Matematica per le applicazioni I - le funzioni

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STUDIO DI FUNZIONE: razionale frazionaria

−

2

x 9

( ) =

= y

y f x +

2

x 4

{ }

Campo di = ∀ ∈

CDE x R

Esistenza ( ) ( )

Eventuali −

intersezioni con l’asse x : ;

3

, 0 3

, 0

intersezioni con gli  

assi coordinati 9

−

 

intersezione con l’asse y : 0

, 

 4

< − >

segno della la funzione è positiva in : x 3 , x 3

funzione

comportamento − −

2 2

9 9

x x

− −

= + = +

agli estremi del ;

lim lim

1 1

+ +

dominio 2 2

→ −∞ → +∞

x x

4 4

x x

eventuali asintoti asintoti verticali: nessuno

=

asintoti orizzontali: y 1

asintoti obliqui: nessuno

derivate x

26

= ( )

y ' 2

+

2

x 4

( )

− +

2

26 3 x 4

= ( )

y ' ' 3

+

2

x 4 <

monotonia la funzione è decrescente nell’intervallo in cui : x 0

>

la funzione è crescente nell’intervallo in cui : x 0

eventuali massimi 

 9

− 



e minimi relativi minimo : 0

, 

 4

massimo : nessuno

concavità e 2 3 2 3

− < <

convessità la funzione presenta la concavità verso l’alto in : x

3 3

2 3 2 3

< − >

la funzione presenta la concavità verso il basso in : x x

,

3 3

eventuali punti di    

23 23

2 3 2 3

   

flesso − − −

punti di flesso : ;

, ,

   

3 16 3 16

   

grafico y

4

2 x

0

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

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STUDIO DI FUNZIONE: razionale frazionaria

−

2

x 9

=

y +

2

x 4

Campo di Esistenza

−

2

x 9

= è una funzione razionale fratta, perciò basterà imporre che il denominatore non sia nullo:

y +

2

x 4

+ ≠ ⇒ ≠ −

2 2 .

4 0 4

x x

Questo si verifica sempre nel campo dei numeri Reali, quindi il CDE della funzione è costituito dall’intero asse Reale:

{ }

= ∀ ∈ .

CDE x R

Intersezioni con gli assi coordinati

Intersezione con l’asse x:

 

− −

2 2  

9 9

x x = ±



− = =

 

  2 2

= = x 3

x x

9 0 9

y 0 

 

 

, , , ,

+ +

2 2 =

4 4

x x  

= =  y 0

  y y

0 0

= =

 

0 0

y y ( ) ( )

−

I due punti in cui la curva interseca l’asse x sono: ;

3

, 0 3

, 0

Intersezione con l’asse y:

 −

− 

2 0 9

9

x

  =

= y

y 

 +

,

+

2 0 4

4

x 

 =

= x 0

0

x 

 9

− 



Il punto in cui la curva interseca l’asse y è : 0

, 

 4

Segno della funzione

Studiamo in quali intervalli la funzione è positiva, ovvero in quali regioni del CDE la funzione si dispone sopra l’asse delle

ascisse: -3 3

< − >

> − > >

2 2 x x

3

, 3

N 0

−

2 x x

9 0 9

x 9 > ,

0

+

2 ∀

> + >

2

x 4 x

D 0 x 4 0 sempre vero + - +

< − >

La funzione risulta positiva per valori .

x 3 , x 3

Studio coi limiti del comportamento della funzione agli estremi del dominio.

− ∞

2

x 9 =

lim ∞

+

2

→ −∞

x x 4

la forma di indeterminazione si elimina confrontando gli ordini di infinito del numeratore e del denominatore.

∞

La funzione, quando x tende ad , tende al valore 1.

Un altro metodo di calcolo consiste nel raccogliere al numeratore e al denominatore la stessa quantità:

 

9

−

 

2 1

x

−

2  

2

9

x x

= =

lim lim  

+

2

→ −∞ → −∞ 4

4

x

x x +

 

2 1

x  

2

x 9 4

= =

2 e il ,

e notando che il

ora semplificando per x lim 0 lim 0

2 2

→ −∞ → −∞

x x

x x

−

2 9

x −

= .

si ottiene: lim 1

+

2

→ −∞

x 4

x −

2 9

x −

= .

In modo analogo si procede per l’altro limite, ottenendo lim 1

+

2

→ +∞

x 4

x

Asintoti orizzontali − −

2 2

9 9

x x

= =

Dal calcolo del limite e , si deduce che la funzione tende al valore 1.

lim 1 lim 1

+ +

2 2

→ −∞ → +∞

x x

4 4

x x

=

La retta è un asintoto orizzontale.

y 1 2

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Calcolo delle derivate

( ) ( ) ( )

+ − − + − +

2 2 2 2

2 4 2 9 2 4 9

x x x x x x x 26 x

= = =

( ) ( ) ( )

'

y 2 2 2

+ + +

2 2 2

4 4 4

x x x

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

+ − + + + − − +

2 2 2 2 2 2

26 x 4 26 x 2 x 4 2 x 26 x 4 x 4 4 x 26 3 x 4

= = =

( ) ( ) ( )

y ' ' 4 4 3

+ + +

2 2 2

x 4 x 4 x 4

Ricerca di eventuali punti di massimo o minimo relativi

26 x

= ⇒ = = = .

( )

y ' 0 0 26 x 0 x 0

2

+

2

x 4

=

Il punto di ascissa è un probabile punto di massimo o minimo.

x 0

Studio della monotonia 0

> >

>

N 0 0

x

26 0

x

26 x

> ⇒ >

( )

' 0 0

y ( )

2 > 2

+

2 + >

2

D 0 sempre vero

4

x 4 0

x +

-

quindi la curva risulta crescente per valori di x positivi, mentre risulta decrescente per valori negativi di x.

=

Inoltre possiamo affermare che il punto di ascissa è un punto di minimo per la funzione.

x 0

Calcoliamo ora l’ordinata di tale punto sostituendo il valore dell’ascissa nella funzione:

−

2

x 9 9

= = − .

y +

2 4

x 4 

 9

− 



In conclusione il punto di coordinate è un punto di minimo relativo.

0

, 

 4

Ricerca di eventuali punti di flesso

( )

− +

2

26 3 4

x 4 2

= − + = − = − = = ±

= ⇒ 2 2 2 ,

( ) 0 , 3 4 0 , 3 4 , ,

' ' 0 x x x x

y 3 3

+ 3

2 4

x 2 3

= ±

da cui razionalizzando otteniamo le ascisse dei due probabili punti di flesso .

x 3

Studio della concavità

( ) 4 2 3 2 3

< − < < +

2

> − > − < x x

2 2

− + >

2

− + N 0

2 3 4 3 4

x x

3 4 0

x

26 3 4

x 3 3 3

>

> ⇒ ( ) 0

' ' 0

y ( )

3 > 3 + >

+ 2

2 + >

D 0 2 4 0 sempre vero

x

4

x 4 0

x

2 3

2 3

− 3

3

>

N 0

>

D 0 -

- + 2 3 2 3

− < <

La curva quindi presenta la concavità verso l’alto in : ,

x

3 3

2 3 2 3

< − >

mentre presenta la concavità verso il basso in : .

x x

,

3 3

Calcoliamo ora le ordinate dei punti di flesso sostituendo i valori ottenuti nella funzione:

−

4 4 27

− 9

−

2 23

x 9 3 3 = −

= = = .

y +

+

2 4 4 12 16

x 4 + 4

3 3    

2 3 23 2 3 23

   

− − −

Per cui i punti di flesso hanno coordinate ; .

, ,

   

3 16 3 16

    3

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STUDIO DI FUNZIONE: razionale frazionaria

x

( ) =

= y

y f x −

2

x 1

{ ( ) ( ) ( )

}

= ∀ ∈ − ∞ − ∪ − + ∪ + +∞

Campo di CDE x , 1 1

, 1 1

,

Esistenza ( )

Eventuali 0

, 0

intersezione con l’asse x :

intersezioni con gli ( )

assi coordinati 0

, 0

intersezione con l’asse y : < < >

segno della la funzione è positiva in : - 1 x 0 , x 1

funzione

comportamento x x x x

−

= = −∞ = +∞ = −∞

agli estremi del lim 0 ; ; ;

; lim lim lim

− − − −

2 2 2 2

→ −∞

dominio − + −

x 1 x 1 x 1 x 1

x → − → − →

x x x

1 1 1

x x +

= +∞ =

lim 0

;

lim −

− 2

2 → +∞

+ x 1

x 1 x

→

x 1 = − =

eventuali asintoti x 1 x 1

asintoti verticali: ,

=

y 0

asintoti orizzontali:

asintoti obliqui: nessuno ( )

derivate +

+ 2

2 2 x x 3

x 1

= − =

y ' y ' '

; ( )

( )

2 3

− −

2 2

x 1 x 1

monotonia la funzione è decrescente : sempre (in tutto il suo CDE)

la funzione è crescente : mai

eventuali massimi minimo : nessuno

e minimi relativi massimo : nessuno − < < >

concavità e 1 x 0 , x 1

la funzione presenta la concavità verso l’alto in :

convessità < − < <

x 1 , 0 x 1

la funzione presenta la concavità verso il basso in :

( )

eventuali punti di 0

, 0

punto di flesso discendente :

flesso

grafico y

6

4

2 x

0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-4

-6

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STUDIO DI FUNZIONE: razionale frazionaria

x

=

y −

2 Campo di Esistenza

x 1 x

=

y è una funzione razionale fratta, perciò basterà imporre che il denominatore non sia nullo:

−

2

x 1

− ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ±

2 2

x 1 0 x 1 x 1 .

Questo si verifica sempre nel campo dei numeri Reali, quindi il CDE della funzione è costituito dall’unione degli intervalli:

{ ( ) ( ) ( )

}

= ∀ ∈ − ∞ − ∪ − + ∪ + +∞

CDE x , 1 1

, 1 1

, .

Intersezioni con gli assi coordinati

Intersezione con l’asse x:

  =

x x 

= = x 0

  

y 0

  

− −

2 2