Matematica Base

Lezione 4

Prodotto Cartesiano

Dati 2 insiemi A e B si chiama Prodotto Cartesiano di A e B, l'insieme che ha X elementi tutte le coppie ordinate (x,y) che hanno come primo oggetto un elemento di X di A e come secondo un elemento Y di B.

Se uno dei due insiemi è vuoto il prodotto è

Relazione

Dati 2 insiemi non vuoti A e B si dice relazione un predicato a due variabili P(x,y) avente senso x ∈ A e y ∈ B

Funzione

Dati insieme A e B, si definisce funzione una relazione che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di B

x indicare che l'elemento b ∈ B è il corrispondente dell'elemento a ∈ A si scrive

Non possono esistere elementi di A che non sono messi in relazione con un elemento di B

• L'elemento b = f(a) è l'immagine dell'elemento a tramite la funzione f
• L'elemento a si chiama controimmagine di b
• L'insieme A prende il nome di dominio della funzione mentre l'insieme B prende il nome di insieme d'arrivo della f
• L'insieme delle immagini, f(A), prende il nome di codominio

z = -¹/₂ + i√³/₂

z⁸ = ?

α = -¹ β = √³/₂

p = √(α² + β²) = ¹/₄ + ³/₄ = 1

cosθ = α/p = -¹/₂ senθ = β/p = √³/₂

θ = -π/₃

θ + 2π = 2/3π

z = 1[cos(2π/3) + i sen(2π/3)]

z⁸ = 1⁸[cos(8 * 2π/3) + i sen(8 * 2π/3)] = 1[ cos16π/3 + i sen16π/3)]

Operazione Radice Ennesima

z = p[cosθ + i senθ]

m√z = m√p[cos(θ/m + 2kπ/m) + i sen(θ/m + 2kπ/m)]

k = 0,…, m - 1 ϵ ℤ

Esempio

z = √³ + i

z = 2[cos π/6 + i sen π/6]

3√z = ?

m = 3

3√z = 3√2 [cos( π/6 - 1/3 + 2kπ/3) + i sen( π/6 - 1/3 + 2kπ/3)]

k = 0 k = 1 k = 2

Ho 3 soluzioni

k = 0

ω₁ = 3√2 [cos( π/18 + i sen π/18)]

π + 2π/18

k = 1

ω₂ = 3√2 [cos(π/18 + 2π/3) + i sen(π/18 + 2π/18) ] = 3√2 [cos(13π/18) + i sen(13π/18)]

k = 2

ω₃ = 3√2[cos(π/18 + 4π/3) + i sen(π/18 + 4π/18) ] = 3√2 [cos(25π/18) + i sen(25π/18)]

Forma trigonometrica dei n^o complessi

Forma algebrica z = a + ib

OP vettore corrispondente al numero complesso a + ib

p' il modulo del vettore

a = p cosφ

b = p senφ

z = a + ib = p(cosφ + i senφ) = p(cosφ + i senφ)

Es. z = 2 + 2i

a = 2

b = 2

p = √(2² + 2²) = √(a² + b²) = √4 + 4 = √8 = 2√2

senφ = ^b/_p

cosφ = ^a/_p

Lezione 3

i_z = 1

m₁ = 5

m₂ = ²²/₃

z = a + ib

• se b = 0 z = a
• se a = 0 z = ib
• se a ≠ 0 e b ≠ 0 z = a + ib

z₁ = 5 + 2i

z₂ = -3 - 3i

Coniugato

z̅ = 5 - 2i

z̅ = a + (bi)

Opposto

-z = -5 - 2i

-z = -(a + ib)

23/01/2017

Esercizio 1

(A ∪ B) - CUnito

(A ∩ C) - BIntersecato

[ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ] - (A ∩ B ∩ C)

Esercizio 2

(A ∪ B ∪ C) ∪ [ (A ∩ B) - C ]

ω(A ∪ B ∪ C)

[ (A ∩ B) - (A ∪ B ∪ C) ]

• U A ∪ B

[ (B ∪ C) - A ] - (B ∩ C)

OppureA̅ - (B ∩ C)Oppure[ B - (A ∪ C) ] ∪ [ C - (A ∪ B) ]

Teorema del Confronto

Teorema di Unicità del Limite

1) lim_x→x0 f(x) = l

l è unico

Teorema del Confronto

1. lim_x→x0 g(x) = p
2. lim_x→x0 h(x) = p
3. ∃ I ∈ ℬ(x₀): g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)

Teorema della Permanenza del Segno

1. ∃ lim_x→x0 f(x) = l
2. x ∈ D(x₀): x ∈ I ∩ D

2. p > 0 ⟹ f(x) > 0
3. p < 0 ⟹ f(x) < 0

lim_x→x0 f(x) = 3

lim_x→x₀ f(x) = -∞

∀M>0 ∃I_x₀ = (x₀-ε, x₀+ε) T.C.

∀x ∈ I_x₀ si ha che f(x)<-M

lim_x→+∞ f(x) = +∞

∀M>0 ∃m_m T.C. ∀x>m_m si ha che f(x)>M

LIMITI DI SUCCESSIONI

Esempio:

f(x) = 2x² - 6x

^x/₃

↗

5,925

6

5,075

Lim_{x → 3} 2x²-6x / x-3 = 6

Ε numero molto piccolo

M numero molto grande

Fisso Ε > 0

Ε = 0,25

3-Ε < f(x) < 3+Ε

6-0,25 < f(x) < 6+0,25

Si dica Lim_{x → x0} f(x) = P se

Ε > 0 ∃ I(x₀) = (x₀ - δ, x₀ + δ) t.c.

∀ x ∈ I(x₀) si ha che

P - Ε < f(x) < P + Ε

che equivale a

|f(x) - P| < Ε

Prolungamento di una successione

Diciamo che una funzione f è un prolungamento della successione {a_m} se f è definita nell’intervallo [m₀, +∞) e si ha:

f(m) = a_m per ogni m ≥ m₀

Esempio

La funzione f: [1, +∞) → ℝ tale che f(x) = ¹/_x è il prolungamento naturale della successione a_m = ¹/_m, ottenuto sostituendo la variabile discreta m con la variabile continua x.

Successione monotona

Una successione si dice crescente per ogni m, m₁, m interi, con m₁ < m, si ha che a_m1 ≤ a_m

Precisamente, una successione {a_m} è:

• crescente se e solo se a_m ≤ a_m+1 per ogni m
• strettamente crescente se e solo se a_m < a_m+1 per ogni m
• decrescente se e solo se a_m ≥ a_m+1 per ogni m
• strettamente decrescente se e solo se a_m > a_m+1 per ogni m

* Una successione (a_m) si dice inferiormente limitata se non può assumere valori arbitrariamente piccoli, ovvero se esiste una costante K ∈ ℝ tale che a_m ≥ K, ∀m ∈ ℕ

* Una successione (a_m) si dice superiormente limitata se non può assumere valori arbitrariamente grandi, ovvero se esiste una costante K ∈ ℝ tale che a_m ≤ K, ∀m ∈ ℕ

Esercizio 199

K₀ = Numero di atomi iniziali

K_x = Numero di atomi istante x

1. K(1) = ¹/₂ K₀

   K(2) = ( ¹/₂ )² K₀

   K(3) = ( ¹/₂ )³ K₀

   K(4) = ( ¹/₂ )⁴ K₀

   K_(m) = ( ¹/₂ )^m K₀

   Formula che regola il decadimento radioattivo delle sostanze

2. K(x) = ¹/₄ K₀

   T = ?

   ( ¹/₂ )^t = ¹/₄

   T = 2

3. K(x) = ¹/₁₀₀₀ K₀

   T = ?

   ( ¹/₂ )^t = ¹/₁₀₀₀

   100 = 10^x

   -2 = -t log₁₀(¹/₂)

   T = ^-2/_-log10(2) ≈ 6,64