Matematica - Numeri Complessi

NUMERI COMPLESSI

INTRO E RAPPRESENTAZIONE

Consideriamo l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali (a, b) e su queste definiamo le operazioni di somma e prodotto nel seguente modo:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

(1, 2) + (2, 3) = (3, 5)

(1, 2) * (2, 3) = (-4, 7)

Si può dimostrare che valgono le stesse proprietà delle operazioni in R.

Siamo quindi autorizzati a chiamare numeri questi nuovi "oggetti a due componenti" e per distinguerli da altri è deciso di chiamarli numeri complessi.

Si nota che i numeri del tipo (a, 0) se sommati o moltiplicati tra loro diventano numeri dello stesso tipo, come anche i loro opposti, e reciproci (numeri del tipo "a, 0" secondo accordo).

Possiamo allora identificare i numeri (a, 0) coi i numeri reali, potendo scrivere semplicemente "a" al posto di (a, 0).

Il numero complesso (0, 1) gode di questa proprietà:

(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0) = -1 → a questo numero (che è una delle soluzioni di x² +1) si dà il nome di "unità immaginaria", e lo si indica con i.

Alla luce delle precedenti osservazioni, si ha che:

(a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + i b

• a = parte reale
• i b = parte immaginaria

Forma cartesiana (o forma algebrica)

Piano di Gauss

NUMERI COMPLESSI: OPERAZIONI IN FORMA CARTESIANA

z = a + bi

• a = Re(z) - parte reale
• b = Im(z) - parte immaginaria
• i = unità immaginaria i² = -1

SOMMA

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di due numeri complessi allora

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

Esempio 1: z₁ = 1 + 3i e z₂ = 2 + i, ⇒ z₁ + z₂ = 1 + 3i + 2 + i = 3 + 4i = -3i = 1 - i

Esempio 2: z₁ = 3 + 2i e z₂ = 1 - 3i, ⇒ z₁ + z₂ = 3 + 2i + 1 - 3i = -1 + 2i

DIFFERENZA

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di due numeri complessi allora

z₁ - z₂ = (a - c) - (b - d)i

Esempio 3: z₁ = 1 + 3i e z₂ = 1 - i, ⇒ z₁ - z₂ = 1 + 3i - (1 - i) = 4i

PRODOTTO

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di due numeri complessi allora

z₁ · z₂ = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i

Esempio 4: z₁ = 1 + 3i e z₂ = 2i, ⇒ z₁·z₂ = (1 + 3i)(-2i) = 1 - 2i + 3i - 6

RAPPORTO

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di due numeri complessi allora

z₁/_{z2 = (a + bi)(c - di)/(c + di)² - (di)² = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i}

Esempio 5: (4 + 3i)/(1 - 2i) = 4 + 2i + 3i + 6i - (5 + 5i)/(-i +(2i + 3))

Equazioni con numeri complessi

x² = -1 — non ha soluzione in ℝ, dove √x non ammette x < 0 — ha 2 soluzioni in ℂ ovvero ±i

x² = -9 — non ha soluzioni in ℝ — x² = 9 · (-1) → x = ±√9 · √-1 → x = ±3i

Per risolvere ax² + bx + c = 0, si può utilizzare z_1,2 = (-b ± √b² - 4ac) / 2a a patto di intendere la radice quad. in senso complesso.

Il numero a + ib si dice complesso coniugato di z a - ib si indica con z̅ nel piano di Gauss z̅ è il simmetrico di z rispetto all'asse delle ascisse (asse reale). In forma exp se z = ρ e^iθ allora z̅ = ρ e^-iθ

• z solv reali distinte se Δ > 0
• z solv reali coincidenti se Δ = 0
• z solv complesse coniugate se Δ < 0

ax² + bxz + c = 0 con a,b,c ∈ ℝ

Naturalmente la formula risolutiva resta valida anche con coeff. complessi.

NB: Se sono radice troviamo num. con parte reale e immaginaria

(1 ± i) si procede con il calcolo √ radice comples

z² + 3iz - 2 = 0 → y = z² - 3iy - 2 = 0 → y = 3i±1 / 2 → y = 3i±2√3 / 2 → y = 3i±1 / 2 → z̅ = e^iπ/4

z² - 1 → ρ eⁱ⁰ e