzioni componenti:

y a

= =

x e

y a z senx

Per ciò che riguarda le funzioni inverse, vale il seguente teorema che ci limitiamo ad

enunciare:

Una funzione y=f(x) continua in un intervallo [a, b] nel quale è crescente (o

decrescente), definisce una funzione inversa x=g(y) che è continua e crescente (o

decrescente) nell’intervallo [m, M], dove m e M sono, rispettivamente, il minimo e il

massimo della f(x) in [a, b]. e

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18

IV.11 Forme indeterminate dei Limiti

Come abbiamo visto, nel caso di una funzione continua, il calcolo del valore del limite

(se esiste), si riduce a una sostituzione del valore a cui tende la x nella funzione di

partenza.

Tuttavia, esistono funzioni in cui tale sostituzione non conduce da sé alla

determinazione del valore finito o infinito del limite ma porta a una forma di indecisione o

indeterminazione. Vediamo quali sono le forme indeterminate più comuni e come ci si

comporta davanti a tali situazioni. 0

1) FORMA 0

Supponiamo di voler calcolare il valore del limite della seguente funzione:

+ −

2

x x

5 6

lim .

+ −

2

x x 2

x 1

Se sostituissi al posto della x il valore a cui essa tende, ossia 1, otterrei:

+ − + −

2 2

x 5 x 6 (

1

) 5

(

1

) 6 0

= =

lim + − + −

2 2

x x 2 (

1

) (

1

) 2 0

x 1

0

L’espressione non ha alcun significato, ossia è una di quelle famose forme

0

indeterminate. Che fare ?

Si osserva, intanto, che sia il numeratore che il denominatore si possono scomporre,

per cui la funzione diventa:

− + +

( x 1

)( x 6

) ( x 6

)

lim lim

da cui semplificando .

− + +

( x 1

)( x 2

) ( x 2

)

→ →

x 1 x 1

Se provo a rifare la sostituzione, stavolta, ottengo:

+ +

( x 6

) (

1 6

) 7

= =

lim .

+ +

( x 2

) (

1 2

) 3

x 1

7

Il valore finito e determinato rappresenta il valore del limite cercato.

3 ∞

2) FORMA ∞

Supponiamo di voler calcolare il valore del limite della seguente funzione:

e

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19 + −

2

x 5 x 6

lim .

+ −

2

x x 2

→ ∞

x ∝

Se sostituissi al posto della x il valore a cui essa tende, ossia , otterrei:

+ − ∞ + ∞ − ∞

2 2

x 5 x 6 ( ) 5

( ) 6

= =

lim + − ∞ + ∞ − ∞

2 2

x x 2 ( ) ( ) 2

→ ∞

x

L’espressione non ha alcun significato, ossia è una di quelle famose forme

indeterminate. Che fare ? 2 . Si ottiene

Proviamo a dividere il numeratore e il denominatore della funzione per x

(rieffettuando successivamente la sostituzione):

2 5 6

5 6

x x 5 6

+ −

+ − + −

1 1 + −

1 0 0

∞ ∞

2

2 2 2 2

x x

x x x = = = =

lim

lim 1

1 2 1 2 + −

2 2

x x 1 0 0

→ ∞ → ∞

x x + − + −

1 1

+ − ∞ ∞

2 2

x x

2 2 2

x x x ∞

Ricordando che una qualsiasi quantità divisa per dà come risultato 0 si ottiene che

il valore del limite cercato è 1. e

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20

IV.12 Esercizi proposti

Calcolare il valore dei seguenti limiti:

0

Forma indeterminata :

0    

3 3

− + − + − + −

4 2 3 2 3 2

x 8 x 16 x 3 x 4 x x 2 x 2

lim lim lim

[0]    

− − − + −

3 3 2 2

4 2

   

x 8 x 2 x 4 x 8 x 1

→ → →

2

x x x

2 1

 

1

− + + +

− −

2 3 2

x 1 x 4 x 5 x 2

x x 6 lim lim

lim [∞] [0]

 

− − −

+ + +

3 2 2

2

 

x 1 x x 2

x 5 x 8 x 4 →

→ − → −

x 1

x x

2 1

 

1 − −

− +

2 −

3

x 2 2 x

x 3 x 2 8 x 1

lim

lim [0] [6]

lim

 

+ −

2 − +

5

  − 2

x x 6 6 x 5 x 1

x 2

→ 1

x 2

x 2 →

x 2

Forma indeterminata :

∞ +

+ + − + +

3 2 5 4 x x

3 4 1

x x x 4 x 7 x 1

lim lim lim

[0] [2] [1]

+

4 5 +

x 2 x 7 2 x x

→ ∞

→ ∞ → ∞ x

x x

− + + + − +

2 2 3 2

 

3

3 x x 5 x 2 x 5 8 x 4 x 9

lim lim lim

[0] [2]

 

+ + − + + −

2 3 2 3

2

2 x 4 x 1 2 x 3 x 9 4 x x 2

 

→ ∞ → ∞ → ∞

x x x

+ + + +

2 5 3

x x 5 x 4 x 9

5 1

x

lim lim

lim

[0] [0] [∞]

− + − +

+

7 3 3 3

x 2 x 4 x 2 x 5

2

x

→ ∞ → ∞ → ∞

x x x e

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1

III. Le Successioni

III.1 Definizioni

Una successione è una sequenza infinita di numeri reali.

, a , a , … a …

Si scrive nella forma: a

1 2 3 n

, indica il termine generico di “posto” n. In generale, le successioni si indicano

Dove a

n

solo mediante il termine generico {a } con n∈N (N è evidentemente l’insieme dei numeri

n 0 0

naturali escluso lo zero).

Esaminando più approfonditamente il concetto di successione, ci si accorge che in

in R

realtà essa altro non è che una particolare applicazione (o funzione) dell’insieme N 0

→R,

(in termini simbolici scriveremo a : N che simboleggia una funzione avente come

n 0

dominio l’insieme N e come codominio l’insieme R).

0

Premesso che:

Un insieme reale A è limitato quando esistono due numeri reali h e k tali che per ogni x

che appartiene all’insieme si ha: k≤A≤h;

e:

Una funzione reale f(x) si dice limitata quando esistono due numeri reali h e K tali che

per qualunque x appartenente al Dominio della funzione medesima si ha al Codominio:

k≤f(x)≤h;

è possibile in modo similare definire una successione limitata:

} si dice limitata quando esistono due numeri reali h e K tali che

Una successione {a

n

per ogni n∈N , il termine generico a è compreso tra questi: k≤a ≤h.

0 n n

Si consideri, ad esempio, la successione

   

1 1 1 1 1

= . [1]

1

, , , ,... ,...

   

n 2 n

3 4

    1

In essa, al crescere di n, diventa sempre più piccolo avvicinandosi a zero (vedremo

n

più avanti cosa significa ciò). Il valore più grande tra tutti quelli che la successione

1

< ≤ ; ossia è limitata. Inoltre è sia monotona

comprende è 1. In conclusione 0 1

n

descrescente che convergente (perché come detto, per valori di n sempre più grandi, essa

tende a zero).

Consideriamo ora altri tipi di successioni:

n n

} = {-1, 1, -1, 1, … (-1) , …} [2]

{ (-1) e

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2

{ 2n } = {2, 4, 6, 8, … 2n, …} [3]

{ -n } = {-1, -2, -3, … -n, …} [4]

La successione [2] ha la caratteristica di assumere valore 1 per n pari e valore –1 per n

dispari. La successione in questione è limitata, ma non è monotona, né crescente né

descrescente. La successione si dice oscillante.

La [3] è monotona crescente, ma diverge positivamente (ossia al crescere di n tende a

∞ ).

valori sempre più altri, ossia si dice che tende a +

La [4], invece, è monotona decrescente, ma diverge negativamente (ossia al crescere

di n tende a valori sempre più piccoli, ossia si dice che tende a - ).

III.2 Limite di una successione

Una successione {a } ammette limite se e solo se è una successione monotona

n

(crescente o descrescente). Se la successione non è monotona, non ha limite. Una

successione si dice determinata quando ammette limite (finito o infinito). Una successione

si dice indeterminata o oscillante quando non ammette limite, ossia quando non converge

né diverge.

III.2.1 Successione convergente

Una successione convergente ammette limite finito l, e si scrive:

def ε ε ε ε

= ⇔ ∀ > ∃ ∀ > ⇒ − < − < < + .

lim a l 0 n : n n a l ossia l a l

ε

n n n

→ ∞

n

Tradotto in parole, l è il limite della successione {a } se e solo se presa una quantità

n

ε

arbitraria reale e positiva, è possibile determinare in corrispondenza un indice n ε

>

ε ; tale che per ogni (cioè a destra di ) i valori

naturale ed intero che dipende da n n n

ε

della successione differiscono dal l della quantità ; in altre parole, la successione

converge a l o ha per limite l quando a partire da un certo indice in poi tutti i termini stanno

ε

in un intorno l di raggio .  (∼∼∼∼∼ ∼∼∼∼∼) →

ε ε

l- l l+ R

Premesso ciò, la successione [1] considerata nel precedente paragrafo, in quanto

convergente, ha limite: 1 = .

lim 0

n

→ +∞

n e

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3

La successione [2], che è di tipo oscillante, non ammette limite in quanto non converge

né diverge. Si scrive: − =

n .

lim ( 1

) non esiste

→ +∞

n

La successione [3], che diverge positivamente, ha limite:

= +∞

lim 2 n

→ +∞

n

Infine, la successione [4], che diverge negativamente, ha limite:

− = −∞

lim n

→ +∞

n

Dopo averlo precedentemente affermato, dimostriamo ora, servendoci della definizione

di limite di una successione convergente, che: 1 = .

lim 0

n

→ +∞

n ε

Per dimostrare che ciò è vero, dobbiamo verificare che per qualunque , dopo un

ε

, tutti gli elementi cadono in un intorno di 0 di raggio . Si ha:

indice n

ε 1 ε

ε − <

− < da cui ;

0

a l

n n

1 1

ε ε

ε

< − < <

ed infine: .

n n

L’ultima scrittura, equivale a: 1

1 ε >

< ⇒ [5]

n ε

n e

1 ε

> − [6].

n

La [6] è un’affermazione sempre vera, in quanto qualsiasi elemento della successione

(che ricordiamolo in questo caso è sempre un numero positivo) è sempre più grande del

ε ε

(che poichè è una quantità positiva, sarà sempre negativo).

numero - ε

Soffermiamoci quindi solo sulla [5] e supponiamo di assegnare ad il valore 0,1. Per

quanto detto sarà: 1 1

> ⇒ ⇒ >

> ;

n n 10

n 1

0

,

1 10

quindi per tutti i termini della successione di indice n>10 varrà quanto detto, ossia:

e

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4

1  (∼∼∼∼∼ ∼∼∼∼∼) →

ε

< . ε ε

0- 0 0+ R

n

e cioè che per valori maggiori di quell’indice tutti i termini della successione cadranno

ε

in un intorno di 0 di raggio =0,1.

Riflettendoci bene, ciò è assolutamente vero; infatti il termine della successione di

1 1

ε

, quantità minore di =0,1 (ossia ).

indice n>10 è l’undicesimo, ossia 11 10

Abbiamo così dimostrato che il limite della successione in questione è 0.

III.2.2 Successione divergente positivamente

Per tali successioni si ha: def ε ε

= +∞ ⇔ ∀ > ∃ ∀ > ⇒ >

lim a 0 n : n n a

ε

n n

→ ∞

n ∞ ε

ossia, il limite di una successione è + quando, presa una quantità arbitraria , esiste

ε >

naturale ed intero che dipende da ; tale che per ogni (cioè a

almeno un indice n n n

ε ε

destra di ) tutti i valori della successione sono maggiori di .

n   ∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼>

ε ε

- + R

III.2.3 Successione divergente negativamente

Per tali successioni si ha: def ε ε

= −∞ ⇔ ∀ > ∃ ∀ > ⇒ < −

lim a 0 n : n n a

ε

n n

→ ∞

n ∞ ε

ossia, il limite di una successione è - quando, presa una quantità arbitraria , esiste

ε >

naturale ed intero che dipende da ; tale che per ogni (cioè a

almeno un indice n n n

ε ε

destra di ) tutti i valori della successione sono minori di - .

n ∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼  >

ε ε

- + R

III.2.4 Successione divergente in valore assoluto

Per tali successioni si ha: ε ε

∀ > ∃ ∀ > ⇒ >

 0 :

n n n a

def ε ε

n

= ∞ ⇔ ⇒ >

lim a a

 ε ε

n n

∀ > ∃ ∀ > ⇒ < −

0 :

n n n a

→ ∞ 

n ε n e

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5

ossia, il limite di una successione è (quindi la successione diverge in valore assoluto)

ε , esiste almeno un indice naturale ed intero che

quando, presa una quantità arbitraria n

ε

ε >

dipende da ; tale che per ogni (cioè a destra di ) tutti i valori della successione

n n n

ε ε

che a sinistra del suo opposto (- ); in poche parole la successione

cadono sia a destra di

±∞

tende a contemporaneamente.

∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼  ∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼>

ε ε

- + R

III.3 Teorema dell’Unicità del Limite di una Successione

Dimostriamo ora che se una successione converge ad un limite l esso è unico

(Teorema dell’unicità del limite di una successione).

Per far ciò, supponiamo per assurdo che la successione converga non a uno ma a due

limiti l e m; si avrà: ε ε

= ⇔ ∀ > ∃ ∀ > ⇒ − < ;

lim a l 0 n : n n a l

ε

n n

→ ∞

n ε ε

= ⇔ ∀ > ∃ ∀ > ⇒ − <

lim a m 0 n : n n a m

ε

n n

→ ∞

n ≠   ≠

m si avrà che l-m 0 perché l può essere maggiore o

ovviamente, dato che l

minore di m; inoltre per la stessa definizione di valore assoluto possiamo anche dire che

 

l-m > 0.

 

l-m è, come appena affermato, una quantità positiva, nulla ci vieta di

Poiché ε proprio questo valore, ossia:

assegnare al nostro ε  

= l-m .

Vediamo un po’ cosa succede; all’apparenza tutto sembra funzionare, poichè ci

saranno termini della successione che cadranno contemporaneamente sia nell’intorno di l

≈ ):

che in quello di m (parte del grafico evidenziata con

 (∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ) ∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼) →

(

ε ε ε

l- l m-ε m l+ m+ R

ε

Ma se anziché scegliere quel valore da assegnare a scegliamo:

l m

ε = 2

o un valore più piccolo purchè positivo (e nessuno può impedircelo) le cose cambiano:

 (∼∼∼∼∼∼∼ ∼∼∼∼∼∼∼)  (∼∼∼∼∼∼∼ ∼∼∼∼∼∼∼) →

ε ε ε ε

l- l l+ m- m m+ R

e

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6

I due intorni, questa volta, non hanno elementi in comune; sono disgiunti, per cui è

ε

errato affermare che per qualunque valore di i termini della successione cadono in un

intorno sia di l che di m e quindi che la successione abbia due limiti contemporaneamente.

III.4 Teorema della permanenza del segno

Dimostriamo ora che se una successione convergente è positiva o nulla anche il suo

limite sarà positivo o nullo. In termini matematici:

=

a l

n ⇒ ≥

lim l 0

a 0

→ ∞

n n <

Supponiamo per assurdo l’opposto, ossia che e consideriamo un numero reale

l 0

∈ ⇒

positivo a R . Ovviamente se a>0 -a<0.

+ a

ε

Assegniamo, quindi, ad la quantità reale positiva , ossia:

2

a

ε = .

2

Per la definizione di limite di una successione si ha:

ε ε

∀ > ∃ ∀ > ⇒ − <

n n n a l

0 :

ε n

= − <

(poiché abbiamo supposto , ossia negativo) e sostituiamo:

Poniamo ora l a l 0 a ε

− = + = + > > =

a l a a a a a

n n n 2

+

La quantità , reale positiva o nulla è sicuramente maggiore o in caso estremo

a a

n a ε

uguale ad e quindi anche ad ; ma quest’ultima quantità è uguale ad , per cui alla fine

a 2

si ottiene: ε

+ >

a a

n

che rappresenta un assurdo; praticamente qui si afferma che la successione è

divergente, mentre inizialmente abbiamo ipotizzato che la successione è convergente. In

≥ < ≥

0 è assurdo affermare che ; dovrà necessariamente essere .

conclusione, se a 0 0

l l

n

Similarmente si dimostra anche che date due successioni convergenti a e b aventi

n n

≥ b allora il limite l della successione a sarà maggiore o

rispettivamente limite l e m, se a n n n

uguale al limite della successione b , ossia m. In termini matematici:

n e

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Docente: Gori Franco
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.

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