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Matematica per le applicazioni I - equazioni irrazionali

Appunti di Matematica per le applicazioni I sulle equazioni irrazionali. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: altri esempi di equazioni irrazionali, Consideriamo equazioni in cui l’indice n della radice è pari (caso particolare n = 2 ).

Esame di Matematica per le applicazioni I docente Prof. F. Gori

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Easy matematica

Equazioni Irrazionali pag 6

 5

x

 3

 5

 ≥

x

 2

si ha il grafico

da cui

5

x 2

Elevando al quadrato ambo i membri della otteniamo

(3)

( ) 2

− = + −

3 5 1 2 5

x x

− = + − + −

3 5 1 2 2 5 2 5

x x x

− = −

2 2 x 5 x 1 (4)

Le condizioni per l’esistenza di soluzioni saranno

 5

 x

 2

 ≥

 x 1

per cui si ha

e quindi

5

x 2

Elevando al quadrato ambo i membri della (4) otteniamo

− = − +

2

4(2 5) 2 1

x x x

− − + + =

2

x 2 x 8 x 1 20 0 Easy matematica

Equazioni Irrazionali pag 7

− + =

2

x 10 x 21 0

= ±

x 5 2 5

Pertanto entrambe le soluzioni sono accettabili perché maggiori di 2

Esempio 4

Risolvere l’equazione

+ + + − + =

5 1 6 16 1 0 (5)

x x x

Per essere certi di non incorrere in soluzioni incompatibolo, è necessarioi

portare la nella forma

(5)

+ + + = +

5 1 6 16 1

x x x

Le soluzioni vanno ricercate nel dominio dell’equazione

Si ha il sistema

+ ≥

5 1 0

x

 + ≥

 6 0

x

 + ≥

16 1 0

x 1

da cui ≥−

x 16

Elevando al quadrato ambo i membri della (5) otteniamo

+ + + + + + = +

5 1 6 (5 1)( 6) 16 1

x x x x x

+ + = −

2 (5 1)( 6) 10 6

x x x

+ + = −

(5 1)( 6) 5 3 (6)

x x x

Le condizioni per l’esistenza di soluzioni saranno

 1

≥ −

x

 3

16 e quindi ≥

 x

3 5

 ≥

x

 5

Elevando al quadrato ambo i membri della (6) otteniamo

+ + + = − +

2 2

5 x 30 x x 6 25 x 30 x 9

− + =

2

20 x 61

x 3 0

1

e quindi e

= =

x x 3

20

Pertanto solo la soluzione risulta accettabile.

=

x 3 Easy matematica

Equazioni Irrazionali pag 8

Esempio 5

Risolvere l’equazione

− = − − −

4 9 1 (7)

x x x

determiniamo il dominio dell'equazione mediante il sistema

− ≥

 4 0

x

 − ≥

 9 0

x

 − ≥

 1 0

x

e osserviamo che deve essere

≥ (8)

x 9

Elevando al quadrato la (6) dopo semplici calcoli, si ottiene

− = − +

2

6 2 10 9 (9)

x x x

Questa è vera quando ≥

x 6

che, associata alla (8'), impone ≥

x 9

Elevando al quadrato la si ottiene

(3’)

− =

2

3 x 28 x 0 28

che dà come soluzione ,ipoteticamente accettabile =

x 3

Se si esegue la verifica della si riscontra che tale radice non soddisfa

(1’)

l'equazione data, pur essendo maggiore di 9

Risolviamo adesso la ) portandola nella forma:

(7

− + − = −

4 1 9

x x x

Elevando al quadrato, si ha

− + = − −

2

2 5 4 4

x x x

e questa è vera per .

≤ −

x 4

Dovendo valere anche la si deduce che l'equazione data non ha soluzioni,

(8)

come in effetti deve essere.

Altri esempi di equazioni irrazionali

Esempio n°6

Risolviamo l’equazione:

− = − − +

3 1 4 5 4 (1’’)

x x x

Mediante il sistema: Easy matematica

Equazioni Irrazionali pag 9

− ≥

3 1 0

x

 − ≥

 4 5 0

x

 + ≥

 4 0

x 5

ricaviamo che deve essere ≥

: (2’’)

x 4

ed elevando al quadrato la ), dopo semplici calcoli, otteniamo

(1’’ :

− + =

( 4 5

)( 4

) (3’’)

x x x 5

Da cui: E, dovendo valere anche la si ha che ≥

≥ (2’’), x

x 0 4

Elevando al quadrato la dopo semplici passaggi, si perviene a

(3’’),

+ − =

2

3 x 11

x 20 0 4

la cui unica soluzione ipoteticamente accettabile è =

x 3

Se eseguiamo la verifica dell’equazione data riscontriamo che tale radice non la

5

soddisfa, pur essendo maggiore di 4

Se invece, portiamo la nella forma

(1’’)

− + + = −

3 1 4 4 5

x x x

ed eleviamo al quadrato, otteniamo:

− + = −

(

3 1

)( 4

) 4

x x

dalla quale deduciamo che l’equazione data è impossibile, come in effetti deve

essere.

Esempio n°7

Risolviamo l’equazione

− = − −

4 3 4 7 (1’’’)

x x


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AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Docente: Gori Franco
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.

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