Matematica

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Corso dal 7 ottobre al 3 dicembre

Email: paolo.stellari@unimi.it

Insiemi e insiemi numerici

Def. Insieme numerico: la collezione A di elementi dell'universo U precedentemente fissato.

Dati A, B insiemi in U, si possono stabilire diverse relazioni tra essi:

• Troviamo diversi insiemi numerici:
• N: insieme dei numeri naturali (zero compreso)
• Z: insieme dei numeri interi (naturali con segno)
• Q: insieme dei numeri razionali (frazioni a/b, con b diverso da zero e ridotte ai minimi termini)
• R: insieme dei numeri reali
• C: insieme dei numeri reali complessi

N.B. Q è strettamente contenuto in R perché esistono numeri che appartengono a R, ma non a Q, ad esempio radice di 2.

L'insieme R può essere pensato come insieme in biiezione con i punti di una retta, ovvero ad ogni punto della retta posso associare uno e un solo elemento della retta, e viceversa. Una funzione di questo tipo, si dice biiettiva. (Per definizioni vedi dopo)

Si può dunque definire una funzione f: retta euclidea → R che sia iniettiva e suriettiva. Per fare questo:

• Fisso un punto O di origine appartenente ad una retta r;
• Fisso l'orientazione della retta r;
• Fisso l'unità di misura prendendo un punto A (diverso da zero e appartenente a r) nella direzione positiva scelta;
• Associo ad ogni elemento di R una coordinata rispetto a questo sistema di riferimento.

N.B. Fissare un sistema di riferimento, significa dunque fissare un'origine O nel piano, degli assi passanti per O, non coincidenti e orientati e un'unità di misura. Questo mi permetterà di associare ad ogni punto del piano delle coordinate. Per dare un sistema di riferimento, basta scegliere 3 punti nel piano: 2 di questi daranno una retta e l'origine, il terzo fornirà il sistema di riferimento.

Funzioni

Def. Funzione: dati due insiemi A e B, una funzione f: A→B associa ad ogni elemento a di A, uno e un solo elemento B di B.

N.B. Se A e B sono vuoti, allora la funzione sarà degenere.

Def. Funzione iniettiva: funzione che ad ogni elemento di B, associa al più un elemento di A.

Def. Funzione suriettiva: funzione che ad ogni elemento di B, associa almeno un elemento di A.

Def. Funzione biettiva: funzione che è sia iniettiva che suriettiva.

Def. Data una funzione f: A→B, l'insieme A è detto dominio, mentre l'unione B è detto codominio.

Def. Data una funzione f: A→B e A' sottoinsieme di A, denoteremo con f | A' A'→B la funzione ottenuta restringendo il dominio.

Def. Immagine: data f: A→B, indicheremo con Im(f) = f(A) l'insieme delle immagini di A in B.