Matematica per le applicazioni I - equazioni irrazionali

Esempi:

Esempio 1

Risolvere l'equazione: − + − =3 1 1 0x x

Isolando il radicale avremo (1)+ = −3 1 1x xe quindi:

+ ≥3 1 0 dominio dell'equazione

 − ≥ 1 0 il secondo membro non può essere negativo

otteniamo

 1≥ − x

 3 ≥ x 1

Avremo il grafico

e quindi≥x 1

elevando al quadrato la otteniamo

(1)− = − 23 1 ( 1)x x

− =2x 5 x 0

le cui soluzioni sono

= =x 0 x 5 Easy matematica

Equazioni Irrazionali pag 5

La soluzione accettabile è solo=x 5

Esempio 2

Risolvere l'equazione+ = +5 1 2 10 (2)x x

Il dominio dell'equazione è dato dalla soluzione del sistema

+ ≥5 1 0x

 + ≥ 2 10 0x

 1≥ − x

 5 ≥ − x 5

Si ha il grafico

da cui 1≥−x 5

Elevando al quadrato ambo i membri della otteniamo

(2)+ = +5 x 1 2 x 10

e quindi=x 3

La soluzione è quindi accettabile

Esempio 3

Risolvere l'equazione− − − =3 5 2 5 1 (3)x x

Il dominio

dell'equazione è dato da:

3/5 * x^2 - 2/5 * x = 0

Easy matematica - Equazioni Irrazionali pag 6

5 ≥ x

3/5 ≥ x

2 ≤ x

si ha il grafico:

5 ≥ x ≥ 2

Elevando al quadrato ambo i membri della equazione otteniamo:

(3/5 * x)^2 - 2/5 * x = -3/5 * x

1/2 * x^2 - 2/5 * x = -3/5 * x

1/2 * x^2 - 2/5 * x + 3/5 * x = 0

2/5 * x^2 - 2/5 * x = 0

Le condizioni per l'esistenza di soluzioni saranno:

5 ≥ x ≥ 2

per cui si ha:

5 ≥ x ≥ 2

Elevando al quadrato ambo i membri della equazione otteniamo:

x^2 - 2 * x + 1 = 0

(x - 1)^2 = 0

Pertanto entrambe le soluzioni sono accettabili perché maggiori di 2

Esempio 4

Risolvere l'equazione:

x^3 + x^2 + x - 5 = 0

Per essere certi di non incorrere in soluzioni incompatibili, è necessario riportare l'equazione nella forma:

x^3 + x^2 + x = 5

Le soluzioni vanno

ricercate nel dominio dell'equazione

Si ha il sistema

≥5 1 0x

+ ≥ 6 0x

+ ≥16 1 0x

da cui ≥−x 16

Elevando al quadrato ambo i membri della (5) otteniamo

+ + + + + + = +5 1 6 (5 1)( 6) 16 1x x x x x

+ + = −2 (5 1)( 6) 10 6x x x

+ + = −(5 1)( 6) 5 3 (6)x x x

Le condizioni per l'esistenza di soluzioni saranno

 1≥ −x

 316 e quindi ≥ x3 5

 ≥x

 5

Elevando al quadrato ambo i membri della (6) otteniamo

+ + + = − +2 25 x 30 x x 6 25 x 30 x 9

− + =220 x 61x 3 01

e quindi e= =x x 320

Pertanto solo la soluzione risulta accettabile.

=x 3