Matematica per le applicazioni I - integrali

Teorema di integrazione per parti

Z Z0 0−(x)g (x) = (x)g(x) (x)g(x)f dx f f dx

Il senso operativo del teorema di integrazione per parti è che l’integrale a secondo membro potrebbe essere più semplice da calcolare di quello a primo membro.

Esempio 7 Si voglia calcolare l’integrale della funzione log Se si pone

(x) = log e = allorax. f x g(x) x,0 0(x) = 1 e la funzione da integrare può essere scritta come log = (x)g (x). Applicando il teorema di integrazione per parti si ha che

Z Z Z Z 10 0− − −log = (x)g (x) = (x)g(x) (x)g(x) = log = log +x dx f dx f f dx x x x dx x x x cx

Un'altra regola di integrazione spesso utile si ottiene come conseguenza della formula di derivazione della funzione composta.

Teorema 7 (Teorema di integrazione per sostituzione di variabile) Se f è una funzione della variabile x e se z φ(x) è un cambiamento di variabile, con inversa x ψ(z), allora si ha che

Z Z 0(x) = (ψ(z))ψ (z)f dx f dz ,z=φ(x)

Il senso operativo del teorema è che l'integrale a membro destro potrebbe essere più semplice da calcolare.

0z−3 122x+3

Esempio 8 Se (x) = e , posto = = 2x + 3 con inversa = = e (z) = , si ha che

f z φ(x) x ψ(z) ψ2 Z Z 1 112x+3 z z 2x+3e = e = e + = e +dx dz c c2 2 2z=2x+3 z=2x+336y ⊕ -−1 2s

contributo negativo all'area, mentre conteremo con contributo positivo la parte intermedia. L'idea di questa convenzione è indicata nella figura 1 dai segni e riferiti a ciascuna delle parti di area.

Definizione 8: Sia [a, b] un intervallo (eventualmente illimitato). Si chiama integrale (definito) di una funzione f nell'intervallo [a, b] l'area della parte di piano delimitata dal grafico della funzione nell'intervallo [a, b] e l'asse delle x, con la convenzione di contare positivamente quella parte di area che si trovi al di sopra dell'asse delle ascisse e negativamente quella che si trovi al di sotto. L'integrale si indica con il simbolo ∫_b (x)f dx.

Esempio 9: Sia f(x) = 2, per ogni x ∈ [4, 7]. La figura che si trova fra il grafico della funzione e l'asse delle x è il rettangolo di base [4, 7] e altezza 2, tutto al di sopra dell'asse delle x. La sua area è quindi 2x.

calcolabile e risulta 7Z × −(x) = 2 (7 4) = 6f dx .4 1∈ ∈ −Esempio 10 Sia (x) = 2x+1, per ogni [−3, 4]. La funzione assume valori negativi per [−3, ),f x x 21 12− ∈si annulla in = e assume valori positivi per [− 4]. Il grafico della funzione (x) è illustratox x , f2nella figura 2. La parte di area relativa al primo intervallo darà pertanto contributo negativo all’integrale,mentre quella relativa al secondo darà contributo positivo. Entrambe le parti sono dei rettangoli. Il primo12−5),ha per vertici i punti (−3, (−3)) = (−3, (−3, 0) e (− 0) e quindi si tratta di un triangolo rettangolo,f ,1 12− − −con la base di ampiezza (−3) = 2.5 e l’altezza pari a 0 (−3) = 5; il secondo ha per vertici (− 0),f ,2 46 uy (4, 9) ⊕12− -−3 u u u 0 4 xu−5)(−3,Figura 2: Grafico della funzione (x) = 2x + 1 in [−3, 4]f 12(4, 0) e (4,

(4)) = (4, 9) ed è anch'esso un triangolo rettangolo con base ampia 4- (-) = 4.5 e di altezza f-(4) 0 = 9. L'integrale vale pertanto f 4Z -2.5 × ×(x) = 5 + 4.5 9 = 28f dx .-3 12 123

Esempio 11 Sia (x) = e si voglia calcolarne l'integrale definito in [-]. Poiché si tratta di una f x ,6 uy12- -⊕u u u10 x2u 12 123Figura 3: Grafico della funzione (x) = in [-]f x ,funzione dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi. Tale simmetria comporta che12l'area della parte di piano che si trova tra [- 0] sull'asse delle ed il grafico è uguale a quella che si, x1trova tra [0, ] ed il grafico. Per la convenzione dei segni che abbiamo stabilito, entrambe le aree danno2lo stesso contributo all'integrale, ma con segno opposto, bilanciandosi. Quindi1Z 2 3 = 0x dx .12-

Esempio 12 Sia (x) = sin e si voglia calcolarne l'integrale definito in [0, 2π].

La funzione seno ha il grafico simmetrico rispetto al punto (π, 0), dove si annulla. Pertanto il contributo all'integrale dell'area relativa all'intervallo [0, π] è uguale ma di segno opposto al contributo dell'area relativa all'intervallo [π, 0]. Dunque 2πZ sin(x) dx = 0.

Nasce naturalmente il problema di calcolare l'integrale in casi meno semplici di quelli visti negli esempi. L'area in questione non è, in generale, l'area di una figura regolare (ad esempio di un poligono), né ha di solito le simmetrie viste negli ultimi due esempi. Normalmente non abbiamo a disposizione delle formule che ci permettano di calcolare l'integrale in modo semplice. Non è questa la sede per illustrare il procedimento generale, che è basato sul calcolo dell'integrale definito come limite di opportune approssimazioni dell'area per difetto e per eccesso con dei poligoni, né per discutere i problemi di.

esistenzadell'integrale stesso (potrebbe essere inifinita la somma dei contributi sia positivi che negativi all'area, - ∞). dando luogo ad una forma indeterminata del tipo +∞. Ci limiteremo ad illustrare il collegamento tra integrale definito ed indefinito nel caso di funzioni continue definite in intervalli chiusi e limitati. Tale collegamento permetterà di ricondurre il problema del calcolo dell'integrale definito a quello, un po' più semplice, del calcolo dell'integrale indefinito. Premettiamo alcuni risultati elementari ma utili nella pratica → Osservazione 9: [a, ∞) [a, ∞) Siano f, g [a, b] due funzioni, con b] intervallo (eventualmente illimitato); sia c [a, b] e sia α Risulta che:

a∫(x) = 0 f dx

a∫∫-(x) = (x) f dx

b∫∫∫(x) = (x) + (x) f dx

b∫∫∫[f(x) + g(x)] dx = ∫(x) + g(x)] dx

b∫∫∫[αf(x)] = (x)dx α f dx

Esempio 13 Si consideri la funzione

costante a tratti definita in [−5, 2] da

ƒ(x) = { −5 ≤ −2,2 se x < −4

ƒ(x) = 0 se 0 ≤ x < 1

ƒ(x) = 1 se 1 ≤ x < 2

Il grafico della funzione è illustrato nella figura 4. Si ha che

∫ −5 −2 ƒ(x) dx = ∫ −5 −4 −2 dx + ∫ −4 0 dx + ∫ 0 1 dx + ∫ 1 2 dx

Si osservi che, come per il caso dell'integrale indefinito, la proprietà moltiplicativa: l'integrale del prodotto non è uguale al prodotto degli integrali.

Il prossimo teorema è un'immediata conseguenza del teorema dei Weierstrass e del teorema dei valori intermedi delle funzioni continue:

Teorema 10 (Teorema della media integrale): [a, b] sia una funzione continua, con a, b ∈ IR. Allora vi è un punto c ∈ [a, b], tale che

∫ a b f(x) dx = (b - a) f(c)

−5

−2 0 1 2 x

Figura 4: Grafico della funzione (x) in [−5, 2]

L’interpretazione del teorema è notevole: l’integrale rappresenta un’area e quindi la grandezza =ȳb1 R (x) è una della funzione nell’intervallo [a, Il senso di questa altezza media,f dx altezza media b].b−a adetta appunto del funzione nell’intervallo [a, è che l’area (con le solite convenzioni)media integrale b],della parte di piano che sta fra il grafico della curva e l’asse delle ascisse è uguale all’area del rettangoloche ha la stessa base [a, e di altezza Il teorema afferma che questa altezza media è un valore assuntob] ȳ.dalla funzione nell’intervallo [a, b].6