Matematica per le applicazioni I - equazioni irrazionali

Easy matematica

Equazioni irrazionali pag 1

Equazioni irrazionali

Dicesi equazione irrazionale un’equazione nella quale l’incognita compare sotto il segno di radice.

Per risolvere un’equazione irrazionale bisogna eliminare la radice, ciò si ottiene elevando a potenza entrambi i membri dell’equazione.

Questo procedimento non dà un’equazione equivalente a quella data, poiché se ad esempio consideriamo l’equazione = x 2 ed eleviamo al quadrato otteniamo = 2x 4 ± − che fornisce le soluzioni . ( non è soluzione dell’equazione data) 2 2 =

Consideriamo equazioni in cui l’indice n della radice è pari (caso particolare n 2).

1) Equazioni del tipo

= f ( x ) g ( x ) (1)

Per evitare di ottenere radici cosiddette estranee trasformiamo la (1) nel sistema:

 ≥ ( ) 0 f x  ≥  ( ) 0 g x  [ ] = 2  f ( x ) g ( x )

Le soluzioni dell’equazione vanno ricercate nelle soluzioni del sistema.

2) Equazioni del tipo

= f ( x ) g ( x )

In questo caso otteniamo il sistema:

≥  f ( x ) 0  ≥  g ( x ) 0  =  ( ) ( x ) f x g

3) Equazioni del tipo

± = f ( x ) g ( x ) h ( x )

(Si dovrà trasformare l’equazione in modo da ottenere i due membri positivi.)

Quindi + = f ( x ) g ( x ) h ( x )

Otteniamo il sistema

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Equazioni irrazionali pag 2

≥  ( ) 0 f x  ≥ ( ) 0 g x  ≥ ( ) 0 h x  [ ]  2   + = 2( ) ( ) ( ) f x g x h x  

E quindi ≥  ( ) 0 f x  ≥ ( ) 0 g x  ≥ ( ) 0 h x  [ ]  + + = 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x h x 

E quindi sviluppando l’ultima equazione, le soluzioni vanno ricercare nel sistema:

 ≥ ( ) 0 f x  ≥  ( ) 0 g x  ≥  ( ) 0 h x  [ ] − − ≥ 2  ( ) ( ) ( ) 0 h x f x g x  { } 2[ ] = − − 2  4 f ( x ) g ( x ) h ( x ) f ( x ) g ( x ) 

4) Equazioni del tipo

+ = ( ) ( ) ( ) f x h x g x

Dobbiamo distinguere due casi:

• ≥ 1°) h ( x ) 0
• < 2°) h ( x ) 0

1°) Caso

≥ h ( x ) 0

Si ha il sistema:

≥  ( ) 0 f x  ≥ ( ) 0 g x  ≥ ( ) 0 h x  2   + = ( ) ( ) ( ) f x h x g x  

E quindi ≥  ( ) 0 f x  ≥ ( ) 0 g x  ≥ ( ) 0 h x  [ ]  + + = 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) f x h x h x f x g x 

Che equivale al sistema

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Equazioni irrazionali pag 3

 ≥ f ( x ) 0  ≥  g (