Matematica

FUNZIONI

DEF. Funzione = dati due insiemi A e B, una funzione f: A→B associa ad ogni

elemento a di A, uno è un solo elemento B di B.

N.B. Se A e B sono vuoti, allora la funzione sarà degenere.

DEF. Funzione iniettiva = funzione che ad ogni elemento di B, associa AL PIÚ un

elemento di A.

DEF. Funzione suriettiva = funzione che ad ogni elemento di B, associa ALMENO

un elemento di A.

DEF. Funzione biettiva = funzione che è sia iniettiva che suriettiva.

DEF. Data una funzione f: A→B, l'insieme A é detto dominio, mentre l'unione B é

detto codominio.

DEF. Data una funzione f: A→B e A' sottoinsieme di A, denoteremo con

f | A' A'→B la funzione ottenuta restringendo il dominio.

DEF. Immagine = Data f: A→B, indicheremo con Im(f) = f(A) sottoinsieme di B

l'immagine di f.

DEF. Funzioni uguali = due funzioni f, g: A→B sono uguali se hanno lo stesso

dominio e lo stesso codominio, cioè se per ogni elemento a appartenente al dominio,

f(a)=g(a).

DEF. Funzione inversa = data f: A→B biiettiva, esiste la funzione inversa di f, che

-1

indicheremo con f : A→B, cioè ogni elemento B, appartenente a B, è associato ad un

unico elemento a, appartenente ad A.

N.B. L'elemento a deve esistere ed essere unico. L'esistenza è assicurata dal fatto che

la funzione é suriettiva, mentre l'unicità è assicurata dal fatto che è iniettiva.

DEF. Funzione composta = date f: A→B e g: B→C, definiamo g°f=h la funzione che

associa ad ogni elemento di A, uno è un solo elemento di C, cioè h: A→C.

DEF. Grafico di funzione = data f: A→B, il grafico di funzione è l'insieme gamma di

f contente le coppie ordinate tali che f(a)=b.

DEF. Funzione reale = una funzione f: A→B è detta reale di variabile reale se A e B

sono sottoinsiemi di R.

DEF. Polinomio = un polinomio p(x) appartenente a R[x] di variabile x e coefficienti

n n-1

reali è un'espressione della forma a x + a x + … + a x + a per qualunque n

n n-1 1 0

appartenente a N.

N.B. n è detto grado del polinomio, mentre x è la variabile.

DEF. Funzione polinomiale = una funzione f: R→R è detta polinomiale se esiste un

polinomio p(x), appartenente a R[x], tale che f(r)=p(r), però ogni r appartenente a R.

DEF. Funzione media = funzione polinomiale con p(x) = (x + x + … + x ).(1\n).

1 2 n

Tale funzioni approssima nel migliore dei modi un insieme di dati, rispondendo ad un

problema di minimizzazione. Infatti complessivamente la so,ma degli errori s, dati

dalla differenza tra la media e uno qualsiasi dei dati, è zero.

N.B. Elevando alla seconda la funzione media, ottengo lo scarto quadratico medio,

funzione a sua volta reale di variabile reale, che ha la caratteristica di rendere minimi

gli errori piccoli, ma anche di rendere molto evidenti errori grandi.

DEF. Massimo e minimo (assoluti) = data f: A→B funzione reale di variabile reale,

Xo appartenente ad A è detto:

- minimo (assoluto) di f se per ogni x appartenente al dominio f(x ) ≤ f(x).

o

- massimo (assoluto) di f se per ogni x appartenente al dominio f(x ) ≥ f(x).

o

DEF. Massimo e minimo (relativi) = data f: A→B e A' sottoinsieme di A, x si

o

definisce:

- minimo (relativo ad A') se x ≤

per ogni x appartenente ad A' f(x ) f(x).

o o

- massimo (relativo ad A') ≥

per ogni x appartenente al ad A' f(x ) f(x).

o 2

DEF. Parabola = funzione polinomiale definita da p(x) = ax + bx +c.

N.B. Se a>0, allora la parabola non ha massimo, ma ha minimo in x = -b/2a; mentre

o

se a<0, allora la parabola non ha minimo, ma ha massimo in x = -b/2a.

o

DEF. Monotonia = una funzione f: A→B è:

- (strettamente) crescente in A' sottoinsieme di A se, dati x e x appartenenti ad A'

1 2

≤

con x < x , si ha f(x ) f(x ).

1 2 1 2

- (strettamente) decrescente in A' sottoinsieme di A se, dati x e x appartenenti ad A'

1 2

≥

con x < x , si ha f(x ) f(x ).

1 2 1 2

Approfondimento metodo dei minimi quadrati.

Si immagini di fare un esperimento che ad ogni valore di x , associa un valore y .

i i

Bisogna trovare una funzione reale di variabile reale f: R→R che sia un modello del

mio esperimento. Dunque provo con una funzione polinomiale di primo grado, la più

semplice possibile che può approssimare bene i valori ottenuti.

Allora ho: p(x) = mx + q con m,q appartenente a R.

calcolando gli errori S e sostituendo ottengo: S = p(x ) – y = mx +q – y .

i i i i i i

Assumendo n come numero di valori presi nell'esperimento, ottengo una funzione

polinomiale di secondo grado in 2 variabili: ni=1

S(m,q) = 1\n.[(mx + q – y ) + … + (mx + q – y ) = 1\n.∑ (mx + q + y )

1 1 n n i i

Per minimizzare questa funzione di variabili m e q, bisogna:

a) fissare una delle due variabili (in questo caso fisseremo m) in modo tale che

diventi un parametro.

b) studiare la funzione nell'unica variabile rimasta (q) e trovare il valore per il quale

questa nuova funzione trovata si minimizza.

c) osservare che il valore trovato dipende da m e lo sostituisco all'interno della

funzione iniziale.

d) ottenuta una funzione nella variabile inizialmente fissata, ne studio il minimo.

=> Ho ottenuto le coordinate del punto di minimo della funzione S(m,q).