Matematica per le applicazioni I - funzioni

PASSAGGIO DA UN SISTEMA DI LOGARITMI AD UN ALTRO

Supponiamo sia noto il logaritmo di un numero positivo N in una certa base a, proponiamoci di calcolare il logaritmo dello stesso numero N in un'altra base b. Indichiamo con x il nuovo logaritmo in base b, cioè: x = log_bN Per definizione di logaritmo abbiamo: N = b^x Prendendo i logaritmi in base a dei due membri avremo: log_aN = x log_ab Applicando il teorema (3) della potenza si ha: log_aN = x log_ab Da cui: x = log_bN / log_ba I sistemi di logaritmi più usati sono: i) - il sistema a base 10 detto sistema di logaritmi decimali, o volgari o di Briggs. ii) - il sistema a base e (e numero irrazionale che vale 2,71828182845......) detto sistema di logaritmi naturali o neperiani e viene indicato con ln a invece di log a. FUNZIONE LOGARITMICA: Sappiamo che se a è un numero reale positivo diverso da 1, ad ogni numero reale positivo b corrisponde al logaritmo in base a di b, indicato con log_ab.

numero reale log_baSi ha quindi la seguente: ≠ →Definizione -.Se a > 0 e a < 1, la funzione f : R → R definita da f(x) = log_ba prende il nome di funzione logaritmica di base a.Da quanto abbiamo visto precedentemente si hanno le seguenti proprietà:a) - la funzione logaritmica è monotona:i) - strettamente crescente se a >1;ii) - strettamente decrescente se 0 < a <1.b) - la funzione logaritmica è biiettiva, cioè esiste una corrispondenza biunivoca tra R ed RPertanto la funzione logaritmica è invertibile in R .Equazioni esponenziali e logaritmi pag 9 Adolfo Scimone 1998c) - la funzione logaritmica di base a è l'inversa della funzione esponenziale di base a.Infatti: f(g(x)) = log_b(a^x) = x e g(f(x)) = log_a(b^x) = xaa =Grafico della funzione logaritmica y = log_axaSi hanno due casi:1° caso Sia a > 1: essendo: il grafico della

La funzione G(f) si trova ad ovest dell'asse y. Per x = 1 si ha y = 0, per cui la curva interseca l'asse x nel punto (1, 0). Per x > 1 la y assume valori positivi e cresce al crescere di x. Per 0 < x < 1 la y assume valori negativi e quando x tende a zero i valori di y tendono a -∞. Si ha quindi il grafico.

2° - Caso: Sia 0 < a < 1. Con considerazioni analoghe al caso precedente si ha che la funzione è decrescente e assume valori positivi se 0 < x < 1, tende a +∞ per valori della variabile x tendenti a zero e assume valore zero per x = 1; assume valori negativi per x > 1. Si ha il grafico.

Equazioni esponenziali e logaritmi pag 10 Adolfo Scimone 1998

La curva che rappresenta il grafico della funzione y = log x prende il nome di curva logaritmica.

Funzioni composte pag 1 Adolfo Scimone

Appunti elaborati dalle lezioni del Prof. Boieri

PROPRIETA' DELLE FUNZIONI

La funzione composta

e indichiamo: A = dom f B = im f C = dom g D = im g Vogliamo studiare la possibilità di costruire la funzione composta di f e g. Possiamo porre il problema nei seguenti termini: Supponiamo di considerare un elemento ∈ A, vogliamo vedere se è possibile calcolare la funzione f(x) e poi calcolare g dal valore così ottenuto, ottenendo un nuovo numero reale. Ciò può essere possibile oppure no. Nel caso in cui è possibile, risulta definita una nuova funzione che opera da A a D, che è la composizione di f e di g. Questa nuova funzione viene indicata con g o f (composta con f). Assegnato x nel dominio di f, si ha quindi per definizione: (g o f)(x) = g(f(x)) Si applica x a f e sul risultato ottenuto si applica g. Indichiamo con x l'elemento di A, f(x) è l'immagine di x che chiamiamo y; ad y applichiamo la funzione g e indichiamo con z = g(y) l'immagine di y. Otteniamo: z = g(f(x))

→ =f gx y f ( x) z g ( y ) o
Esempio 1 - Determinare la funzione composta g f di= +f ( x) x 1 e= 2g ( y ) y
Consideriamo alcuni punti nel dominio di f ad esempio− −2 , 1, 0 , 1, 2 −per ognuno di essi calcoliamo f(x) ottenendo così i numeri 1, 0, 1, 2 , 3 .
Calcoliamo infine il valore di g in questi punti. Riassumiamo i passaggi in un unico quadro tale cheoad x corrisponda ( g f )( x) .
Avremo la tabella o

  

    
x
    
f(x)
    
f(x)
    
g(f(x))
    
x
    
(g f)(x)
  
  

    
-2
    
1
    
-1
    
1
    
-2
    
1
  
  

    
-1
    
0
    
0
    
0
    
-1
    
0
  
  

    
0
    
1
    
1
    
1
    
0
    
4
  
  

    
1
    
2
    
2
    
4
    
1
    
4
  
  

    
2
    
3
    
3
    
9
    
2
    
9
  

Il procedimento visto si può applicare ad ogni punto x del dominio di f.= +
Calcoliamo prima f ( x ) ; otteniamo y x 1 , a questo numero applichiamo la funzione g. Siha : = = = +2 2z g ( y) y ( x 1) + 2
Abbiamo quindi una funzione che ad x associa ( x 1)→ + → +f g 2x ( x 1) ( x 1)og f
L'effetto globale è quello di passare da→ + 2x (

1. La funzione composta sarà: f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = 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f

   (g f)(x) si ottiene partendo da x, calcolando x e, sostituendo al posto di y xotteniamoo = +2(g f)(x) x 1

   Funzioni composte pag 4 Adolfo Scimone

   Si ha

   A = dom f = R

   B = im f = 0,+∞

   C = dom g = R

   Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 3

   D = im g = R

   La f ha come dominio R e come immagine 0,+∞, mentre la g ha come dominio R e come immagine R.

   Partendo da un x reale, applichiamo f, calcolando il quadrato otteniamo un x non negativo; ci chiediamo se è possibile applicare la nuova operazione: ciò è possibile perché 0,+∞ R. Si ha quindi o dom(g f) = R e im(g f) = 1,+∞ che non coincide con D.

   Notiamo che nell'esempio 2) sono composte le stesse funzioni dell'esempio 1) ma in ordine inverso: Si ottengono come risultati due funzioni diverse.

   Vale quindi la seguente

   Proposizione 1 - La composizione di funzioni non è operazione commutativa. Il risultato dipende, in generale, dall'ordine in cui sono

   applicate le funzioni.

   Esempio 3 - Studiare la composizione delle funzioni:

   A = dom f = R

   B = im f = R

   C = dom g = R \ {0}

   D = im g = R \ {0}

   Inoltre 1 → + → = f(g(x)) = x+5

   Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 4

   Se, dopo aver calcolato f, vogliamo applicare g, ci troviamo di fronte ad una difficoltà, perché x=-5 non si può applicare la g perché x ha come immagine, tramite f, il punto y=0, nel quale la funzione g non è definita. Quindi è impossibile calcolare g(f(-5)), mentre in tutti gli altri punti non ci sono problemi.

   La funzione composta 1° = (g∘f)(x) = x+5

   risulta definita in R \ {-5} ed a valori in R \ {0}

   Esempio 4 - Studiare la funzione composta di f(x) = x^2-3x e di g(y) = y.

   Utilizzando il completamento dei quadrati, possiamo scrivere la funzione f nella forma: f(x) = (x-3/2)^2 - 9/4.

   • − + − − = − − + −2 2 2f ( x) x 2 x 3 ( x 2 x 1 1) 3 ( x 2 x 1) 2 cioè= − − −2f ( x) ( x 1) 2
   • Il grafico è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, con vertice nel punto (1, 2 ) e=asse la retta x 1.
   • Il dominio di f è R e l'immagine è , 2 .Risulta quindi :A = dom f = R] ]− ∞ −B = im f = , 2[ [C = dom g = 0,+∞[ [D = im g = 0,+∞ 1- 2Funzioni composte pag 6 Adolfo ScimonePertanto non si può definire la funzione composta in nessun punto di A : la f fornisce solo valoristrettamente negativi, di cui non si può calcolare la radice quadrata.→ = − − − → = − − −f g2 2x y ( x 1) 2 z ( x 1) 2Gli esempi trattati pongono alcuni problemi :i)Quali condizioni devono soddisfare f e g affinché sia possibile definire la funzione compostaAdolfo Scimone anno
   scolastico 1997/98 pag. 5ii) Se è definita la funzione composta, quali sono le relazioni tra il dominio e l'immagine di f e di g e il dominio dell'immagine di g f. Dagli esempi visti, la condizione che ci permette di calcolare la funzione composta in un punto x₀ ∈ dom(f) è che partendo da un x si arriva ad un valore f(x) che sta nell'immagine di f, che deve appartenere al dominio di g. La condizione è