Analisi Matematica

Definizione di insieme limitato superiormente e inferiormente

L’insieme U = { y ε R | ∀x ε R: x ≤ y } si dice “insieme dei maggioranti di S”. (Analogamente si definisce l’insieme dei minoranti)

Teorema sul minimo e massimo degli insiemi

Sia S ⊂ R, S limitato superiormente (inferiormente). Allora l’insieme dei maggioranti (minoranti) di S ammette minimo (massimo).

Dimostrazione

Non lo dimostriamo, ma è utile sottolineare che questo risultato è una conseguenza dell’assioma di completezza.

Osservazione sull'applicazione del teorema in Q

Il precedente teorema non vale in Q. Infatti, se considero S = { q ε Q | q ≤ 0 ∨ (√2-1) q ≤ 2 }, vedo facilmente che S è limitato superiormente (per esempio 2 è un maggiorante di S), ma l’insieme dei maggioranti non possiede il massimo in Q (l’insieme dei maggioranti è L = { q ε Q | 1 ≤ q ≤ 2 } e non ha minimo poiché √2 ∉ Q (c.q. √2 ≈ 2). In R, il minimo dei maggioranti di S esiste e lo si denota con U_S.

Definizione di estremo superiore e inferiore

L'insieme U_S = {y ∈ R | ∀x ∈ R: x ≤ y} si dice "insieme dei maggioranti di S". (Analogamente si definisce l'insieme dei minoranti)

Teorema sull'esistenza di estremi

Sia S ⊂ R, S limitato superiormente (inferiormente). Allora l'insieme dei maggioranti (minoranti) di S ammette minimo (massimo).

Dimostrazione

Non lo dimostriamo, ma è utile sottolineare che questo risultato è una conseguenza dell'assioma di completezza.

Osservazione su Q

Il precedente teorema non vale in Q. Infatti, se considero S = {q ∈ Q | q² 2 = 2)}, vedo facilmente che S è limitato superiormente (per esempio 2 è un maggiorante di S), ma l'insieme dei maggioranti non possiede il massimo in Q (l'insieme dei maggioranti è I_S = {q ∈ Q | 2 ≤ q} che non ha minimo perché √2 ∉ Q [c. q² = 2). In R, il minimo dei maggioranti di S esiste e lo si denota con √2.

Definizione di "sup" e "inf"

X ⊂ R, X limitato superiormente (inferiormente). Il minimo dell'insieme dei maggioranti di X si denota con "sup X" e si chiama "estremo superiore di X". Il massimo dell'insieme dei minoranti di X si denota con "inf X" e si chiama "estremo inferiore di X".

Definizione di insieme limitato e illimitato

X ⊂ R si dice "limitato" se è limitato sia superiormente che inferiormente. X ⊂ R si dice "illimitato superiormente" se non è limitato superiormente (analoga definizione per l'illimitatezza inferiore). X ⊂ R si dice "illimitato" se è illimitato sia superiormente che inferiormente.

Esempio di insieme limitato superiormente

X = { x ∈ R | x ≤ 3 }. È un insieme limitato superiormente, il cui insieme dei maggioranti è Y = { x ∈ R | 3 ≤ x }. Il minimo di Y è 3, quindi 3 = sup X. X è illimitato inferiormente.

Teorema sull'illimitatezza di N

N è illimitato superiormente

Dimostrazione

Per assurdo, supponiamo che N era limitato superiormente. Allora, per il teorema precedente, esiste sup N. Denotiamo con a=sup N. Per definizione di estremo superiore, a è il più piccolo maggiorante di N, cioè ∀n∈N: n≤a (cioè a è un maggiorante di N) ∀b∈R t.c. ∀n∈N: n≤b, è ho che a≤b (cioè comunque si consideri un altro maggiorante di N, a è minore di questo). Considero a-1 < a. Ovviamente, essendo a il più piccolo maggiorante di N, a-1 non può essere maggiorante di N. Ma allora ∃ m∈N tale che a-1 < m. Se ne deduce che a < m+1. Osserviamo che m+1 ∈ N, quindi abbiamo trovato un numero naturale più grande di a: questo contraddice la proprietà 1) dell’estremo superiore. L’assurdo è conseguenza dell’errore supposto che N fosse limitato superiormente.

Teorema di Archimede

N soddisfa la proprietà di Archimede in R, cioè ∀ x̅ ∈ R, ε > 0 ∃ m ∈ N c. e. y ^- mx.

Dimostrazione

Per assurdo, supponiamo che ∃ x, y > 0 tali che ∀ m ∈ N: mx ≤ y. Siccome x > 0, deduciamo che ∀ n ∈ N: n ≤ y/x. Questo significa che N è limitato superiormente: assurdo perché nel precedente teorema si è provato che N è illimitato superiormente.

Notazione di massimo e minimo

X ⊂ R. Se X ammette massimo (minimo) tale numero verrà denotato con "max X" ("min X").

Proposizione su massimo e minimo

Se X ⊂ R ammette massimo (minimo) allora max X = sup X (min X = inf X). Se X ⊂ R è limitato superiormente (inferiormente) allora sup X ∈ X => ∃ max X̅ e max X = sup X, sup X ∉ X => ∄ max X. Analogamente per inf X e min X.

Proposizione senza dimostrazione

⊂ ℝ limitato superiormente. Allora ha la seguente caratterizzazione

1. ∀x ∈ : x ≤ a
2. ∀ε > 0 ∃ x ∈ t.c. a