Matematica per le applicazioni I - integrali

L’integrale indefinito

1. Il concetto di integrale

Il problema che conduce all’introduzione del concetto di integrale nasce dal seguente quesito: se conosciamo la derivata di una certa funzione f, come possiamo trovare l’espressione analitica di f?

f (x )

Consideriamo, a tal fine, una funzione che in ogni punto di un intervallo [a, b] sia F (x ) la derivata di una certa funzione.

F (x ) f (x )

Si dice che è una funzione primitiva di.

Per esempio:  F ( x ) senx f ( x ) cos x  Dsenx cos x

La funzione è una primitiva di, poiché è: ;

 1 1  f ( x ) D x

La funzione è una primitiva di, poiché è: ;

F ( x ) x  2 x 2 x1 1

F ( x ) ln x  f ( x ) D ln x

La funzione è una primitiva di, poiché è: .

 x x

Si dimostra che:

f (x )

Tutte le funzioni che hanno per derivata si ottengono dalla formula:

F ( x ) c, attribuendo alla costante c un qualunque valore reale.

f (x )

L’insieme di tutte le primitive di una data funzione (che, come è facile intuire, sono infinite) si chiama integrale indefinito e si indica con il simbolo:

f ( x ) dx  ,

f (x )

che si legge “integrale indefinito di in”.

dx

Il simbolo indica l’operazione di integrazione, cioè l’operazione che data una funzione consente di determinare la sua primitiva; la funzione si dice funzione integranda ed il simbolo indica la variabile rispetto alla quale si esegue l’operazione di integrazione.

Da quanto detto sopra segue che l’integrazione indefinita è l’operazione inversa della derivazione.

Pertanto, le regole di derivazione, lette da sinistra verso destra, forniscono le regole di integrazione indefinita immediate.

1

Per esempio:

1 n n 1  x dx x c   n 1, se ;

 n 11 1   x dx dx ln x c  

 x   senxdx cos x c  ;

  cos xdx senx c  ;

 1  tgx c  ;

 2cos x1   ctgx c  ;

 2sen x1  dx arcsenx c  ;

 21 x1  dx arctgx c  ;

 21 x 1 x xx x  e dx e c 

 a dx a c  in particolare ;

 ln ae così via …

2. Le proprietà degli integrali indefiniti

Per l’operazione di integrazione, valgono le seguenti proprietà:

• L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:

 k f ( x ) dx k f ( x ) dx   con.

 k

• L’integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni:

      f ( x ) f ( x ) ... f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx ... f ( x ) dx     .1 2 n 1 2 n

• Come conseguenza delle prime due proprietà si ha che: L’integrale della combinazione lineare di funzioni è uguale alla stessa combinazione lineare degli integrali delle funzioni date:

  .     k f ( x ) k f ( x ) ... k f ( x ) dx k f ( x ) dx k f ( x ) dx ... k f ( x ) dx    1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

Esempi:

21 33 3 3 1 4    3 x dx 3 x dx 3 x c x c   ;

 3 1 41 1 31 2 21 32 2 2      x dx x dx x c x c x c   ;

 1 3 3 123 1  dx 3 dx 3arctgx c   ;

 2 2 1 x 1 x6 1 6 2   4 4 1 3         dx 6 dx 6 x dx x c 2 x c c    ;

 4 4 3 4 1x x xsen 2 x 2 senx cos x   dx dx cos xdx senx c    ;

 2 senx 2 senx 12 7 7 3 2 3 2 4 3 4 3            12 x 7 x 1 dx 12 x dx 7 x dx dx x x x c 3 x x x c     .

 4 3 3

3. Il metodo di scomposizione

Come abbiamo visto nell’ultimo esempio, quando la funzione integranda è somma algebrica di altre funzioni elementari, l’integrale si calcola scomponendo la funzione di partenza. Questo procedimento è noto anche come metodo di scomposizione. Osserva gli esempi seguenti:

2 2 3 x 2 x 1 3 x 2 x 1 1 3 2 ;         dx dx dx dx 3 xdx 2 dx dx x 2 x ln x c       

 x x x x x 2x 1 cos x 1 1 1 12      sen dx dx dx cos xdx x senx c    

 [formula bisezione];

2 2 2 2 2 22 2sen x 1 cos x 12       tg xdx dx dx dx dx tgx x c     

 [relaz. fondamentale].

2 2 2cos x cos x cos x

4. Altre regole di integrazione

Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale:

5 3 x 1 dx  .

Le possibilità che abbiamo davanti sono due:

• Sviluppare la potenza del binomio e poi applicare il metodo di scomposizione;
• Applicare la regola seguente:

1    n n 1f ( x ) f ' ( x ) dx f ( x ) dx   con.

n 1n 1 3 f (x )

Ciò significa che per integrare una funzione che è la potenza di una funzione [quindi una funzione composta] si può procedere in modo del tutto simile a quello per integrare la funzione potenza, a patto però di avere come fattore moltiplicativo la derivata di.

nintegrare la funzione potenza, a patto però di avere come fattore moltiplicativo la derivata di. f ' ( x ) f (x )

Nel nostro caso il fattore moltiplicativo cioè 3 non c’è; tuttavia, dato che tale derivata è una costante, possiamo moltiplicare e dividere la funzione integranda per tale valore, in modo da ottenere:

1 1 1 1 15 5 5 5 1 6                       3 x 1 dx 3 3 x 1 dx 3 3 x 1 dx 3 x 1 c 3 x 1 c    .

3 3 3 5 1 18

Le altre regole di derivazione sono le seguenti:

f ' ( x )  dx ln f ( x ) c  ;

 f ( x )    f ' ( x ) senf ( x )dx cos f ( x ) c  ;

   f ' ( x ) cos f ( x ) dx senf ( x ) c  ;

 f ' ( x )  dx tgf ( x ) c  ;

 2cos f ( x )f ' ( x )   dx ctgf ( x ) c  ;

 2sen f ( x ) 1 f ( x ) f ( x )f ( x ) f ( x )   f ' ( x ) e dx e c 

  f ' ( x ) a dx a c  in particolare ;

 ln af ' ( x )  dx arcsenf ( x ) c  ;

  21 f ( x )f ' ( x )  dx arctgf ( x ) c  .

  21 f ( x )

Esempio:

2 x 6 2 x 6 2 x 1    dx dx dx dx 6 dx     

2 2 2 2 2    1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

Il secondo integrale è immediato, ma il primo non lo è. Si osserva, tuttavia, che il numeratore della frazione è uguale alla derivata del denominatore, per cui rientriamo in una delle regole di integrazione enunciate nel paragrafo precedente. Per cui si ha:

 2 .   ln 1 x 6 arctgx c4

5. Integrazione per sostituzione

Molto spesso, durante gli studi di matematica, ci si accorge di come un cambiamento di variabile porta spesso a semplificazioni di calcolo; si pensi ad esempio al metodo usato per la risoluzione delle equazioni biquadratiche o ad altri casi analoghi.

Anche nel calcolo di un integrale, assai spesso, un’analoga sostituzione della variabile di integrazione porta a facilitare l’individuazione dell’insieme delle primitive.

Vediamo il tutto con un esempio:

Supponiamo di voler calcolare l’integrale del paragrafo precedente:

5 3 x 1 dx 

ma senza applicare le regole enunciate.

Per far ciò operiamo la seguente sostituzione di variabile:

 t 3 x 1

L’integrale diventerà:

5t dx 

ma questa scrittura non è corretta, perché adesso la funzione integranda è espressa nella variabile t ma l’integrale è in dx. Pertanto, bisogna in qualche modo convertire il dx in dt. Per far ciò, dalla:

1   x t 1

si ha

 t 3 x 1 31dx dt

e quindi: .

3

Quindi, l’integrale scritto in forma corretta diventa:

1 5t dt 

3

facilmente calcolabile in quanto immediato. Si ha perciò:

1 1 1 15 6 6    t dt t c t c  .

3 3 6 18

Ma, per cui risostituendo:

 t 3 x 1 15 6      3 x 1 dx 3 x 1 c  .

18

Vediamo ora un altro esempio:

Si calcoli:

5 1 dx  .

7 4 x 5

Effettuando la sostituzione si ha:

1 1   x t 5 dx dt

da cui e quindi .

 t 4 x 5 4 4

L’integrale, pertanto, diventa:

1 1  7dx t dt   ,

7  44 x 5

facilmente calcolabile in quanto immediato. Si ottiene:

1 1 1 1   7 7 1 6     t dt t c t c  ,

 4 4 7 1 24

da cui risostituendo:

1 1  dx c  .

7 6    4 x 5 24 4 x 5

6. Integrazione per parti

L’integrazione per parti è un metodo di integrazione utilizzabile quando è possibile vedere la funzione integranda come prodotto di due funzioni tali che una di esse si possa interpretare come la derivata di una funzione nota.

La formula di integrazione è la seguente:

    f ' ( x ) g ( x ) dx f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ' ( x )dx  

e il metodo prende il nome di integrazione per parti proprio perché la funzione integranda g (x ) appare composta da due parti distinte: , che non essendo vista come la derivata di f ' ( x ) una funzione nota, prende il nome di fattore finito ed che è detto, invece, fattore differenziale.

Analizziamo il tutto con un esempio:

Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale:

x cos xdx  .

La funzione integranda può essere vista come il prodotto di due funzioni. Possiamo porre come fattore finito e come fattore differenziale. Sia avrà:

 g ( x ) x f ' ( x ) cos x

  g ' ( x ) 1 f ( x ) senx f ' ( x ) cos x

e [primitiva di]

Applicando la formula di integrazione per parti si ha:

      x cos xdx senx x senx 1dx xsenx cos x c   ,

che è l’integrale cercato.

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Adolfo Scimone FORMULE INTEGRAZIONE Pag 1

Integrazione indefinita di alcune classi di funzioni

Integrazione delle funzioni razionali fratte

Se la frazione è impropria, cioè il grado del numeratore è maggiore o uguale a quello del denominatore, allora si può effettuare la divisione secondo le regole dell'algebra, si ha:

= ⋅ +A ( x ) B ( x ) Q ( x ) R ( x )

e quindi:

( ) ( )A x R x= +Q ( x )B ( x ) B ( x )

per cui avremo:

( ) ( )A x R x∫ ∫ ∫= +( )dx Q x dx dx( ) ( )B x B x

Si presentano i seguenti casi

1) Radici reali e distinte

Consideriamo la frazione propria

( )A xB ( x )

e supponiamo che l'equazione di grado n

=B ( x ) 0

abbia tutte le n radici reali e distinte, siano esse

x , x ,..., x1 2 n

E' possibile determinare n costanti K , K ,....., K in modo che si abbia

1 2 nKK K( )A x = + + + n1 2 ....− − −( )B x x x x x x xn1 2

Per cui l'integrale

A( x )∫ risulta dato dalla somma di n integrali facilmente calcolabili.

B ( x )

2) Radici reali e multiple

Supponiamo che l'equazione

=B ( x ) 0

non possieda tutte le radici distinte, anche se reali. Supponiamo che ammetta, per la prima di multiplicità r (contata r volte), la semplicità tre radici distinte x , x , x ,

1 2 3

seconda s, la terza t dove