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Matematica per le applicazioni I - funzioni Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica per le applicazioni I sulle funzioni. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: le equazioni esponenziali e i logaritmi, la funzione esponenziale, l'equazione esponenziale, i logaritmi, le proprietà dei logaritmi, la funzione logaritmica.

Esame di Matematica per le applicazioni I docente Prof. F. Gori

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ESTRATTO DOCUMENTO

Equazioni esponenziali e logaritmi pag 10 Adolfo Scimone 1998

La curva che rappresenta il grafico della funzione

=

y log x

a

prende il nome di curva logaritmica.

Funzioni composte pag 1 Adolfo Scimone

Appunti elaborati dalle lezioni del Prof. Boieri

PROPRIETA' DELLE FUNZIONI

La funzione composta

Consideriamo due funzioni f e g di variabile reale e indichiamo :

A = dom f

B = im f

C = dom g

D = im g

Vogliamo studiare la possibilità di costruire la funzione composta di f e g.

Possiamo porre il problema nei seguenti termini : Supponiamo di considerare un elemento

x d om f , vogliamo vedere se è possibile calcolare la funzione f(x)

f

x f ( x )

e poi calcolare g dal valore così ottenuto ottenendo un nuovo numero reale. Ciò può essere

possibile oppure no. Nel caso in cui è possibile, risulta definita una nuova funzione che opera da

o

A a D che è la composizione di f e di g ; Questa nuova funzione viene indicata con g f (g

composta con f)

Assegnato x nel dominio di f si ha quindi per definizione

( )

o =

( g f )( x ) g f ( x )

Si applica la x ad f e sul risultato ottenuto si applica g.

Indichiamo con x l'elemento di A, f(x) è l'immagine di x che chiamiamo y ; ad y applichiamo la

=

funzione g e indichiamo con z g ( y

) l'immagine di y. Otteniamo :

→ = 

→ =

f g

x y f ( x

) z g ( y ) o

Esempio 1 - Determinare la funzione composta g f di

= +

f ( x

) x 1 e

= 2

g ( y ) y

Consideriamo alcuni punti nel dominio di f ad esempio

− −

2 , 1

, 0 , 1

, 2 −

per ognuno di essi calcoliamo f(x) ottenendo così i numeri 1

, 0

, 1

, 2 , 3 .

Calcoliamo infine il valore di g in questi punti. Riassumiamo i passaggi in un unico quadro tale che

o

ad x corrisponda ( g f )( x

) .

Avremo la tabella o

x f(x) f(x) g(f(x)) x ( g f )( x

)

-2 1 -1 1 -2 1

-1 0 0 0 -1 0

0 1 1 1 0 4

Funzioni composte pag 2 Adolfo Scimone

1 2 2 4 1 4

2 3 3 9 2 9

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 1

Il procedimento visto si può applicare ad ogni punto x del dominio di f.

= +

Calcoliamo prima f ( x ) ; otteniamo y x 1 , a questo numero applichiamo la funzione g. Si

ha : = = = +

2 2

z g ( y

) y ( x 1

) + 2

Abbiamo quindi una funzione che ad x associa ( x 1

)

→ + 

→ +

f g 2

x ( x 1

) ( x 1

)

o

g f

L'effetto globale è quello di passare da

→ + 2

x ( x 1

)

La funzione composta sarà

o = + 2

( g f )( x

) ( x 1

) o

I grafici di f, di g e di g f sono

Funzioni composte pag 3 Adolfo Scimone

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 2

o

Studiamo il dominio e l'immagine delle tre funzioni f, g e g f .

Per la funzione f si ha

= =

A d om f R

= =

B imf R

Per la funzione g si ha

= =

C d om g R

[ [

= = +∞

D im f 0,

Vediamo il dominio della funzione composta e la sua immagine.

Si parte da un x reale generico, tramite la f si arriva ad un generico valore reale, a partire da

[ [

questo valore calcoliamo la g. Il risultato è un numero reale al quadrato, cioè 0,+∞ .

Per cui avremo :

o

dom ( g f ) = R che coincide con A, mentre

[ [

o

im ( g f ) = 0,+∞ che coincide con D.

L'operazione di calcolo di f e poi di g è quindi eseguibile senza limitazioni.

o

Esempio 2 - Determinare la funzione composta g f di

= 2

f ( x

) x e

= +

g ( y ) y 1

Avremo

→ = 

→ = + = = + = +

f g

2 2 2

x y x z x 1 ( z g ( y ) y 1 x 1 )

o 2 2

per cui (g f )(x) si ottiene partendo da x, calcolando x e, sostituendo al posto di y x

otteniamo

o = +

2

( g f )( x ) x 1

Funzioni composte pag 4 Adolfo Scimone

Si ha

A = dom f = R

[ [

B = im f = 0,+∞

C = dom g = R

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 3

D = im g = R [ [

La f ha come dominio R e come immagine 0,+∞ , mentre la g ha come dominio R e come

immagine R.

Partendo da un x reale, applichiamo f, calcolando il quadrato otteniamo un x non negativo ; ci

[ [ ⊂

chiediamo se è possibile applicare la nuova operazione : ciò è possibile perché 0,+∞ R . Si

ha quindi [ [

o o

dom ( g f ) = R e im( g f ) = 1,+∞

che non coincide con D.

Notiamo che nell'esempio 2)sono composte le stesse funzioni dell'esempio 1) ma in ordine

inverso : Si ottengono come risultati due funzioni diverse.

Vale quindi la seguente

Proposizione 1 - La composizione di funzioni non è operazione commutativa. Il risultato

dipende, in generale, dall'ordine in cui sono applicate le funzioni.

Esempio 3 - Studiare la composizione delle funzioni

= +

f ( x

) x 5

1

=

g ( y ) y

Si ha

A = dom f = R

Funzioni composte pag 5 Adolfo Scimone

B = im f =R { }

C = dom g = R \ 0

{ }

D = im g = R \ 0

Inoltre 1

→ = + 

→ =

f g

x y x 5 z +

x 5

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 4

Se, dopo aver calcolato f, vogliamo applicare g, ci troviamo di fronte ad una difficoltà, per

= −5 = −5 =

x non si può applicare la g perché x ha come immagine, tramite f il punto y 0 , nel

( )

−5

quale la funzione g non è definita. Quindi è impossibile calcolare g f ( ) , mentre in tutti gli altri

punti non ci sono problemi.

La funzione composta

1

o =

( g f )( x ) +

x 5

{ } { }

risulta definita in R \ 5 ed a valori in R \ 0

Esempio 4 - Studiare la funzione composta di

= − + − =

2

f ( x

) x 2 x 3 e di g ( y ) y .

Utilizzando il completamento dei quadrati, possiamo scrivere la funzione f nella forma :

= − + − = − − + − − = − − + −

2 2 2

f ( x

) x 2 x 3 ( x 2 x 1 1

) 3 ( x 2 x 1

) 2 cioè

= − − −

2

f ( x

) ( x 1

) 2 −

Il grafico è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, con vertice nel punto (

1

, 2 ) e

=

asse la retta x 1. ] ]

− ∞ −

Il dominio di f è R e l'immagine è , 2 .

Risulta quindi :

A = dom f = R

] ]

− ∞ −

B = im f = , 2

[ [

C = dom g = 0,+∞

[ [

D = im g = 0,+∞ 1

- 2

Funzioni composte pag 6 Adolfo Scimone

Pertanto non si può definire la funzione composta in nessun punto di A : la f fornisce solo valori

strettamente negativi, di cui non si può calcolare la radice quadrata.

→ = − − − 

→ = − − −

f g

2 2

x y ( x 1

) 2 z ( x 1

) 2

Gli esempi trattati pongono alcuni problemi :

i)Quali condizioni devono soddisfare f e g affinché sia possibile definire la funzione composta

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 5

ii) Se è definita la funzione composta, quali sono le relazioni tra il dominio e l'immagine di f e di g

o

e il dominio dell'immagine di g f .

Dagli esempi visti, la condizione che ci permette di calcolare la funzione composta in un punto x 0

∈domf)

( x è che partendo da un x si arriva ad un valore f ( x ) che sta nell'immagine di f ,

0 0 0

che deve appartenere al dominio di g.

La condizione è quella che l'insieme

I

= ≠ ∅

S im

f dom g .

Supponiamo di avere assegnata la funzione f

f

dom f imf

e la funzione g g

dom g img o

g f

Funzioni composte pag 7 Adolfo Scimone o

im g f

f im f

dom f g

dom g im g

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 6

La f ha come immagine un insieme che è incluso nel dominio di g, cioè su tutti i valori ottenuti

come im f, possiamo calcolare la funzione g.

I ≠ ∅

im

f dom g

Applicando la g all'immagine di f otteniamo un sottoinsieme di im g.

L'operazione di composizione, in questo caso è sempre possibile e il risultato dell'operazione

o

g f è un sottoinsieme di im g.

Nel caso seguente (es.3) si ha o

g f

im f o

f im g f

dom f g

dom g im g

Partendo dal dom f vediamo che

I ≠ ∅

im

f dom g

ma non coincide con B = im f, vi sono dei punti da cui non si può proseguire e dei punti da cui si

può proseguire, si può applicare la g sui punti che sono contemporaneamente nell'immagine di f e

nel dominio di g.

Otterremo quindi

o

im ( g f )

Funzioni composte pag 8 Adolfo Scimone

per cui è possibile l'operazione di composizione.

Nel caso seguente im f

f g

dom f im g

dom g

I = ∅

Si ha im

f dom g

Gli insiemi im f e dom g sono disgiunti, non esiste nessun punto x nel dominio di f su cui possiamo

calcolare la f, arrivare su un punto su cui applicare la g e arrivare su un punto di im g.

Quindi, il dominio della funzione composta è un sottoinsieme di A (dom f), esso coincide con

l'insieme dei punti di A su cui f assume valori contenuti in

I

=

S im f dom

g

L'immagine della funzione composta è invece il sottoinsieme D = im g costituito dai punti che sono

immagine di un elemento di S tramite g.

Possiamo concludere con la seguente : o

Proposizione 2 - La funzione composta g f è definita se e solo se

I

= ≠ ∅

S im

f dom g

Il suo dominio è il sottoinsieme di A = im f costituito da tutti i punti in cui f assume valori contenuti

I

=

in S im f dom

g ; la sua immagine è il sottoinsieme degli elementi di D = im g ottenuti tramite

g a partire da S.

Osservazione :

Esaminiamo gli esempi visti alla luce di quanto detto.

Nell'esempio 1 :

= + 

f ( x

) x 1 f :R R

[ [

= 

→ +∞

2

g ( y ) y g: R 0 ,

I =

risulta im f dom g im f , per cui il dominio della funzione composta coincide con domf .

Essendo

=

im f dom

g [ [

= +∞

l'immagine della funzione composta coincide con img 0, . Si ha


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AUTORE

Sara F

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Docente: Gori Franco
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.

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