Matematica per le applicazioni I - funzioni
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Equazioni esponenziali e logaritmi pag 8 Adolfo Scimone 1998
Per definizione di logaritmo abbiamo
=
x
b N
Prendendo i logaritmi in base a dei due membri avremo:
=
x
log b log N
a a
applicando il teorema (3) della potenza si ha:
=
x log b log N
a a
da cui: log N
log N
= = a
a
x e quindi log N
b
log b log b
a a
I sistemi di logaritmi più usati sono:
i) - il sistema a base 10 detto sistema di logaritmi decimali, o volgari o di Briggs.
ii) - il sistema a base e (e numero irrazionale che vale 2,71828182845......) detto sistema di
logaritmi naturali o neperiani e viene indicato con ln a invece di log a .
e
FUNZIONE LOGARITMICA
Sappiamo che se a è un numero reale positivo diverso da 1, ad ogni numero reale positivo
b corrisponde al numero reale log b .
a
Si ha quindi la seguente: ≠ →
Definizione -.Se a > 0 e a 1, la funzione f : R R definita da
=
f ( x ) log b
a
prende il nome di funzione logaritmica di base a.
Da quanto abbiamo visto precedentemente si hanno le seguenti proprietà:
a) - la funzione logaritmica è monotona:
i) - strettamente crescente se a >1;
ii) - strettamente decrescente se 0 < a <1.
b) - la funzione logaritmica è biiettiva, cioè esiste una corrispondenza biunivoca tra
+
R ed R
Pertanto la funzione logaritmica è invertibile in R .
Equazioni esponenziali e logaritmi pag 9 Adolfo Scimone 1998
c) - la funzione logaritmica di base a è l'inversa della funzione esponenziale di base a.
Infatti: = =
x
se f ( x ) a e g ( x ) log x si ha:
a
→
→ =
f x g x
x a log a x
a
→
→ =
g f log x
x log x a x
a
a =
Grafico della funzione logaritmica y log x
a
Si hanno due casi: = +∞
1° caso Sia a > 1: essendo: il grafico della funzione G(f) si trova a
d om f o ,
destra dell'asse y.
Per x = 1 si ha y = 0 , per cui la curva interseca l'asse x nel punto (1, 0);
per x > 1 la y assume valori positivi e cresca al crescere dalla x;
per 0 < x < 1 la y assume valori negativi e quando x tende a zero i valori di y tendono a
−∞
Si ha quindi il grafico.
2° - Caso Sia 0 < a < 1.
Con considerazioni analoghe al caso precedente si ha che la funzione è decrescente ed
+ ∞
assume valori positivi se 0 <x < 1, tende a per valori della variabile x tendenti a zero
ed assume valore zero per x = 1; assume valori negativi per x > 1.
Si ha il grafico
Equazioni esponenziali e logaritmi pag 10 Adolfo Scimone 1998
La curva che rappresenta il grafico della funzione
=
y log x
a
prende il nome di curva logaritmica.
Funzioni composte pag 1 Adolfo Scimone
Appunti elaborati dalle lezioni del Prof. Boieri
PROPRIETA' DELLE FUNZIONI
La funzione composta
Consideriamo due funzioni f e g di variabile reale e indichiamo :
A = dom f
B = im f
C = dom g
D = im g
Vogliamo studiare la possibilità di costruire la funzione composta di f e g.
Possiamo porre il problema nei seguenti termini : Supponiamo di considerare un elemento
∈
x d om f , vogliamo vedere se è possibile calcolare la funzione f(x)
→
f
x f ( x )
e poi calcolare g dal valore così ottenuto ottenendo un nuovo numero reale. Ciò può essere
possibile oppure no. Nel caso in cui è possibile, risulta definita una nuova funzione che opera da
o
A a D che è la composizione di f e di g ; Questa nuova funzione viene indicata con g f (g
composta con f)
Assegnato x nel dominio di f si ha quindi per definizione
( )
o =
( g f )( x ) g f ( x )
Si applica la x ad f e sul risultato ottenuto si applica g.
Indichiamo con x l'elemento di A, f(x) è l'immagine di x che chiamiamo y ; ad y applichiamo la
=
funzione g e indichiamo con z g ( y
) l'immagine di y. Otteniamo :
→ =
→ =
f g
x y f ( x
) z g ( y ) o
Esempio 1 - Determinare la funzione composta g f di
= +
f ( x
) x 1 e
= 2
g ( y ) y
Consideriamo alcuni punti nel dominio di f ad esempio
− −
2 , 1
, 0 , 1
, 2 −
per ognuno di essi calcoliamo f(x) ottenendo così i numeri 1
, 0
, 1
, 2 , 3 .
Calcoliamo infine il valore di g in questi punti. Riassumiamo i passaggi in un unico quadro tale che
o
ad x corrisponda ( g f )( x
) .
Avremo la tabella o
x f(x) f(x) g(f(x)) x ( g f )( x
)
-2 1 -1 1 -2 1
-1 0 0 0 -1 0
0 1 1 1 0 4
Funzioni composte pag 2 Adolfo Scimone
1 2 2 4 1 4
2 3 3 9 2 9
Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 1
Il procedimento visto si può applicare ad ogni punto x del dominio di f.
= +
Calcoliamo prima f ( x ) ; otteniamo y x 1 , a questo numero applichiamo la funzione g. Si
ha : = = = +
2 2
z g ( y
) y ( x 1
) + 2
Abbiamo quindi una funzione che ad x associa ( x 1
)
→ +
→ +
f g 2
x ( x 1
) ( x 1
)
o
g f
L'effetto globale è quello di passare da
→ + 2
x ( x 1
)
La funzione composta sarà
o = + 2
( g f )( x
) ( x 1
) o
I grafici di f, di g e di g f sono
Funzioni composte pag 3 Adolfo Scimone
Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 2
o
Studiamo il dominio e l'immagine delle tre funzioni f, g e g f .
Per la funzione f si ha
= =
A d om f R
= =
B imf R
Per la funzione g si ha
= =
C d om g R
[ [
= = +∞
D im f 0,
Vediamo il dominio della funzione composta e la sua immagine.
Si parte da un x reale generico, tramite la f si arriva ad un generico valore reale, a partire da
[ [
questo valore calcoliamo la g. Il risultato è un numero reale al quadrato, cioè 0,+∞ .
Per cui avremo :
o
dom ( g f ) = R che coincide con A, mentre
[ [
o
im ( g f ) = 0,+∞ che coincide con D.
L'operazione di calcolo di f e poi di g è quindi eseguibile senza limitazioni.
o
Esempio 2 - Determinare la funzione composta g f di
= 2
f ( x
) x e
= +
g ( y ) y 1
Avremo
→ =
→ = + = = + = +
f g
2 2 2
x y x z x 1 ( z g ( y ) y 1 x 1 )
o 2 2
per cui (g f )(x) si ottiene partendo da x, calcolando x e, sostituendo al posto di y x
otteniamo
o = +
2
( g f )( x ) x 1
Funzioni composte pag 4 Adolfo Scimone
Si ha
A = dom f = R
[ [
B = im f = 0,+∞
C = dom g = R
Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 3
D = im g = R [ [
La f ha come dominio R e come immagine 0,+∞ , mentre la g ha come dominio R e come
immagine R.
Partendo da un x reale, applichiamo f, calcolando il quadrato otteniamo un x non negativo ; ci
[ [ ⊂
chiediamo se è possibile applicare la nuova operazione : ciò è possibile perché 0,+∞ R . Si
ha quindi [ [
o o
dom ( g f ) = R e im( g f ) = 1,+∞
che non coincide con D.
Notiamo che nell'esempio 2)sono composte le stesse funzioni dell'esempio 1) ma in ordine
inverso : Si ottengono come risultati due funzioni diverse.
Vale quindi la seguente
Proposizione 1 - La composizione di funzioni non è operazione commutativa. Il risultato
dipende, in generale, dall'ordine in cui sono applicate le funzioni.
Esempio 3 - Studiare la composizione delle funzioni
= +
f ( x
) x 5
1
=
g ( y ) y
Si ha
A = dom f = R
Funzioni composte pag 5 Adolfo Scimone
B = im f =R { }
C = dom g = R \ 0
{ }
D = im g = R \ 0
Inoltre 1
→ = +
→ =
f g
x y x 5 z +
x 5
Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 4
Se, dopo aver calcolato f, vogliamo applicare g, ci troviamo di fronte ad una difficoltà, per
= −5 = −5 =
x non si può applicare la g perché x ha come immagine, tramite f il punto y 0 , nel
( )
−5
quale la funzione g non è definita. Quindi è impossibile calcolare g f ( ) , mentre in tutti gli altri
punti non ci sono problemi.
La funzione composta
1
o =
( g f )( x ) +
x 5
{ } { }
−
risulta definita in R \ 5 ed a valori in R \ 0
Esempio 4 - Studiare la funzione composta di
= − + − =
2
f ( x
) x 2 x 3 e di g ( y ) y .
Utilizzando il completamento dei quadrati, possiamo scrivere la funzione f nella forma :
= − + − = − − + − − = − − + −
2 2 2
f ( x
) x 2 x 3 ( x 2 x 1 1
) 3 ( x 2 x 1
) 2 cioè
= − − −
2
f ( x
) ( x 1
) 2 −
Il grafico è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, con vertice nel punto (
1
, 2 ) e
=
asse la retta x 1. ] ]
− ∞ −
Il dominio di f è R e l'immagine è , 2 .
Risulta quindi :
A = dom f = R
] ]
− ∞ −
B = im f = , 2
[ [
C = dom g = 0,+∞
[ [
D = im g = 0,+∞ 1
- 2
Funzioni composte pag 6 Adolfo Scimone
Pertanto non si può definire la funzione composta in nessun punto di A : la f fornisce solo valori
strettamente negativi, di cui non si può calcolare la radice quadrata.
→ = − − −
→ = − − −
f g
2 2
x y ( x 1
) 2 z ( x 1
) 2
Gli esempi trattati pongono alcuni problemi :
i)Quali condizioni devono soddisfare f e g affinché sia possibile definire la funzione composta
Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 5
ii) Se è definita la funzione composta, quali sono le relazioni tra il dominio e l'immagine di f e di g
o
e il dominio dell'immagine di g f .
Dagli esempi visti, la condizione che ci permette di calcolare la funzione composta in un punto x 0
∈domf)
( x è che partendo da un x si arriva ad un valore f ( x ) che sta nell'immagine di f ,
0 0 0
che deve appartenere al dominio di g.
La condizione è quella che l'insieme
I
= ≠ ∅
S im
f dom g .
Supponiamo di avere assegnata la funzione f
f
dom f imf
e la funzione g g
dom g img o
g f
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.
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