pag 1
Appunti elaborati dal collega Prof. Vincenzo De Pasquale
Infinitesimi → =
Si dice che f è infinitesima o che è un infinitesimo per se .
x x lim f ( x
) 0
0 →
x x 0
Un infinitesimo, quindi è una variabile che tende a zero.
π
Es. 1- = → =
è un infinitesimo per poiché
y cos x x lim cos x 0
π
2 →
x 2
= → = =
è un infinitesimo per poiché .
y ln x x 1 lim ln x ln 1 0
→
x 1
α β
Dati due infinitesimi , può accadere che essi tendano a zero con diversa
e
rapidità.
Es. 2 = = 2
e
y x y x
1 2 →
Sono entrambi infinitesimi per x 0
= = =
Per e
x 0
,
1 y 0
,
1 y 0
, 011
1 2
= = =
Per e
x 0 , 01 y 0 , 01 y 0
, 0001
1 2 Anche graficamente si nota che le
ordinate diminuiscono più
y 2 →
rapidamente di per .
y x 0
1
Per confrontare la diversa rapidità di
tendenza a zero, si introduce il
ordine
concetto di di un infinitesimo.
1. Diciamo che due infinitesimi
α β sono dello stesso ordine se:
e α = ≠
con e finito.
lim k k 0
β
→
x a sin x
Es. 3 =
lim 1
→ x
x 0
Quindi sin x e x sono infinitesimi dello stesso ordine.
−
1 cos x 0 sin x 1
Es. 4 =
= =
lim lim
2
→
→
x 0 2 x 2
x 0 x 0
2
Quindi e sono infinitesimi dello stesso ordine
1− cos x x pag 2
α β
2. Diciamo che l’infinitesimo è di ordine superiore a se
α =
lim 0
β
→
x a − −
1 sin x cos x
0
Es. 5 = = =
lim lim 0
−
π π
cos x 0 sin x
→
→
x x
2 2
−
Quindi è di ordine superiore a cos x
1 sinx α β
3. Diciamo che è infinitesimo di ordine inferiore a se
α = ∞
lim β
→
x a α
4. Se non esiste, i due infinitesimi non sono confrontabili (almeno con
lim β
→
x 0
il criterio del rapporto).
α α
→
5. Diciamo che è un infinitesimo di ordine n per se è dello stesso
x 0
n
ordine di , cioè se
x
α = ≠
con e finito.
lim k k 0
n
→ x
x 0 −
1 cos x 1
Es. 6 =
Dato che lim 2
→ x 2
x 0
Concludiamo che è un infinitesimo del secondo ordine.
1− cos x α n
Per stabilire l’ordine di un infinitesimo lo si confronta con (con n
x
incognito) eseguendo il calcolo del
α
lim n
→ x
x 0
fino a quando il limite risulta determinato.
Es. 7 = − →
Per determinare l’ordine di per si ha:
y x sin x x 0
− −
x sin x 0 1 cos x 0 sin x 0
= = = = = =
lim lim lim −
− −
n n 1 n 2
0 0 0
→
→
→
x nx n ( n 1
) x
x 0 x 0 x 0
cos x
lim − − −
n 3
→ n ( n 1
)( n 2 ) x
x 0
− = −
Se la forma non è più indeterminata, pertanto è infinitesimo del
n 3 0 x sin x
terzo ordine.
α β
Siano due infinitesimi dello stesso ordine , per cui
e pag 3
α = ≠
con
lim k k 0
β
→
x a
avremo
α = + ε
k
β ε α β
dove è un infinitesimo simultaneo con . Segue che
e
α = β + β ε
k
β k
β β =
l’infinitesimo è dello stesso ordine di e quindi anche di
k lim k
β
→
x a
α . β ε essendo il prodotto di due infinitesimi è un infinitesimo di
ordine superiore a ciascuno dei due: in particolare è di ordine
β
superiore a . α
In conclusione: Ogni infinitesimo si può decomporre nella somma di due
infinitesimi parte
α = α + α α α
in cui è dello stesso ordine di ed è detto
1 2 1
principale α α
di , mentre è di ordine superiore rispetto ad
2
parte complementare
α α
ed è detto di .
Principio di sostituzione degli infinitesimi
Il limite del rapporto di due infinitesimi è uguale al limite del rapporto delle loro
parti principali.
α β
Infatti se sono infinitesimi simultanei si ha decomponendoli
e
α
α + 2
1
α
α α + α α
1
= = =
1
1 2 1
lim lim lim lim
β β + β β
β
→
→
→
→
x a x a x a x a
β +
1 2 1
2
1
β
1
1
Poiché α = α α
2 perché è di ordine superiore rispetto ad e
lim 0
α 2 1
→
x a 1
β = β β
2 perché è di ordine superiore rispetto ad
lim 0
β 2 1
→
x a 1
concludiamo che α
α = 1
lim lim
β β
→
→
x a x a 1 pag 4
Segue che il limite del rapporto di due infinitesimi non si altera eliminando gli
infinitesimi di ordine superiore (ciò semplifica il calcolo)
+ +
2
8 sin x 2 x x sin x
Es. 8 lim − 2
→ 3 x x sin x
x 0
Al numeratore : è del primo ordine
sin x
2 è del secondo ordine
x è del secondo ordine
x sin x
Al denominatore x è del primo ordine
2 è del terzo ordine
x sin x
Pertanto + +
2
8 sin x 2 x x sin x 8 sin x 8
= =
lim lim
− 2
→
→
3 x x sin x 3 x 3
x 0 x 0
Es. 9 Le due funzioni
α = − + β = −
e
x ln( 1 x ) 1 cos x β α
→
per sono due infinitesimi. Confrontare con
x 0
Si ha 1
1
−
1
α − + +
+ 2
x ln( 1 x ) 0 (
1 x
)
1 x
= = = = =
lim lim lim lim 1
β −
→ → → →
1 cos x 0 sin x cos x
x 0 x 0 x 0 x 0
I due infinitesimi sono dello stesso ordine 2
x
Es. 10 α = − −
Confrontare l’infinitesimo con l’infinitesimo
1 cos x 2
β = − .
tg x x
Si ha 2
x
− −
1 cos x
α − −
sin x x cos x 1
2
= = = =
lim lim lim lim
β − + − +
2 2
→ → → →
tg x x 1 tg x 1 2 tg x (
1 tg x
)
x 0 x 0 x 0 x 0
− sin x 0
= = =
[ ]
lim 0
+ + +
2 2 2
→ 2 1 tg x 3 tg x (
1 tg x
) 2
x 0 α β
Pertanto è di ordine superiore rispetto a
α = − β = −
2 2
Confrontare l’infinitesimo con l’infinitesimo
x sin x tg x sin x
Si ha α − −
x sin x 1 cos x
= = =
lim lim lim
β − + −
2 2 2
→ → →
tg x sin x 2 tg x
(
1 tg x ) 2 sin x cos x
x 0 x 0 x 0 pag 5
sin x
= =
[ ]
lim + + + − +
2 2 2 2
→ 2 1 tg x 3 (
1 tg x
) cos x sin x
x 0 cos x
= = ∞
[ [ ] ]
lim + + + + + +
2 2 2 2
→ 2 2 tg x (
1 tg x ) 3 2 tg x (
1 tg x
) 3
tg x (
1 tg x
) 4 sin x cos x
x 0 α β
Si conclude che è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a
1
Es. 11 =
La funzione se x tende a zero, tende a zero, perciò y è un
y xsin x
infinitesimo. Confrontare y con l’infinitesimo x.
Il rapporto è
1
xsin
y 1
x
= = sin
x x x
e quindi il
y 1
=
lim lim sin
→ →
x x
x 0 x 0
non esiste. 1 →
Dobbiamo concludere che l’infinitesimo , per non è confrontabile
xsin x 0
x
con l’infinitesimo x, cioè non è dello stesso ordine di x, né di ordine superiore.
Es. 12 Riguardando x come infinitesimo di confronto, determinare l’ordine e
la parte principale dell’infinitesimo, determinare la parte principale
dell’infinitesimo
3
8 x
+
2
x 4
Siccome si può scrivere
y 8
= +
3 2
x x 4
essendo
y 8
= = ≠
lim 2 0
3
→ x 4
x 0
si conclude che y è infinitesimo del 3° ordine rispetto ad x e che la sua parte
3
principale è . Pertanto si può scrivere
2 x
= + ε
3 3
y 2 x x
ε =
ove .
lim 0
→
x 0
Es. 13 Determinare l’ordine e la parte principale dell’infinitesimo
= −
y 1 cos x
Essendo pag 6
x
= − = 2
y 1 cos x 2 sin 2 2
basta dividere ambo i membri per , si ha
x
x
2
2 sin
y 2 x
2
= = 2
sin
2 2 2
x x x 2
y 2 x 1
= = ≠
2
lim lim sin 0
2 2
→ →
x x 2 2
x 0 x 0 = −
Si conclude che è infinitesimo del secondo ordine rispetto ad x (per
y 1 cos x 1
→ 2
) e la sua parte principale è .
x 0 x
2
L’infinitesimo si può scrivere
1
= + ε ε =
2 2 dove
y x x lim 0
→
2 x 0
Quando l’artificio di dividere per una opportuna potenza dell’infinitesimo di
n
confronto non è evidente si deve procedere confrontando con .
x
Es. 14 Determinare l’ordine dell’infinitesimo
5
16 x
=
y 3 +
2
x 2
→
Per si ha
x 0 −
5 5 5 3 n
y 1 16 x 16 x 16 x
= = = y
3 3
3
+ + +
2 3 n 2 2
n n x 2 x ( x 2 ) x 2
x x →
Poiché il denominatore non tende a zero per , determiniamo n in modo che
x 0 − =
anche il denominatore non vi tenda, occorre quindi che sia , da cui
5 3 x 0
5
=
n 3
Avremo pertanto 16
y = = =
3
lim lim 8 2
3 +
2
5
→ → x 2
x 0 x 0
3
x
Es. 15 Applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi calcolare:
+ +
3 2
3 x 2 x sin x cos x
lim + + 2
→ 4 x xtg x sinx tg x
x 0
Al numeratore è infinitesimo del 1° ordine rispetto ad x
3 x 3 è infinitesimo del 3° ordine rispetto ad x
2 x
2 è infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x
sin x cos x
Al denominatore è infinitesimo del 1° ordine rispetto ad x
4 x pag 7
è infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x
tg x 2 è infinitesimo del 3° ordine rispetto ad x
sinx tg x
Per cui + +
3 2
3 x 2 x sin x cos x 3 x 3
= =
lim lim
+ + 2
→ →
4 x xtg x sinx tg x 4 x 4
x 0 x 0
Es. 16 Calcolare
+ − − −
ln( 1 x
) ln( 1 x ) 2 x
lim −
→ tg x x
x 0
E’ immediato verificare che sia il numeratore che il denominatore sono
→
infinitesimi (per ) e determinare l’ordine.
x 0
Per il numeratore 1 1
+ − 2
+ − − − + −
ln( 1 x
) ln( 1 x ) 2 x 1 x 1 x
= =
lim lim −
n n 1
→ →
x nx
x 0 x 0 2 2
1 1 +
− + + −
+ − 3 3
2 2 (
1 x
) (
1 x
)
(
1 x ) (
1 x ) = =
= lim lim
− − −
− −
n 2 n 3
→
→ n (
n 1
) x n ( n 1
)( n 2 ) x
x 0
x 0 =
Se poniamo il limite non è più indeterminato e si ha:
n 3 2 2
+
+ − − − + −
3 3
ln( 1 x
) ln( 1 x
) 2 x (
1 x
) (
1 x
) 4 2
= = =
lim lim ⋅ ⋅
3
→ →
x 3 2 1 6 3
x 0 x 0 2 3
Pertanto la parte principale dell’infinitesimo è x
3
Per il denominatore
− + − +
2 3
tg x x 1 tg x 1 2 tg x 2 tg x
= = =
lim lim lim −
− −
n n 1 n 2
→ → →
x nx n ( n 1
) x
x 0 x 0 x 0
+ + +
2 2 2
2 (
1 tg x ) 6 tg x (
1 tg x )
= lim − − − −
n 3
→ n ( n 1
)( n 2 )( n 3 ) x
x 0 − =
Ponendo il limite risulta determinato. Si ha
n 3 0
− + + +
2 2 2
tg x x 2 (
1 tg x
) 6 tg x (
1 tg x
) 1
= = =
lim lim ⋅ ⋅
3
→ →
x 3 2 1 3
x 0 x 0 1
− 3
la parte principale dell’infinitesimo è
tgx x x
3
Il limite proposto sarà pag 8
2 3
x
+ − − −
ln( 1 x
) ln( 1 x ) 2 x 3
= =
lim lim 2
− 1
→ →
tg x x
x 0 x 0 3
x
3
Es. 17 Calcolare
( )
− +
6 3 3 2 5
x arctg x sin x
lim ( ) ( )
− − − − 4
→ x 5 x
x 0 e 1 7 x 5 1
La presenza delle potenze suggerisce di trascurare gli infinitesimi di ordine
superiore
6 5
A. è infinitesimo di ordine superiore rispetto a e quindi si può
x sin x
trascurare ( )
3 3 2
B. Premesso che sia infinitesimo del 3° ordine, poniamo
arctg x
=
3 2
x t
=
2 3
x t
3
= 2
x t 1
1
2 2 arctg t
3 arctg t +
3 2
+
arctg t 1 arctg t 2
2 1 t
1 t
= = = ⋅ =
lim lim lim lim 1 lim
+
2
3 2 2
→ → → → →
t 3
t 1 t t 2
t
t 0 t 0 t 0 t 0 t 0
1
= =
lim 1
+ 2
→ 1 t
t 0 =
3 3 3 2
Pertanto e sono infinitesimi dello steso ordine, inoltre per cui
arctg t t t x
( )
3 3 2 è infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x.
arctg x 5
Ciò suggerisce di trascurare rispetto all’arcotangente.
sin x
−
x
C. Verifichiamo l’0rdine di e 1
− −
x x
e 1 e 1
=
lim lim −
n n 1
→ →
x nx
x 0 x 0
− = −
x
Se il limite è determinato, per cui è infinitesimo del 1° ordine.
n 1 0 e 1
5
Trascuriamo inoltre 7 x −
x 4
D. Verifichiamo l’0rdine di . Si ha
(
5 1
)
− − −
x 4 x 3 x x 3
(
5 1
) 4 ( 5 1
) 5 ln 5 ( 5 1
)
= = =
x
lim lim lim 5 ln 5 lim
4 3 3
→ → → →
x 4 x x
x 0 x 0 x 0 x 0
− − −
x 2 x x 2 x x
3 (
5 1
) 5 ln 5 (
5 1
) 2 ( 5 1
)
5 ln 5
= = = =
x 2
ln 5 lim ln 5 lim 5 ln 5 lim ln 5 lim
2 2
→ → → →
3 x x 2 x
x 0 x 0 x 0 x 0
x
5 ln 5
= =
3 4
ln 5 lim ln 5
→ 1
x 0 pag 9
−
x 4
Pertanto è infinitesimo del quarto ordine, e possiamo trascurarlo perchè
(
5 1
) −
x
di ordine superiore rispetto a .
e 1
Possiamo quindi scrivere
( ) ( )
− + −
6 3 3 2 5 3 3 2 3
x arctg x sin x arctg x arctg t
= = − =
( )
lim lim lim
( ) ( ) − 3
− − − − 4 x
→ → →
e 1
x 5 x
x 0 x 0 t 0
e 1 7 x 5 1 −
2
t
e 1
1 1
2
3 arctg t + +
3 2
arctg t arctg t
2 2
1 t 1 t
= − = − = − =
lim lim 2 lim lim
3 3
1
→ → → →
3
t 0 t 0 t 0 t 0
3 t
−
2 2 2
t t
t
e 1 e
2
e t
2
1
2 arctg t + 2
1 t
= − ⋅ ⋅ = − ⋅ =
2 1 lim lim t arctg t 0
→ →
1
t 0 t 0
t
2
Calcolare i seguenti limiti
+ −
2 3 3
sin x 2 sin x xtg x
É 1
lim + − − +
3 3
→ x ln( 1 x ) x xsin x 3
x 0 − +
2
3 x sin x cos x tg x
É 3
lim
→ x sin x
x 0 3
2 1
x tg x
É lim + −
3 2 2 4 2
→ 2 x x sin x tg x
x 0 + + −
3 2
2 x x cos x sin x
É 2
lim + + 2
→ x xtg x sin x tg x
x 0 3
1
− 1
+ + +
2 x
ln( 1 x ) tg x e x
É lim 3
+
→
x 0 3 x x sin x
+ + +
4 5 3
(
1 cos x
) x x sin x
Calcolare lim + 4
→ sin x 7 x
x 0
Al numeratore
+ 4 è infinitesimo di ordine 8 essendo del 2° ordine
(
1 cos x
) 1+ cos x
5 “ “ 5
x 1 1 7
= + =
3 3 è infinitesimo di ordine
2
x sin x x sin x 3
2 2
Al denominatore
è infinitesimo del pr
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