Matematica per le applicazioni I - funzioni

Equazioni esponenziali e logaritmi pag 8 Adolfo Scimone 1998

Per definizione di logaritmo abbiamo

=

x

b N

Prendendo i logaritmi in base a dei due membri avremo:

=

x

log b log N

a a

applicando il teorema (3) della potenza si ha:

=

x log b log N

a a

da cui: log N

log N

= = a

a

x e quindi log N

b

log b log b

a a

I sistemi di logaritmi più usati sono:

i) - il sistema a base 10 detto sistema di logaritmi decimali, o volgari o di Briggs.

ii) - il sistema a base e (e numero irrazionale che vale 2,71828182845......) detto sistema di

logaritmi naturali o neperiani e viene indicato con ln a invece di log a .

e

FUNZIONE LOGARITMICA

Sappiamo che se a è un numero reale positivo diverso da 1, ad ogni numero reale positivo

b corrisponde al numero reale log b .

a

Si ha quindi la seguente: ≠ →

Definizione -.Se a > 0 e a 1, la funzione f : R R definita da

=

f ( x ) log b

a

prende il nome di funzione logaritmica di base a.

Da quanto abbiamo visto precedentemente si hanno le seguenti proprietà:

a) - la funzione logaritmica è monotona:

i) - strettamente crescente se a >1;

ii) - strettamente decrescente se 0 < a <1.

b) - la funzione logaritmica è biiettiva, cioè esiste una corrispondenza biunivoca tra

+

R ed R

Pertanto la funzione logaritmica è invertibile in R .

Equazioni esponenziali e logaritmi pag 9 Adolfo Scimone 1998

c) - la funzione logaritmica di base a è l'inversa della funzione esponenziale di base a.

Infatti: = =

x

se f ( x ) a e g ( x ) log x si ha:

a





→ 



→ =

f x g x

x a log a x

a





→ 



→ =

g f log x

x log x a x

a

a =

Grafico della funzione logaritmica y log x

a

Si hanno due casi: = +∞

1° caso Sia a > 1: essendo: il grafico della funzione G(f) si trova a

d om f o ,

destra dell'asse y.

Per x = 1 si ha y = 0 , per cui la curva interseca l'asse x nel punto (1, 0);

per x > 1 la y assume valori positivi e cresca al crescere dalla x;

per 0 < x < 1 la y assume valori negativi e quando x tende a zero i valori di y tendono a

−∞

Si ha quindi il grafico.

2° - Caso Sia 0 < a < 1.

Con considerazioni analoghe al caso precedente si ha che la funzione è decrescente ed

+ ∞

assume valori positivi se 0 <x < 1, tende a per valori della variabile x tendenti a zero

ed assume valore zero per x = 1; assume valori negativi per x > 1.

Si ha il grafico

Equazioni esponenziali e logaritmi pag 10 Adolfo Scimone 1998

La curva che rappresenta il grafico della funzione

=

y log x

a

prende il nome di curva logaritmica.

Funzioni composte pag 1 Adolfo Scimone

Appunti elaborati dalle lezioni del Prof. Boieri

PROPRIETA' DELLE FUNZIONI

La funzione composta

Consideriamo due funzioni f e g di variabile reale e indichiamo :

A = dom f

B = im f

C = dom g

D = im g

Vogliamo studiare la possibilità di costruire la funzione composta di f e g.

Possiamo porre il problema nei seguenti termini : Supponiamo di considerare un elemento

∈

x d om f , vogliamo vedere se è possibile calcolare la funzione f(x)





→

f

x f ( x )

e poi calcolare g dal valore così ottenuto ottenendo un nuovo numero reale. Ciò può essere

possibile oppure no. Nel caso in cui è possibile, risulta definita una nuova funzione che opera da

o

A a D che è la composizione di f e di g ; Questa nuova funzione viene indicata con g f (g

composta con f)

Assegnato x nel dominio di f si ha quindi per definizione

( )

o =

( g f )( x ) g f ( x )

Si applica la x ad f e sul risultato ottenuto si applica g.

Indichiamo con x l'elemento di A, f(x) è l'immagine di x che chiamiamo y ; ad y applichiamo la

=

funzione g e indichiamo con z g ( y

) l'immagine di y. Otteniamo :





→ = 



→ =

f g

x y f ( x

) z g ( y ) o

Esempio 1 - Determinare la funzione composta g f di

= +

f ( x

) x 1 e

= 2

g ( y ) y

Consideriamo alcuni punti nel dominio di f ad esempio

− −

2 , 1

, 0 , 1

, 2 −

per ognuno di essi calcoliamo f(x) ottenendo così i numeri 1

, 0

, 1

, 2 , 3 .

Calcoliamo infine il valore di g in questi punti. Riassumiamo i passaggi in un unico quadro tale che

o

ad x corrisponda ( g f )( x

) .

Avremo la tabella o

x f(x) f(x) g(f(x)) x ( g f )( x

)

-2 1 -1 1 -2 1

-1 0 0 0 -1 0

0 1 1 1 0 4

Funzioni composte pag 2 Adolfo Scimone

1 2 2 4 1 4

2 3 3 9 2 9

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 1

Il procedimento visto si può applicare ad ogni punto x del dominio di f.

= +

Calcoliamo prima f ( x ) ; otteniamo y x 1 , a questo numero applichiamo la funzione g. Si

ha : = = = +

2 2

z g ( y

) y ( x 1

) + 2

Abbiamo quindi una funzione che ad x associa ( x 1

)





→ + 



→ +

f g 2

x ( x 1

) ( x 1

)

o

g f

L'effetto globale è quello di passare da





→ + 2

x ( x 1

)

La funzione composta sarà

o = + 2

( g f )( x

) ( x 1

) o

I grafici di f, di g e di g f sono

Funzioni composte pag 3 Adolfo Scimone

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 2

o

Studiamo il dominio e l'immagine delle tre funzioni f, g e g f .

Per la funzione f si ha

= =

A d om f R

= =

B imf R

Per la funzione g si ha

= =

C d om g R

[ [

= = +∞

D im f 0,

Vediamo il dominio della funzione composta e la sua immagine.

Si parte da un x reale generico, tramite la f si arriva ad un generico valore reale, a partire da

[ [

questo valore calcoliamo la g. Il risultato è un numero reale al quadrato, cioè 0,+∞ .

Per cui avremo :

o

dom ( g f ) = R che coincide con A, mentre

[ [

o

im ( g f ) = 0,+∞ che coincide con D.

L'operazione di calcolo di f e poi di g è quindi eseguibile senza limitazioni.

o

Esempio 2 - Determinare la funzione composta g f di

= 2

f ( x

) x e

= +

g ( y ) y 1

Avremo





→ = 



→ = + = = + = +

f g

2 2 2

x y x z x 1 ( z g ( y ) y 1 x 1 )

o 2 2

per cui (g f )(x) si ottiene partendo da x, calcolando x e, sostituendo al posto di y x

otteniamo

o = +

2

( g f )( x ) x 1

Funzioni composte pag 4 Adolfo Scimone

Si ha

A = dom f = R

[ [

B = im f = 0,+∞

C = dom g = R

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 3

D = im g = R [ [

La f ha come dominio R e come immagine 0,+∞ , mentre la g ha come dominio R e come

immagine R.

Partendo da un x reale, applichiamo f, calcolando il quadrato otteniamo un x non negativo ; ci

[ [ ⊂

chiediamo se è possibile applicare la nuova operazione : ciò è possibile perché 0,+∞ R . Si

ha quindi [ [

o o

dom ( g f ) = R e im( g f ) = 1,+∞

che non coincide con D.

Notiamo che nell'esempio 2)sono composte le stesse funzioni dell'esempio 1) ma in ordine

inverso : Si ottengono come risultati due funzioni diverse.

Vale quindi la seguente

Proposizione 1 - La composizione di funzioni non è operazione commutativa. Il risultato

dipende, in generale, dall'ordine in cui sono applicate le funzioni.

Esempio 3 - Studiare la composizione delle funzioni

= +

f ( x

) x 5

1

=

g ( y ) y

Si ha

A = dom f = R

Funzioni composte pag 5 Adolfo Scimone

B = im f =R { }

C = dom g = R \ 0

{ }

D = im g = R \ 0

Inoltre 1





→ = + 



→ =

f g

x y x 5 z +

x 5

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 4

Se, dopo aver calcolato f, vogliamo applicare g, ci troviamo di fronte ad una difficoltà, per

= −5 = −5 =

x non si può applicare la g perché x ha come immagine, tramite f il punto y 0 , nel

( )

−5

quale la funzione g non è definita. Quindi è impossibile calcolare g f ( ) , mentre in tutti gli altri

punti non ci sono problemi.

La funzione composta

1

o =

( g f )( x ) +

x 5

{ } { }

−

risulta definita in R \ 5 ed a valori in R \ 0

Esempio 4 - Studiare la funzione composta di

= − + − =

2

f ( x

) x 2 x 3 e di g ( y ) y .

Utilizzando il completamento dei quadrati, possiamo scrivere la funzione f nella forma :

= − + − = − − + − − = − − + −

2 2 2

f ( x

) x 2 x 3 ( x 2 x 1 1

) 3 ( x 2 x 1

) 2 cioè

= − − −

2

f ( x

) ( x 1

) 2 −

Il grafico è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, con vertice nel punto (

1

, 2 ) e

=

asse la retta x 1. ] ]

− ∞ −

Il dominio di f è R e l'immagine è , 2 .

Risulta quindi :

A = dom f = R

] ]

− ∞ −

B = im f = , 2

[ [

C = dom g = 0,+∞

[ [

D = im g = 0,+∞ 1

- 2

Funzioni composte pag 6 Adolfo Scimone

Pertanto non si può definire la funzione composta in nessun punto di A : la f fornisce solo valori

strettamente negativi, di cui non si può calcolare la radice quadrata.





→ = − − − 



→ = − − −

f g

2 2

x y ( x 1

) 2 z ( x 1

) 2

Gli esempi trattati pongono alcuni problemi :

i)Quali condizioni devono soddisfare f e g affinché sia possibile definire la funzione composta

Adolfo Scimone anno scolastico 1997/98 pag. 5

ii) Se è definita la funzione composta, quali sono le relazioni tra il dominio e l'immagine di f e di g

o

e il dominio dell'immagine di g f .

Dagli esempi visti, la condizione che ci permette di calcolare la funzione composta in un punto x 0

∈domf)

( x è che partendo da un x si arriva ad un valore f ( x ) che sta nell'immagine di f ,

0 0 0

che deve appartenere al dominio di g.

La condizione è quella che l'insieme

I

= ≠ ∅

S im

f dom g .

Supponiamo di avere assegnata la funzione f

f

dom f imf

e la funzione g g

dom g img o

g f