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Adolfo Scimone FORMULE INTEGRAZIONE Pag 3

+

ax b = n dove n è il m.c.m.(p,q)

t

+ d

cx

Casi particolari dell'integrale considerato sono gli integrali del tipo

 

( ) ( )

∫ r s

+ +

p q

, , ,...

f x ax b ax b dx

 

 

)

(

∫ p q

r s

f x , x , x ,... dx )

(

∫ + +

2

.- f x , ax bx c dx ( 1 )

2)

Distinguiamo due casi a > 0 ed a < 0.

Sia a > 0. L'integrale ( 1 ) diviene un integrale di funzione razionale effettuando

1° caso -

la sostituzione:

+ + = ± ⋅ +

2

ax bx c a x t

dove si può prendere indifferentemente il segno + o - .

- Sia a < 0 Indichiamo con x e x le radici dell'equazione

2° Caso 1 2

+ + =

2

ax bx c 0 + +

2

Se queste radici sono complesse coniugate allora il polinomio risulta negativo

ax bx c

per qualunque valore della x e quindi la funzione che si deve integrare non risulta reale , lo

=

stesso accade se x x .

1 2

Escludendo questi casi, supponendo perciò che le radici siano reali, supponiamo che

+ +

< < <

2

ax bx c

x x . In questo caso il trinomio risulta positivo per x x x e l'integrale

1 2 1 2

)

(

∫ + +

2

f x , ax bx c dx

si trasforma in un integrale di funzione razionale ponendo:

x x =

1 t

x x

2

cioè:

− = −

2

x x t ( x x )

1 2

per cui si ha :

+ −

2

x t x 2( x x )

t

= =

x dx dt

2 1 2 1

+ + 2 2

2

t t

1 (1 )

Sostituendo l'integrale si trasforma in un integrale di funzione razionale.

Integrazione dei differenziali binomi

Adolfo Scimone FORMULE INTEGRAZIONE Pag 4

Si chiamano differenziali binomi i differenziali della forma

( ) p

+

n n

x a bx dx

dove a e b sono costanti ed m, n, p sono numeri razionali.

L'integrale

( ) p

∫ +

n n

x a bx dx

diviena razionale nei seguenti tre casi:

1°) Se p è un numero intero, si pone:

= k

x t

dove k è il minimo comune multiplo dei denominatori di m ed n.

+

m 1

2°) Se poniamo

n

+ =

n h

a bx t

dove h è il denominatore di p

+

m 1 +

3°) Se è un numero intero, poniamo:

p

n

+ n

a bx = h

t

n

x

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI TRASCENDENTI

Consideriamo i casi

a) Se f(x) è una è una funzione razionale delle variabili x e y consideriamo i seguenti

integrali:

( ) ( )

∫ ∫

2 2

f sin x , cos x cos xdx

, f sin x , cos x sin xdx

che si possono trasformare nella forma

( ) ( )

∫ ∫

− −

2 2

f sin x ,

1 sin x cos xdx

, f 1 cos x , cos x sin xdx

= nel primo integrale e la sostituzione

si traformano eseguendo la sostituzione x t

sin

=

x t nel secondo integrale.

cos

b) Sia dato l'integrale

Adolfo Scimone FORMULE INTEGRAZIONE Pag 5

∫ ⋅

2 2

f ( sin x , cos x , sin x cos x ) dx

Si trasorma in un integrale di funzione razionale con la sostituzione:

=

x t

tg 1

=

= dx dt

x t per cui Inoltre si ha:

che implica arctg + 2

t

1

2

t t

1

= = ⋅ =

2 2

sin x cos x sinx cos x

+ + +

2 2 2

t t t

1 1 1

Inoltre l'integrale

∫ f tg x dx

( )

è un caso particolare del precedente se si pone

2

sin x

=

tg x sin x x

cos

c) Se l'integrale è della forma

∫ f ( sin x , cos x ) dx

dove f è una funzione razionale di sin x e cos x si pone:

x =

tg t

2

si ha 2

=

= dx dt

x 2 arctg t + 2

t

1

essendo x x

− 2

tg tg

2 1 − 2

t t

2 1

2 2

= = = =

sin x sin x

x x

+ + 2

2

t t

1 1

+ + 2

2

tg tg

1 1

2 2

d) Integrali del tipo

= m n

I sin x cos x dx ( 1 )

dove m ed n sono numeri interi.

a) Se m = 2k +1 è un numero positivo dispari, si pone:

∫ ∫

= − − = − − −

2 2

k n k n

cos ( ) (

1 cos ) cos ( )

I sin x x sinx dx x sinx dx

Si procede in modo analogo se n è un numero positivo dispari

Adolfo Scimone FORMULE INTEGRAZIONE Pag 6

b) Se m ed n sono numeri positivi pari, l'espressione ( 1 ) si trasforma con l'ausilio delle

formule: +

− x x

1 cos 2 1 cos 2 1

= = ⋅ =

2 2

sin x x sinx x sin x

2

cos cos

2 2 2

µ ν

= − = −

c) Se sono numeri negativi interi di stessa parità allora

m ed n η ν −

  2

1 1 1

dx 2

∫ ∫ ∫

ν  

= = = + + =

2 2

n

cos sec 1 (

1 )

I ec x x dx tg x dx

2

 

µ ν 2

2 2

cos cos cos

sin x x x tg x x

 

µ ν

+ −

1

+ 2

tg x

(

1 ) 1

2

= dx

µ 2

tg x x

cos 1 =

Si può se necessario porre tg x = t per cui dx dt

2

cos x

In particolare, a questo caso si riducono gli integrali:

1

1

dx 2

∫ ∫

= dx

µ µ − x x

1

2

sin x µ

sin cos

2 2

π

 

+

 

d x

dx 2

 

∫ ∫

= π

ν 

x

cos ν +

 

sin x 2

 

d) Gli integrali del tipo

∫ ∫

m m

oppure tg

tg xdx xdx

dove m è un numero intero positivosi calcolano con l'ausilio della formula

= − = −

2 2 2 2

tg x sec 1 0 rispettivamente ctg cos ec 1

Integrali del tipo

∫ ∫ ∫

sin mx

cos nx dx sin mx sin nx dx cos

mx

cos nx dx

In questi casi si usano le formule:

1

= + + −

1) sin mx cos nx sin ( m n ) x sin ( m n ) x

2

1

= − − +

2) sin mx sin nx cos( m n ) x cos( m n ) x

2

1

= − + +

3) cos mx cos nx cos( m n ) x cos( m n ) x

2

Adolfo Scimone FORMULE INTEGRAZIONE Pag 7

Integrali del tipo

( )

∫ x

f e dx

Con la sostituzione 1

= = =

x

e t x ln t dx dt

t

si ha ( ) f (

t )

∫ ∫

=

x

f e dx dt

t Idee sulla teoria dell’integrazione

Claudio Pacati

Università degli Studi di Siena

Dipartimento di Economia Politica

Dispensa del corso di Matematica Finanziaria, a.a. 1999–2000

Sommario

Questa nota si propone di illustrare brevemente le idee ed i principali risultati della teoria dell’in-

tegrazione di funzioni reali di una variabile reale. Non pretende di essere una trattazione completa e

rigorosa, quanto un “Bignami” di idee e nozioni fondamentali su uno strumento matematico necessario

nel corso di Matematica Finanziaria.

1 Introduzione

Si considerino i seguenti due problemi: → ⊂ →

Problema 1 : IR, IR, : IR

Data una funzione f A con A trovare un’altra funzione F A

0 ∈

(x) = (x) IR; primitiva

derivabile, tale che F f per ogni x una funzione F siffatta, se esiste, si chiama

della funzione f . → ⊂

Problema 2 : IR, IR,

Data una funzione f A con A calcolare l’area della parte di piano delimitata

tra l’asse delle ascisse ed il grafico della funzione.

I due problemi sono apparentemente molto diversi tra di loro: il primo richiede essenzialmente di

operare l’operazione inversa della derivazione, mentre il secondo ha un significato strettamente geometrico.

Vedremo tuttavia che sono profondamente collegati e la teoria dell’integrazione nasce proprio per risolverli.

2 L’integrale indefinito

Affrontiamo anzitutto il primo problema e premettiamo alcune osservazioni.

→ ⊂ ∈

Osservazione 1 : IR, IR, IR

Se f A con A ammette una primitiva F , allora per ogni costante c

= (x) +

la funzione G, definita da G(x) F c è ancora una primitiva della funzione f .

0 0 ∈

Infatti, derivando la funzione la costante sparisce e (x) = (x) = (x) per ogni Questo

G, G F f x A.

risultato mostra che se una funzione ammette una primitiva, allora ne ammette infinite, ottenute dalla

prima per somma (traslazione) con una qualsiasi costante.

Esempio 1 Si consideri la funzione (x) = definita su tutto l’asse dei reali. È facile verificare che

f x,

1 12

2 2

(x) = è una primitiva di , ma anche che = + è primitiva di , con numero reale

F x f G(x) x c f c

2

qualsiasi. α 6 −1

Esempio 2 Si consideri la funzione (x) = , con = numero reale, nel suo dominio di definizione

f x α 1 α+1

(tutto l’asse reale o solo i reali non negativi, a seconda di È facile verificare che (x) = è

α). F x

α+1

1 α+1

una primitiva di , ma anche che = + è primitiva di , con numero reale qualsiasi.

f G(x) x c f c

α+1

c Claudio Pacati, 1999 – tutti i diritti riservati. 1

1

Esempio 3 Si consideri la funzione (x) = , definita per ogni reale non nullo. È facile verificare che

f x

|x| |x|

(x) = log è una primitiva di , ma anche che = log + è primitiva di , con numero reale

F f G(x) c f c

qualsiasi. x

Esempio 4 Si consideri la funzione (x) = e , definita per ogni reale. È facile verificare che è primitiva

f f

x

di se stessa, ma anche che = e + è primitiva di , con numero reale qualsiasi.

G(x) c f c

Gli esempi fin qui mostrati illustrano l’idea della ricerca delle primitive di una funzione in casi molto

semplici, ovvero quando la funzione di partenza ha la forma della derivata di una funzione nota: si tratta

di invertire la regola di derivazione (e sommare una costante arbitraria).

Esempio 5 La primitiva di un polinomio si ottiene applicando il ragionamento dell’esempio 2 e ricor-

2 n

· · ·

dando la regola di derivazione della somma: se (x) = + + + + , allora una sua

f a a x a x a x

0 1 2 n

12 13 1

2 3 n+1

primitiva è (x) = + + + .

F a x a x a x . . . a x

0 1 2 n

n+1

→ ⊂

Osservazione 2 : IR, IR,

Se f A con A ammette due primitive F e G, allora esse differiscono per

∈ ∈

IR, (x) = +

una costante, ovvero esiste c tale che per ogni x A si ha che F G(x) c.

Si tratta di conseguenza del teorema di Lagrange.

Combinando le osservazioni 1 e 2 si ha che

→ ⊂

Teorema 3 : IR, IR (x)

Se una funzione f A con A ammette una primitiva F allora l’insieme di

tutte le sue primitive è {F | ∈

+ IR}

c c .

→ ⊂

Definizione 4 : IR, IR, integrale indefinito

Se f A con A allora si chiama l’insieme delle sue

primitive e lo si indica con Z (x)

f dx

In base a quanto visto prima, l’integrale indefinito di una funzione può essere vuoto (se la funzione

f

non ammette primitiva) ma, se ammette un elemento , allora ha infiniti elementi ed è

F

Z {F | ∈

(x) = + IR}

f dx c c .

Spesso si omettono le parentesi graffe e si scrive semplicemente

Z (x) = (x) +

f dx F c ,

sottintendendo che è una costante reale arbitraria.

c

Per quanto già visto negli esempi, possiamo già integrare (in senso indefinito) alcune funzioni:

Z 1

α α+1 6 −1)

= + (α =

x dx x c ,

+1

α

Z 1 |x|

= log +

dx c ,

x

Z x x

e = e +

dx c ,

Z 1 1 1

2 n 2 3 n+1

· · ·

(a + + + + ) = + + + +

a x a x a x dx a x a x a x . . . a x c .

0 1 2 n 0 1 2 n

2 3 +1

n

Aggiungiamo ora due semplici regole di calcolo, che derivano immediatamente dalla proprietà di

linearità della derivazione. 2

Osservazione 5 lineare,

L’integrale indifinito è nel senso che se f e g sono due funzioni che ammettono

integrale indefinito e se a è un numero reale, allora

Z Z Z

[f (x) + = (x) +

g(x)] dx f dx g(x) dx ,

Z Z

[af (x)] = (x)

dx a f dx .

Esempio 6

Z Z Z Z

Z 1

7 x 3

x 3

− −

3e + 2 5x + = 3 e + 2 1 5 + 7

dx dx dx x dx dx

x x

5 4

x |x|

− + 7 log +

= 3e + 2x x c

4

Si noti che, visto che la derivata del prodotto non è il prodotto delle derivate, la proprietà

non vale

che l’integrale del prodotto è il prodotto degli integrali. Tuttavia, partendo dalla formula di derivazione

del prodotto di due funzioni, si ottiene la formula di integrazione (indefinita) del prodotto in un caso

particolare, ovvero quando uno dei due fattori sia una derivata (ovvero, equivalentemente, quando si sa

integrare uno dei due fattori):

Teorema 6 (Teorema di integrazione per parti) Se f e g sono due funzioni derivabili con derivata

continua allora si ha che Z Z

0 0

(x)g (x) = (x)g(x) (x)g(x)

f dx f f dx .

Il senso operativo del teorema di integrazione per parti è che l’integrale a secondo membro potrebbe

essere più semplice da calcolare di quello a primo membro.

Esempio 7 Si voglia calcolare l’integrale della funzione log Se si pone (x) = log e = allora

x. f x g(x) x,

0 0

(x) = 1 e la funzione da integrare può essere scritta come log = (x)g (x). Applicando il teorema di

g x f

integrazione per parti si ha che

Z Z Z Z 1

0 0

− − −

log = (x)g (x) = (x)g(x) (x)g(x) = log = log +

x dx f dx f f dx x x x dx x x x c

x

Un altra regola di integrazione spesso utile si ottiene come conseguenza della formula di derivazione

della funzione composta.

Teorema 7 (Teorema di integrazione per sostituzione di variabile) Se f è una funzione della

= =

variabile x e se z φ(x) è un cambiamento di variabile, con inversa x ψ(z), allora si ha che

Z Z 0

(x) = (ψ(z))ψ (z)

f dx f dz ,

z=φ(x)

Il senso operativo del teorema è che l’integrale a membro destro potrebbe essere più semplice da calcolare.

0

z−3 12

2x+3

Esempio 8 Se (x) = e , posto = = 2x + 3 con inversa = = e (z) = , si ha che

f z φ(x) x ψ(z) ψ

2

Z Z 1 1

1

2x+3 z z 2x+3

e = e = e + = e +

dx dz c c

2 2 2

z=2x+3 z=2x+3

3

6

y ⊕ -

−1 2

s s

√ √

−1− −1+

5 5

0 x

2 2 2

Figura 1: Grafico della funzione (x) = 1 + in [−1, 2]

f x x

3 L’integrale definito

Il secondo problema è di tipo geometrico e conviene stabilire anzitutto una convenzione nel calcolo

dell’area, che illustreremo con un esempio. Si consideri la funzione : [−1, 2] IR, definita da (x) =

f f

2

1 + , il cui grafico è illustrato nella figura 1. La funzione assume sia valori positivi che negativi e

x x √

√ i h i

h −1−

−1+ 5 5

−1, e 2 , mentre

quindi il suo grafico si trova al di sotto dell’asse delle negli intervalli ,

x 2 2

√ √

h i

−1+ −1−

5 5

è al di sopra nell’intervallo . L’area compresa fra il grafico della funzione e l’asse delle

,

2 2

ascisse è composta da tre parti, corrispondenti ai tre intervalli di cui sopra. Le due parti più estreme si

trovano al di sotto dell’asse delle e converremo di assegnare loro contributo negativo all’area, mentre

x

conteremo con contributo positivo la perte intermedia. L’idea di questa convenzione è indicata nella

figura 1 dai segni e riferiti a ciascuna delle parti di area.

→ ⊂

Definizione 8 : [a, IR [a, IR

Sia f b] una funzione, con b] intervallo (eventualmente illimitato). Si

integrale (definito) [a,

chiama della funzione f nell’intervallo b] l’area della parte di piano delimitata dal

[a,

grafico della funzione nell’intervallo b] e l’asse delle x, con la convenzione di contare positivamente

quella parte di area che si trovi al di sopra dell’asse delle ascisse e negativamente quella che si trovi al

di sotto. L’integrale si indica con il simbolo b

Z (x)

f dx .

a

Esempio 9 Sia (x) = 2, per ogni [4, 7]. La figura che si trova fra il grafico della funzione e l’asse

f x

delle è il rettangolo di base [4, 7] e altezza 2, tutto al di sopra dell’asse delle La sua area è quindi

x x.

facilmente calcolabile e risulta 7

Z × −

(x) = 2 (7 4) = 6

f dx .

4 1

∈ ∈ −

Esempio 10 Sia (x) = 2x+1, per ogni [−3, 4]. La funzione assume valori negativi per [−3, ),

f x x 2

1 12

− ∈

si annulla in = e assume valori positivi per [− 4]. Il grafico della funzione (x) è illustrato

x x , f

2

nella figura 2. La parte di area relativa al primo intervallo darà pertanto contributo negativo all’integrale,

mentre quella relativa al secondo darà contributo positivo. Entrambe le parti sono dei rettangoli. Il primo

12

−5),

ha per vertici i punti (−3, (−3)) = (−3, (−3, 0) e (− 0) e quindi si tratta di un triangolo rettangolo,

f ,

1 12

− − −

con la base di ampiezza (−3) = 2.5 e l’altezza pari a 0 (−3) = 5; il secondo ha per vertici (− 0),

f ,

2 4

6 u

y (4, 9)

12

− -

−3

u u u

0 4 x

u

−5)

(−3,

Figura 2: Grafico della funzione (x) = 2x + 1 in [−3, 4]

f 12

(4, 0) e (4, (4)) = (4, 9) ed è anch’esso un triangolo rettangolo con base ampia 4− (− ) = 4.5 e di altezza

f

(4) 0 = 9. L’integrale vale pertanto

f 4

Z −2.5 × ×

(x) = 5 + 4.5 9 = 28

f dx .

−3 12 12

3

Esempio 11 Sia (x) = e si voglia calcolarne l’integrale definito in [− ]. Poiché si tratta di una

f x ,

6 u

y

12

− -

u u u

1

0 x

2

u 12 12

3

Figura 3: Grafico della funzione (x) = in [− ]

f x ,

funzione dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi. Tale simmetria comporta che

12

l’area della parte di piano che si trova tra [− 0] sull’asse delle ed il grafico è uguale a quella che si

, x

1

trova tra [0, ] ed il grafico. Per la convenzione dei segni che abbiamo stabilito, entrambe le aree danno

2

lo stesso contributo all’integrale, ma con segno opposto, bilanciandosi. Quindi

1

Z 2 3 = 0

x dx .

12

Esempio 12 Sia (x) = sin e si voglia calcolarne l’integrale definito in [0, 2π]. La funzione seno ha il

f x

grafico simmetrico rispetto al punto (π, 0), dove si annulla. Pertanto il contributo all’integrale dell’area

relativa all’intervallo [0, è uguale ma di segno opposto al contributo dell’area relativa all’intervallo

π]

[π, 0]. Dunque 2π

Z sin = 0

x dx .

0 5

Nasce naturalmente il problema di l’integrale in casi meno semplici di quelli visti negli

calcolare

esempi. L’area in questione non è, in generale, l’area di una figura regolare (ad esempio di un poligono),

né ha di solito le simmetrie viste negli utlimi due esempi. Normalmente non abbiamo a disposizione

delle formule che ci permettano di calcolare l’integrale in modo semplice. Non è questa la sede per

illustrare il procedimento generale, che è basato sul calcolo dell’integrale definito come limite di opportune

approssimazioni dell’area per difetto e per eccesso con dei poligoni, né per discutere i problemi di esistenza

dell’integrale stesso (potrebbe essere inifinita la somma dei contributi sia positivi che negativi all’area,

− ∞).

dando luogo ad una forma indeterminata del tipo +∞ Ci limiteremo ad illustrare il collegamento

tra integrale definito ed indefinito nel caso di funzioni continue definite in intervalli chiusi e limitati.

Tale collegemento permetterè di ricondurre il problema del calcolo dell’integrale definito a quello, un po’

più semplice, del calcolo dell’integrale indefinito.

Premettiamo alcuni risultati elementari ma utili nella pratica

→ ⊂

Osservazione 9 : [a, IR [a, IR

Siano f, g b] due funzioni, con b] intervallo (eventualmente illimita-

∈ ∈

[a, IR.

to); sia c b] e sia α Risulta che:

a

Z (x) = 0

f dx

a b a

Z Z

(x) = (x)

f dx f dx

a b

b c b

Z Z Z

(x) = (x) + (x)

f dx f dx f dx

a a c

b b b

Z Z Z

[f (x) + = (x) +

g(x)] dx f dx g(x) dx

a a b

b b

Z Z

[αf (x)] = (x)

dx α f dx

a a

Esempio 13 Si consideri la funzione costante a tratti definita in [−5, 2] da

 −5 ≤ −2,

2 se x <

 −4 −2 ≤ ≤

se 0,

x

(x) =

f 0 se 0 1,

< x <

 ≤ ≤

1 se 1 2.

x

Il grafico della funzione è illustrato nella figura 4. Si ha che

f

−2

2 0 1 2

Z Z Z Z Z × − × × × −1

(x) = (x) + (x) (x) + (x) = 3 2 2 4 + 1 0 + 1 1 =

f dx f dx f dx f dx f dx .

−5 −5 −2 0 1

Si osservi che, come per il caso dell’integrale indefinito, la proprietà moltiplicativa: l’integrale

non vale

definito del prodotto uguale al prodotto degli integrali.

non è

Il prossimo teorema è un’immediata conseguenza del teorema dei Weierstrß e del teorema dei valori

intermedi delle funzioni continue → ∈

Teorema 10 (Teorema della media integrale) : [a, IR

Sia f b] una funzione continua, con a, b

IR. [a,

Allora vi è un punto c b], tale che b

Z

1

(c) = (x)

f f dx .

b a a

6


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AUTORE

flaviael

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Docente: Gori Franco
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.

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