Matematica

INDICE

MATEMATICA

1 – FUNZIONI ALGEBRICHE

1.1 – Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1.2 – Funzioni quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 1.3 – Funzioni

polinomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 – Funzioni potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 1.5 – Funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 – FUNZIONI TRASCENDENTI

2.1 – Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 – Funzioni di saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 – Funzioni logistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

FUNZIONI ALGEBRICHE

1.1 FUNZIONI LINEARI

Le funzioni reali di variabile reale più semplici sono le funzioni lineari. Una funzione è lineare se il suo valore

varia in modo proporzionale alla variazione dell’argomento.

�(� ) = �� + � �

: ℝ → ℝ

� � ∈ ℝ �

Una funzione è lineare se esiste un numero tale che se la variabile indipendente varia di una

�, �(� ) ��.

quantità allora la variabile dipendente varia di

Coefficienti funzione:

�,

• coefficiente angolare

Coefficiente numerico che esprime una misura della pendenza della retta rispetto all’asse delle ascisse

(asse x)

Calcolo coefficiente angolare:

Se:

� > 0

• , la funzione è strettamente crescente

� < 0 �(� ) = −∞ � �(� ) = +∞

• , la funzione è strettamente decrescente lim lim

�

→+∞ �

→−∞

�,

• ordinata all’origine o intercetta

Termine numerico che esprime il valore di ordinata del punto in cui la retta data interseca l’asse delle

ordinate (asse y).

Determinare l’equazione di una retta: �(� ; � ) �(� ;� ):

• retta passante per due punti, conoscendo le coordinate di questi e

1 1 2 2 1

�(� ; � ) �:

• retta passante per un punto, conoscendo le coordinate del punto e il coefficiente angolare

0 0

� − � = �(� − � )

0 0

Condizione di PARALLELISMO tra rette: � = �

due rette parallele presentano il medesimo coefficiente angolare, 1 2

Un genere di rette particolari sono quelle parallele agli assi, in particolare parallele all’asse delle ascisse (asse

� = � � = �

x) e parallele all’asse delle ordinate (asse y)

Condizione di PERPERDICOLARITÀ tra rette:

due rette perpendicolari presentano due coefficienti angolari che sono l’uno il reciproco dell’opposto

� � = −1

dell’altro oppure 1 2

Rette notevoli: � = ��

• retta passante per l’origine:

� = 0

• asse delle ascisse: � = 0

• asse delle ordinate: � = �

• bisettrice del primo e del terzo quadrante: � = −�

• bisettrice del secondo e del quarto quadrante:

Formule utili:

• distanza punto – retta:

Nel caso di una retta scritta in forma implicita

Nel caso di una retta scritta in forma esplicita (

1.2 FUNZIONI QUADRATICHE

Le funzioni lineari sono tutte monotone: sempre crescenti o decrescenti. Non tutti i fenomeni naturali sono

rappresentabili con questo tipo di andamento.

Il tipo più semplice di funzioni non monotone è dato dalle funzioni quadratiche.

2

�(� ) = �� + �� + � �

:ℝ → ℝ 2

(� = �� + �� + �

)

Il grafico di una funzione quadratica è una curva chiamata parabola 2

Caratteristiche funzione:

�,

• coefficiente in base al segno del coefficiente si può determinare la concavità della parabola

� > 0 � < 0

concavità rivolta verso l’alto concavità rivolta verso il basso

�, � = 0

• coefficiente se la funzione passa per l’origine

• asse di simmetria della parabola, è una retta che divide a metà la funzione passando per il vertice

equazione asse di simmetria

• vertice della parabola, può essere un punto di massimo quando abbiamo la concavità verso il basso e un

minimo quando abbiamo la concavità verso l’alto

coordinate del vertice di una parabola

Parabole particolari: �

� = �

• parabola di equazione 3

Funzione simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, quindi

possiamo dire che si tratta di una funzione pari, dato che:

�(� ) = �

( −� ) � = 0

Asse di simmetria: �

(0; 0)

Vertice della funzione:

2

� = +∞

Limite agli estremi della funzione: lim

�

→±∞

�

−

= −�

• parabola di equazione Funzione simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, quindi

possiamo dire che si tratta di una funzione pari, dato che:

�(� ) = � (

−� ) � = 0

Asse di simmetria: �

(0; 0)

Vertice della funzione: 2

−� = −∞

Limite agli estremi della funzione: lim

�

→±∞

Traslare la funzione parabola �

(

�(�) = �� +

• traslazione lungo l’asse delle ordinate (asse y) del tipo

Funzione simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, quindi

possiamo dire che si tratta di una funzione pari, dato che:

�(� ) = � (

−� ) � = 0

Asse di simmetria: �

(0; )

Vertice della funzione:

� > 0

• il vertice diventa un punto di minimo se � < 0

• il vertice diventa un punto di massimo se

Limite agli estremi della funzione: 4

�

(

�(�) =

( �(� − �) +

• traslazione lungo l’asse delle ascisse (asse x) e delle ordinate (asse y) del tipo: � =

Asse di simmetria: �(;(;

)

Vertice della funzione:

Limite agli estremi della funzione:

Se nella funzione svolgiamo il quadrato del binomio, otteniamo:

2 2

�(� ) = �� − 2 2 ��

+ � +

Possiamo dire che i coefficiente della funzione sono:

� = �

• � = − 2

2�

• 2

� = � +

•

1.3 FUNZIONI POLINOMIALI

Dopo le funzioni quadratiche, si possono considerare funzioni di terzo grado, o di quarto grado, o più in

generale di funzioni polinomiali, cioè funzioni espresse da un polinomio.

� �

−1

�(� ) = � � + � � + ⋯ + � � + � �

:ℝ → ℝ

� �

−1 1 0

� ∈ ℕ � , … , � ∈ ℝ

In questo tipo di funzione, è il grado della funzione polinomiale (o del polinomio), 0 �

� ≠ 0.

sono i coefficienti del polinomio, e in questa tipologia di funzione si suppone sempre che �

Casi possibili di funzioni polinomiali �

� � >

• grado del polinomio pari e coefficiente � Limiti agli estremi della funzione: 5

�

� � <

• grado del polinomio pari e coefficiente � Limiti agli estremi della funzione:

�

� � >

• grado del polinomio dispari e coefficiente �

Limiti agli estremi della funzione: lim

�

� � = +∞

� �

→+∞

�

� � <

• grado del polinomio dispari e coefficiente �

Limiti agli estremi della funzione:

1.4 FUNZIONI POTENZA

Un’altra famiglia importante di funzioni è costituita dalle funzioni potenza. 6

�

�(� ) = ��

� ≠ 0 �

Dove è un numero reale e è un numero razionale, detto esponente della funzione potenza.

�

� � ∈ ℕ �(� ) = ��

Se è un numero naturale , la funzione è una particolare funzione polinomiale, e quindi

� :ℝ → ℝ

è definita su tutta la retta reale: . �

� � ∈ ℤ �(� ) = ��

Se è un numero intero negativo , la funzione è una particolare funzione razionale ed è

∗

� ≠ 0 � : ℝ → ℝ.

definita per , cioè �

� � ∈ ℚ/ℤ �(� ) = �� � ≥ 0

Se è un numero razionale non interno , allora è definita solo per cioè

+

� :ℝ → ℝ. � ∈ ℕ

Caso in cui : �

� �(� ) = ��

• se è dispari, la funzione è: Funzione monotona:

� > 0

• funzione crescente se � < 0

• funzione decrescente

Limiti agli estremi della funzione:

�

� �(� ) = ��

• se è pari (e non nullo), la funzione è: �

Punti di minimo e massimo della funzione:

� = 0 �� � > 0

punto di minimo in

� = 0 �� � < 0

• punto di massimo in

Limiti agli estremi della funzione: 7

1.5 FUNZIONI RAZIONALI

Una funzione razionale è un quoziente di polinomi.

�

, � ∈ ℕ � , … , � � , … , � ∈ ℝ � ,� ≠ 0.

In questo tipo di funzione si hanno , , e Di solito si

0 � 0 � � �

� ≥ 1 �

assume perché altrimenti sarebbe un polinomio.

� = max (�

, � ) � �.

Il grado della funzione razionale è , si prende il massimo grado tra e

Le funzioni razionali più semplici sono le funzioni lineari fratte, che hanno come grado 1.

La funzione più semplice di questo tipo è l’iperbole equilatera. � ≠ 0

Dominio funzione: � = 0

Punti di singolarità della funzione: punto per il

quale la funzione esiste in un intorno, ma non in quel

punto specifico Limiti della funzione:

• �(� ) = −∞

• lim −

�

→0 +

�(� ) = 0

• lim

�

→+∞

� �(� )

lim

−

= 0 �

→−∞

Asintoti della funzione:

� = 0

• asintoto verticale � = 0

• asintoto orizzontale

FUNZIONI TRASCENDENTI 8