Matematica per le applicazioni I - equazioni irrazionali

Easy matematica

Equazioni Irrazionali pag 1

Equazioni irrazionali

Dicesi equazione irrazionale un’equazione nella quale l’incognita compare sotto il segno di

radice

Per risolvere un’equazione irrazionale bisogna eliminare la radice, ciò si ottiene elevando a

potenza entrambi i membri dell’equazione.

\

Questo procedimento non dà in un’equazione equivalente a quella data, poerchè se ad

esempio consideriamo l’equazione

=

x 2

ed eleviamo al quadrato otteniamo

=

2

x 4 ± −

che fornisce le soluzioni . ( non è soluzione dell’equazione data)

2 2 =

Consideriamo equazioni in cui l’indice n della radice è pari (caso particolare )

n 2

1) Equazioni del tipo

=

f ( x ) g ( x ) (1)

per evitare di ottenere radici cosiddette estranee trasformiamo la (1) nel sistema

 ≥

( ) 0

f x

 ≥

 ( ) 0

g x

 [ ]

= 2

 f ( x ) g ( x )

le soluzioni dell’equazione vanno ricercate nelle soluzioni del sistema

2) Equazioni del tipo

=

f ( x ) g ( x )

in questo caso otteniamo il sistema

≥

 f ( x ) 0

 ≥

 g ( x ) 0

 =

 ( ) ( x )

f x g

3) Equazioni del tipo

± =

f ( x ) g ( x ) h ( x )

(si dovrà trasformare l’equazione in modo da ottenere i due membri positivi)

quindi + =

f ( x ) g ( x ) h ( x )

Otteniamo il sistema Easy matematica

Equazioni Irrazionali pag 2

≥

 ( ) 0

f x

 ≥

( ) 0

g x



 ≥

( ) 0

h x

 [ ]

 2

 

+ = 2

( ) ( ) ( )

f x g x h x

 



e quindi ≥

 ( ) 0

f x

 ≥

( ) 0

g x



 ≥

( ) 0

h x

 [ ]

 + + = 2

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

f x g x f x g x h x



e quindi sviluppando l’ultima equazione, le soluzioni vanno ricercare nel sistema:



 ≥

( ) 0

f x

 ≥

 ( ) 0

g x

 ≥

 ( ) 0

h x



[ ] − − ≥

2

 ( ) ( ) ( ) 0

h x f x g x

 { } 2

[ ]

= − −

2

 4 f ( x ) g ( x ) h ( x ) f ( x ) g ( x )



4) Equazioni del tipo

+ =

( ) ( ) ( )

f x h x g x

Dobbiamo distinguere due casi

≥

1°) h ( x ) 0

<

2°) h ( x ) 0

1°) Caso

≥

h ( x ) 0

Si ha il sistema

≥

 ( ) 0

f x

 ≥

( ) 0

g x



 ≥

( ) 0

h x



 2

 

+ =

( ) ( ) ( )

f x h x g x

 



e quindi ≥

 ( ) 0

f x

 ≥

( ) 0

g x



 ≥

( ) 0

h x

 [ ]

 + + =

2

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

f x h x h x f x g x



che equivale al sistema Easy matematica

Equazioni Irrazionali pag 3



 ≥

f ( x ) 0

 ≥

 g (