Matematica per le applicazioni I - integrali

L’Integrale indefinito

1. Il concetto di integrale

Il problema che conduce all’introduzione del concetto di integrale nasce dal seguente

quesito: se conosciamo la derivata di una certa funzione f, come possiamo trovare

l’espressione analitica di f ? f (x )

Consideriamo, a tal fine, una funzione che in ogni punto di un intervallo [a, b] sia

F (x )

la derivata di una certa funzione .

F (x ) f (x )

Si dice che è una funzione primitiva di .

Per esempio:  

F ( x ) senx f ( x ) cos x 

Dsenx cos x

La funzione è una primitiva di , poiché è: ;

 1 1

 

f ( x ) D x

La funzione è una primitiva di , poiché è: ;



F ( x ) x

 2 x 2 x

1 1



F ( x ) ln x  

f ( x ) D ln x

La funzione è una primitiva di , poiché è: .

 x x

Si dimostra che: f (x )

Tutte le funzioni che hanno per derivata si ottengono dalla formula:



F ( x ) c ,

attribuendo alla costante c un qualunque valore reale.

f (x )

L’insieme di tutte le primitive di una data funzione (che, come è facile intuire,

sono infinite) si chiama integrale indefinito e si indica con il simbolo:

f ( x ) dx

 ,

f (x )

che si legge “integrale indefinito di in ”.

dx

Il simbolo indica l’operazione di integrazione, cioè l’operazione che data una



f (x ) f (x )

funzione consente di determinare la sua primitiva; la funzione si dice funzione

integranda ed il simbolo indica la variabile rispetto alla quale si esegue l’operazione di

dx

integrazione.

Da quanto detto sopra segue che l’integrazione indefinita è l’operazione inversa

della derivazione.

Pertanto, le regole di derivazione, lette da sinistra vero destra, forniscono le regole di

integrazione indefinita immediate. 1

Per esempio: 1 

n n 1

 

x dx x c

  

n 1

, se ;

 

n 1

1



1   

x dx dx ln x c

 

 x

  

senxdx cos x c

 ;

  

cos xdx senx c

 ;

 1  

tgx c

 ;

 2

cos x

1   

ctgx c

 ;

 2

sen x

1  

dx arcsenx c

 ;

 2



1 x

1  

dx arctgx c

 ;

 2



1 x 1 x x

x x  

e dx e c



 

a dx a c

 in particolare ;

 ln a

e così via …

2. Le proprietà degli integrali indefiniti

Per l’operazione di integrazione, valgono le seguenti proprietà:

L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto

 della costante per l’integrale della funzione:

 

k f ( x ) dx k f ( x ) dx

  con .

 

k

L’integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma

 algebrica degli integrali delle singole funzioni:

 

     

f ( x ) f ( x ) ... f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx ... f ( x ) dx

    .

1 2 n 1 2 n

Come conseguenza delle prime due proprietà si ha che: L’integrale della

 combinazione lineare di funzioni è uguale alla stessa combinazione lineare degli

integrali delle funzioni date:

  .

     

k f ( x ) k f ( x ) ... k f ( x ) dx k f ( x ) dx k f ( x ) dx ... k f ( x ) dx

   

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

Esempi: 2

1 3



3 3 3 1 4

    

3 x dx 3 x dx 3 x c x c

  ;

 

3 1 4

1 1 3

1 2 2



1 3

2 2 2

      

x dx x dx x c x c x c

  ;

 1 3 3

 1

2

3 1

  

dx 3 dx 3

arctgx c

  ;

 2 2

 

1 x 1 x

6 1 6 2

   

4 4 1 3

         

dx 6 dx 6 x dx x c 2 x c c

   ;

 4 4 3

 

4 1

x x x

sen 2 x 2 senx cos x

   

dx dx cos xdx senx c

   ;

 2 senx 2 senx 12 7 7

 

3 2 3 2 4 3 4 3

            

12 x 7 x 1 dx 12 x dx 7 x dx dx x x x c 3 x x x c

    .

 4 3 3

3. Il metodo di scomposizione

Come abbiamo visto nell’ultimo esempio, quando la funzione integranda è somma

algebrica di altre funzioni elementari, l’integrale si calcola scomponendo la funzione di

partenza. Questo procedimento è noto anche come metodo di scomposizione. Osserva gli

esempi seguenti:

2 2

 

3 x 2 x 1 3 x 2 x 1 1 3 2 ;

         

dx dx dx dx 3 xdx 2 dx dx x 2 x ln x c

      

 x x x x x 2



x 1 cos x 1 1 1 1

2      

sen dx dx dx cos xdx x senx c

   

 [formula bisezione];

2 2 2 2 2 2

2 2



sen x 1 cos x 1

2       

tg xdx dx dx dx dx tgx x c

    

 [relaz. fondamentale].

2 2 2

cos x cos x cos x

4. Altre regole di integrazione

Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale:

5

 



3 x 1 dx

 .

Le possibilità che abbiamo davanti sono due:

1) sviluppare la potenza del binomio e poi applicare il metodo di scomposizione;

2) applicare la regola seguente: 1

    

n n 1



f ( x ) f ' ( x ) dx f ( x ) dx

  

con .

n 1



n 1 3 f (x )

Ciò significa che per integrare una funzione che è la potenza di una funzione

[quindi una funzione composta] si può procedere in modo del tutto simile a quello per

n

integrare la funzione potenza , a patto però di avere come fattore moltiplicativo la

x

f ' ( x ) f (x )

derivata di . f ' ( x )

Nel nostro caso il fattore moltiplicativo cioè 3 non c’è; tuttavia, dato che tale

derivata è una costante, possiamo moltiplicare e dividere la funzione integranda per tale

valore, in modo da ottenere:

1 1 1 1 1



5 5 5 5 1 6

         

              

3 x 1 dx 3 3 x 1 dx 3 3 x 1 dx 3 x 1 c 3 x 1 c

   .



3 3 3 5 1 18

Le altre regole di derivazione sono le seguenti:

f ' ( x )  

dx ln f ( x ) c

 ;

 f ( x )    

f ' ( x ) senf ( x )

dx cos f ( x ) c

 ;

   

f ' ( x ) cos f ( x ) dx senf ( x ) c

 ;

 f ' ( x )  

dx tgf ( x ) c

 ;

 2

cos f ( x )

f ' ( x )   

dx ctgf ( x ) c

 ;

 2

sen f ( x ) 1 f ( x ) f ( x )

f ( x ) f ( x )   

f ' ( x ) e dx e c



  

f ' ( x ) a dx a c

 in particolare ;

 ln a

f ' ( x )  

dx arcsenf ( x ) c

 ;

  

2



1 f ( x )

f ' ( x )  

dx arctgf ( x ) c

 .

  

2



1 f ( x )

Esempio: 

2 x 6 2 x 6 2 x 1

    

dx dx dx dx 6 dx

    

2 2 2 2 2

    

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

Il secondo integrale è immediato, ma il primo non lo è. Si osserva, tuttavia, che il

numeratore della frazione è uguale alla derivata del denominatore, per cui rientriamo in

una delle regole di integrazione enunciate nel paragrafo precedente. Per cui si ha:

 

2 .

   

ln 1 x 6 arctgx c

4

5. Integrazione per sostituzione

Molto spesso, durante gli studi di matematica, ci si accorge di come un cambiamento

di variabile porta spesso a semplificazioni di calcolo; si pensi ad esempio al metodo usato

per la risoluzione delle equazioni biquadratiche o ad altri casi analoghi.

Anche nel calcolo di un integrale, assai spesso, un’analoga sostituzione della

variabile di integrazione porta a facilitare l’individuazione dell’insieme delle primitive.

Vediamo il tutto con un esempio:

Supponiamo di voler calcolare l’integrale del paragrafo precedente:

5

 



3 x 1 dx



ma senza applicare le regole enunciate.

Per far ciò operiamo la seguente sostituzione di variabile:

 

t 3 x 1

L’integrale diventerà: 5

t dx



ma questa scrittura non è corretta, perché adesso la funzione integranda è espressa

nella variabile t ma l’integrale è in dx. Pertanto, bisogna in qualche modo convertire il dx in

dt. Per far ciò, dalla: 1  

 

x t 1

si ha

 

t 3 x 1 3

1



dx dt

e quindi: .

3

Quindi, l’integrale scritto in forma corretta diventa:

1 5

t dt



3

facilmente calcolabile in quanto immediato. Si ha perciò:

1 1 1 1

5 6 6

    

t dt t c t c

 .

3 3 6 18

Ma , per cui risostituendo:

 

t 3 x 1 1

5 6

   

   

3 x 1 dx 3 x 1 c

 .

18

Vediamo ora un altro esempio:

Si calcoli: 5 1 dx

 .

7

 



4 x 5

Effettuando la sostituzione si ha: 1 1

 

  

x t 5 dx dt

da cui e quindi .

 

t 4 x 5 4 4

L’integrale, pertanto, diventa: 1 1  7



dx t dt

  ,

7

  4



4 x 5

facilmente calcolabile in quanto immediato. Si ottiene:

1 1 1 1

   

7 7 1 6

     

t dt t c t c

 ,

 

4 4 7 1 24

da cui risostituendo: 1 1

  

dx c

 .

7 6

   

 

4 x 5 24 4 x 5

5. Integrazione per parti

L’integrazione per parti è un metodo di integrazione utilizzabile quando è possibile

vedere la funzione integranda come prodotto di due funzioni tali che una di esse si possa

interpretare come la derivata di una funzione nota.

La formula di integrazione è la seguente:

    

f ' ( x ) g ( x ) dx f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ' ( x )

dx

 

e il metodo prende il nome di integrazione per parti proprio perché la funzione integranda

g (x )

appare composta da due parti distinte: , che non essendo vista come la derivata di

f ' ( x )

una funzione nota, prende il nome di fattore finito ed che è detto, invece, fattore

differenziale.

Analizziamo il tutto con un esempio:

Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale:

x cos xdx

 .

La funzione integranda può essere vista come il prodotto di due funzioni. Possiamo

 

g ( x ) x f ' ( x ) cos x

porre come fattore finito e come fattore differenziale. Sia avrà:

  

g ' ( x ) 1 f ( x ) senx f ' ( x ) cos x

e [primitiva di ]

Applicando la formula di integrazione per parti si ha:

      

x cos xdx senx x senx 1

dx xsenx cos x c

  ,

6

che è l’integrale cercato. 7

Adolfo Scimone FORMULE INTEGRAZIONE Pag 1

INTEGRAZIONE INDEFINITA DI ALCUNE CLASSI DI FUNZIONI

Integrazione delle funzioni razionali fratte

Se la frazione è impropria, cioè il grado del numeratore è maggiore o uguale a quello del

denominatore, allora si può effettuare la divisione secondo le regole dell'algebra, si ha:

= ⋅ +

A ( x ) B ( x ) Q ( x ) R ( x )

e quindi:

( ) ( )

A x R x

= +

Q ( x )

B ( x ) B ( x )

per cui avremo:

( ) ( )

A x R x

∫ ∫ ∫

= +

( )

dx Q x dx dx

( ) ( )

B x B x

Si presentano i seguenti casi

1) - Radici reali e distinte

Consideriamo la frazione propria

( )

A x

B ( x )

e supponiamo che l'equazione di grado n

=

B ( x ) 0

abbia tutte le n radici reali e distinte, siano esse

x , x ,..., x

1 2 n

E' possibile determinare n costanti K , K ,....., K in modo che si abbia

1 2 n

K

K K

( )

A x = + + + n

1 2 ....

− − −

( )

B x x x x x x x

n

1 2

Per cui l'integrale

A

( x )

∫ risulta dato dalla somma di n integrali facilmente calcolabili.

B ( x )

2) Radici reali e multiple

Supponiamo che l'equazione

=

B ( x ) 0

non possieda tutte le radici distinte, anche se reali. Supponiamo che ammetta, per

la prima di multiplicità r (contata r volte), la

semplicità tre radici distinte x , x , x ,

1 2 3

seconda s, la terza t dove