Matematica per le applicazioni I - limiti e successioni

IL NUMERO

Consideriamo la funzione:

x¹ = f(x) = 1 + x^1/x

E dimostriamo che il limite

lim_x→∞ (1 + 1/x)^x

x è compreso fra 2 e 3.

Dimostriamo che il limite esiste per valori interi positivi. Per n, applicando la formula del binomio di Newton avremo:

(1 + 1/n)ⁿ = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!

Essendo

(1 + 1/n)ⁿ = 2 - 1/n + 1/(2n) - 1/(3n) + ... + (-1)^n-1/(nn)

La formula diviene

(2 - 1/n + 1/(2n) - 1/(3n) + ... + (-1)^n-1/(nn)) / (n/(3!))

pag 3 Adolfo Scimone+1n n n

1 1 1+ < + < +

1 1 1+n x n1

Essendo: +n 1

1+

1n +

1 e1n

+ = = =

lim 1 lim e+ 1

1 1n

→ +∞ → +∞

n n +1 + 1n

+n 1 n

1 1 1 =+ = + +

   

lim 1 lim 1 1 e

n n n

     

→ +∞ → +∞

n n

risulta, per il teorema dei due carabinierix

 1+ =

 lim 1 ex

 → +∞

x = −

Se x tende all’infinito per valori negativi, poniamo x t e quindi

− −x t t t t

         1 1 t 1 t 1+ = − = = = + =

lim 1 lim 1 lim lim lim 1

         

− −x t t t 1 t 1

         

→−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

x t t t t

 −t 1

   1 1= + + = ⋅ =

lim 1 1 1e e

 

1. ∞6) 15)lim f ( x ) l lim f ( x )→+∞ →−∞x x∀ > ∀ < −x N x N>ε− < f ( x ) Mf ( x ) l = = −∞
2. 7) 16)lim f ( x ) l lim f ( x )→−∞ →−∞x x∀ < −∀ < − x Nx N < −ε− < f x M( )f ( x ) l = ∞
3. 8) lim f ( x )→ ∞x∀ >x N>f ( x ) M= +∞
4. 9) lim f ( x )→∞x∀ >x N>f x M( ) 1

IV. Limiti delle Funzioni di una variabile

IV.1 Richiami sul concetto di Valore Assoluto

Si chiama valore assoluto (o modulo) di un numero reale a e si scrive il numero |a| così definito:

|a| =

• a, se a ≥ 0
• -a, se a < 0

Alcune proprietà dei valori assoluti sono espresse dai seguenti teoremi, di cui si dà solo l'enunciato:

1. |a| ⇔ 1) = 0 a = 0
2. Dati due numeri reali a e b (b > 0):
• |a| < b equivale a: -b < a < b
• |a| > b equivale a: a > b, o

a <- b

Il valore assoluto della somma di due numeri reali a e b è minore o uguale alla somma dei valori assoluti dei singoli numeri; cioè: |a + b| ≤ |a| + |b|.

Il valore assoluto della differenza dei valori assoluti di due numeri reali a e b, è minore o uguale al valore assoluto della differenza dei due numeri stessi; cioè: |a| - |b| ≤ |a - b|.

Per due numeri reali qualunque a e b, si ha: |a| * |b| = |a * b|.

IV.2 Limite per una funzione in un punto

Immaginiamo che sia f(x) una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo chiuso [a,b] e sia x0 un punto interno a tale intervallo. Il nostro scopo è quello di esaminare i valori che f(x) assume quando alla x si attribuiscono valori di [a,b] prossimi al numero x0, escluso sempre il punto x0 stesso. Ciò che si osserva, in inconvenienti intorni del punto x0, è in relazione al tipo di

1. Si badi bene, che il punto x può appartenere o meno al Dominio della funzione f(x).
2. Limite finito per una funzione in un punto: Può accadere che attribuendo ad x(x escluso), i corrispondenti valori della f(x) risultino valori sufficientemente vicini a x0 0 ε sufficientemente vicini ad un numero l; in particolare fissato arbitrariamente un numero >0 piccolissimo, può darsi che sia possibile determinare un intorno completo di x (che chiameremo H) tale che per ogni x appartenente a quest’intorno si abbia un ε (oppure potremo dire che ogni corrispondente f(x) che cada in un intorno di l di raggio ε |f(x)-l|<ε) f(x) differisce, in valore assoluto, da l meno di , ossia [Fig. 1]. In tal caso si dirà che la funzione f(x)

per x tendente a x ha per limite il numero l, e si scrive:
lim f(x) = l quando x tende a 0
|f(x)-l| < ε
Per quanto detto sopra, dalla disequazione applicando i teoremi sul valore assoluto si otterrà:
ε < |f(x)-l| < l+ε
Per meglio comprendere il concetto appena introdotto, ragioniamo su un esempio concreto:
Consideriamo la funzione:
y = (2x^3 + 8)/(x-2)
la quale, essendo una funzione razionale fratta, esiste per ogni valore della x diverso da 2; per x=2 che è priva di significato.
Diamo allora ad x dei valori sempre più prossimi a 2 (sia un po' più piccoli di 2, sia un po' più grandi) e riuniamo nelle due seguenti tabelle, alcuni d