Matematica per le applicazioni I - funzioni

Equazioni esponenziali e logaritmi

Funzione esponenziale → Dato un numero reale a positivo consideriamo la funzione f : R → R che ad ogni x ∈ R fa corrispondere l'elemento y = a^x. Se a = 1, f è costante: f(x) = 1, per ogni x ∈ R. Questa funzione: y = a^x se a > 0 ed a ≠ 1 si chiama funzione esponenziale di base a.

Una importante proprietà della funzione esponenziale è data dalla:

Proposizione

Se a è un numero reale positivo e diverso da 1, allora la funzione esponenziale y = a^x assume, uno alla volta, come valore, qualsiasi numero positivo b. Pertanto si ha che:

• La funzione esponenziale è biiettiva, cioè una corrispondenza biunivoca tra R⁺ ed R.
• La funzione esponenziale è monotona:
  • Strettamente crescente, se a > 1,
  • Strettamente decrescente, se 0 < a < 1.

Per cui la funzione esponenziale è invertibile in R.

Studio del grafico della funzione esponenziale

1° Caso - Sia a > 1

Possiamo osservare che, essendo a sempre positiva si ha:

• Per x = 0, y = 1, quindi il grafico incontra l'asse y nel punto (0, 1).
• Per valori positivi di x, la y assume valori che crescono al crescere dell'esponente e tendono a diventare grandi quanto si vuole.
• Per valori negativi di x, crescenti in valore assoluto, la y assume valori positivi via via decrescenti e tende a diventare sempre più piccola.

Il grafico della funzione esponenziale è pertanto tutto situato nel semipiano delle ordinate positive e precisamente: nel secondo quadrante, dove x < 0 la curva si avvicina asintoticamente all'asse x, mentre nel primo quadrante tende ad allontanarsi dai due assi.

2° Caso - 0 < a < 1

In questo caso, siccome a < 1, l'ordinata cresce indefinitamente per valori negativi di x, passa per il punto (0, 1) e tende asintoticamente all'asse x per valori positivi della variabile x. La curva che si ottiene è simmetrica, rispetto all'asse y di quella tracciata precedentemente.

3° Caso - a = 1

In questo caso la funzione, per ogni valore della x, assume sempre valore 1. Il grafico è quindi rappresentato dalla retta parallela all'asse x, che incontra l'asse y nel punto (0, 1).

Equazione esponenziale

Definizione

Dicesi equazione esponenziale ogni equazione in cui l'incognita compare all'esponente di una o più potenze. La più semplice equazione è della forma a^x = b (1). Nel campo R dei numeri reali, la (1) può avere soluzioni se e solo se a > 0 e b > 0. Infatti:

• Il primo membro della (1), che è una potenza reale, ha significato solo se a è positivo.
• Inoltre, a^x risulta sempre positiva per ogni valore della x, pertanto l'equazione (1) può avere soluzioni solo se anche b è positivo.

Esaminiamo alcuni casi particolari nell'ipotesi che a > 0 e b > 0:

• Sia a = 1, b = 1. L'equazione diviene 1^x = 1 che è un'identità.
• Sia a = 1, b ≠ 1. L'equazione diviene 1^x = b, evidentemente impossibile per b ≠ 1.
• Sia a ≠ 1 e b = 1. L'equazione a^x = 1 ammette la soluzione x = 0 perché a⁰ = 1.

Teorema

Dati due numeri a, b ∈ R⁺ con a ≠ 1, l'equazione a^x = b ammette una ed una sola soluzione.

Dimostrazione: Poniamo y = a^x. L'equazione esponenziale a^x = b si può considerare come la risolvente del sistema:

• y = a^x (2)
• y = b (3)

La (2) è l'equazione esponenziale; la (3) è l'equazione di un fascio di rette parallele all'asse x. Le intersezioni del fascio di rette con la curva danno le soluzioni dell'equazione esponenziale data. Dai grafici risulta che per qualunque valore di b > 0 le rette del fascio incontrano la curva in un solo punto. L'equazione esponenziale ha pertanto, in R, una ed una sola soluzione.

Distinguiamo due casi

1° caso - a > 1

• Se 0 < b < 1 si ha una soluzione negativa.
• Se b = 1 si ha la soluzione nulla x = 0 che avevamo trovato in precedenza.
• Se b > 1 si ha una soluzione positiva.

2° Caso - a < 1

• Se 0 < b < 1 si ha una soluzione positiva.
• Se b = 1 si ha la soluzione nulla già trovata in precedenza.
• Se b > 1 si ha una soluzione negativa.

Logaritmi

Abbiamo visto che l'equazione esponenziale a^x = b con a e b numeri reali positivi ed a ≠ 1 ha sempre nell'insieme R, una ed una sola soluzione. Il numero x che soddisfa l'equazione esponenziale si chiama logaritmo del numero b in base a e si indica con log_ab. Pertanto le due equazioni a^x = b e x = log_ab sono tra loro equivalenti. Il numero b si chiama argomento del logaritmo e deve essere un numero positivo.

Definizione

Si chiama logaritmo di un numero reale positivo, in una data base positiva e diversa da 1, l'esponente che bisogna dare a tale base per avere il numero dato.

Dalla definizione di logaritmo si ha: log_ab = a.

Proprietà dei logaritmi

• log_a1 = 0 perchè a⁰ = 1; cioè qualunque sia la base, il logaritmo di 1 è uguale a zero.
• log_aa = 1 perchè a¹ = a; cioè, qualunque sia la base, il logaritmo di un numero uguale alla base è uguale a 1.
• Il log_ab è positivo se:
  • a > 1 e 0 < b < 1
  • a < 1 e b > 1
• Il log_ab è negativo se:
  • a > 1 e b > 1
  • a < 1 e 0 < b < 1

Si ha quindi: Se la base è maggiore di 1, i numeri minori di 1 hanno logaritmi negativi e i numeri maggiori di 1 hanno logaritmi positivi. Se la base è minore di 1, i numeri minori di 1 hanno logaritmi positivi ed i numeri maggiori di 1 hanno logaritmi negativi.

• Se la base a è maggiore di 1, al crescere del numero b, cresce anche il logaritmo di quest'ultimo.
• Se la base a è minore di 1, al crescere del numero b il logaritmo decresce.