Matematica Base

Lezione 4: prodotto cartesiano

Definizione di prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B, si chiama prodotto cartesiano di A e B, l'insieme che ha come elementi tutte le coppie ordinate (x, y) che hanno come primo oggetto un elemento x di A e come secondo un elemento y di B.

A × B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B }

A × B ≠ B × A

Se uno dei due insiemi è vuoto, il prodotto è A × ∅ = ∅

Relazione

Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice relazione un predicato a due variabili p(x,y) avente senso con x ∈ A e y ∈ B.

Funzione

Dati insiemi A e B, si definisce funzione una relazione che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di B. Si scrive f: A → B.

Per indicare che l'elemento b ∈ B è il corrispondente dell'elemento a ∈ A, si scrive b = f(a).

Non possono esistere elementi di A che non sono messi in relazione con un elemento di B. L'elemento b = f(a) è l'immagine dell'elemento tramite la funzione f. L'elemento b si chiama controimmagine di a.

L'insieme A prende il nome di dominio della funzione, mentre l'insieme B prende il nome di insieme d'arrivo della f. L'insieme delle immagini, f(A), prende il nome di codominio.

Prodotto cartesiano e relazione

Dati due insiemi A e B, si chiama Prodotto Cartesiano di A e B, l'insieme che ha come elementi tutte le coppie ordinate (x,y) che hanno come primo oggetto un elemento di x di A e come secondo un elemento di y di B.

A x B = {(x,y)| x ∈ A e y ∈ B}

A x B ≠ B x A

Se uno dei due insiemi è vuoto, il prodotto è A x ∅ = ∅.

Relazione e funzione

Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice Relazione un predicato a due variabili p(x,y) avente senso con x ∈ A e y ∈ B.

Dati insiemi A e B, si definisce Funzione una relazione che associa ad ogni elemento di A uno e in uno solo elemento di B. Si scrive f: A → B.

Per indicare che l'elemento b ∈ B è il corrispondente dell'elemento α ∈ A, si scrive b = f(α).

Non possono esistere elementi di A che non sono messi in relazione con un elemento di B. L'elemento b = f(α) è l'immagine dell'elemento α tramite la funzione f. L'elemento α si chiama controimmagine di b.

L'insieme A prende il nome di dominio della funzione, mentre l'insieme B prende il nome di insieme d'arrivo della f. L'insieme delle immagini, f(A), prende il nome di codominio.

Formule complesse

z = -¹/₂ + i^√3/₂

z⁸ = ?

a = -¹/₂ b = ^√3/₂

p = √(a² + b²) = √(¹/₄ + ³/₄) = 1

cos θ = ^a/_p = -¹/₂

sen θ = ^b/_p = ^√3/₂

θ = -^π/₃ + π = ²/₃ π

z = 1 (cos( ^2π/₃ ) + i sen( ^2π/₃ ))

z⁸ = 1⁸ [cos(8 ^2π/₃ ) + i sen(8 ^2π/₃ )] = 1 (cos( ^16π/₃ ) + i sen( ^16π/₃ ))

Operazione radice ennesima

z = p (cos θ + i sen θ)^m

√z = ^m√p [ cos( ^θ/_m + ^2kπ/_m ) + i sen( ^θ/_m + ^2kπ/_m ) ]

k = 0, ... , m - 1 ∈ ℤ

z = ^√3 + iz = 2 (cos ^π/₆ + i sen ^π/₆)

Calcolo della radice cubica

³√z = ?

m = 3

k = 0

k = 1

k = 2

³√z = ³√2 [ cos( ^π/₃ - ¹/₃ + ^2kπ/₃ ) + i sen( ^π/₆ - ¹/₃ + ^2kπ/₃ ) ]

ω₁ = ³√2 ( cos ^π/₁₈ + i sen ^π/₁₈ )

ω₂ = ³√2 [ cos( ^π/₁₈ + ^2π/₃ ) + i sen( ^π/₁₈ + ^2π/₃ ) ] = ³√2 [ cos( ^13π/₁₈ ) + i sen( ^13π/₁₈ ) ]

ω₃ = ³√2 [ cos( ^π/₁₈ + ^4π/₃ ) + i sen( ^π/₁₈ + ^4π/₃ ) ] = ³√2 [ cos( ^25π/₁₈ ) + i sen( ^25π/₁₈ ) ]

Forma esponenziale

z = ρ · e^iθ

Prendendo esempio di prima

z = 1 (cos_π/3 + i sen_π/3) - 1 e^iπ/3

Scrivere in forma esponenziale e algebrica

z = 2 (cos_π/4 + i sen_π/4)

z = 2 e^iπ/4

z = 2 (^√2/2 - ^√2/2i) = √2 - √2i

Potenza

z = 1 + √2i

z² = (^{1 + √2i})² = 1 + 2z² + √2zi = -