Analisi Matematica

Definizione

X ⊆ ℝ limitato superiormente (inferiormente)

L'insieme I ⊆ ℝ ∣ ∀x ∈ ℝ : x ≤ y si dice "insieme dei maggioranti di X".

(Analogamente si definisce l'insieme dei minoranti)

Teorema

Sia X ⊆ ℝ, X limitato superiormente (inferiormente). Allora l'insieme dei maggioranti (minoranti) di X ammette minimo (massimo).

Dim.

Non lo dimostriamo, ma è utile sottolineare che questo risultato è una conseguenza dell'assioma di completezza.

Osservazione

Il precedente teorema non vale in ℚ. Infatti se considero X = {q ∈ ℚ ∣ q ≤ 0 ^∨ (9^2/9 - 9²)}, vedo facilmente che X è limitato (per esempio 2 è un maggiorante di X), ma l'insieme dei maggioranti non possiede il minimo in ℚ. L'insieme dei maggioranti è I = {q ∈ ℚ ∣ 2≤q²} che non ha minimo perché 2 ∉ ℚ (c. 9^2/9 ≥ 2).

In ℝ il minimo dei maggioranti di I esiste e lo si denota con √2.

• Definizione

X ⊂ R X limitato superiormente (inferiormente).

Il minimo dell'insieme dei maggioranti di X si denota con "sup X" e si chiama "estremo superiore di X".

Il massimo dell'insieme dei minoranti di X si denota con "inf X" e si chiama "estremo inferiore di X".

• Definizione

• X ⊂ R si dice "limitato" se è limitato sia superiormente che inferiormente.
• X ⊂ R si dice "illimitato superiormente" se non è limitato superiormente (analoga definizione per l'illimitatezza inferiore).
• X ⊂ R si dice "illimitato" se è illimitato sia superiormente che inferiormente.

Esempio

• X = {x ∈ R | x < 3}. E' un insieme limitato superiormente il cui insieme dei maggioranti è Y = {x ∈ R | 3 ≤ x ≤ 5}. Il minimo di Y è 3, quindi 3 = sup X.

Proviamo che 0 = inf A.

Per la precedente caratterizzazione, dobbiamo vedere se

1. ∀ x ∈ A: 0 ≤ x
2. ∀ε>0 ∃x∈A t.c. x<0+ε.

Il 1 è verificato, poiché se x ∈ A allora x = 1/n con n ∈ ℕ\{0} e l’abbiamo già considerato che 0 ≤ 1/n.

Proviamo lo 2. Sia ε>0 e cerchiamo x ∈ A c.e. x < ε+0 = ε.

Cioè dobbiamo vedere se ∃ n ∈ ℕ, n ≥ 1 t.c. 1/n < ε,

ossia 1 < nε per qualche n ∈ ℕ\{0}.

Ma per la proprietà di Archimede esattamente esiste n ∈ ℕ\{0} t.c. 1 < nε!

Ne concludiamo che 0 = inf A.

Domanda : A ammette minimo? No!

Infatti se A avesse minimo, esso corrisponderebbe con l’estremo inferiore 0. Tuttavia 0 ∉ A perché se 0 ∈ A allora per qualche n ∈ ℕ avremmo 0 = 1/n e cioè 0 sarebbe il reciproco di un numero naturale: assurdo!

Esercizio

Determinare limitatezza, estremi ed eventuali massimi e minimi di A = {x ∈ ℝ | 9 ≤ x² ≤ 16}.

Osservazioni

1. L'addizione e la moltiplicazione sono associative e commutative
2. La moltiplicazione è distributiva rispetto alla addizione
3. (0,0) è elemento neutro di R² rispetto a +, (1,0) è elemento neutro di R² rispetto a ●.

   Infatti ∀(x₁, x₂)∈R²:

   • (x₁, x₂) + (0,0) = (x₁ + 0, x₂ + 0) = (x₁, x₂)
   • (x₁, x₂) ● (1,0) = (x₁●1 - x₂●0, x₂●0 + x₂●1) = (x₁, x₂)
4. ∀(x₁, x₂)∈R² esiste il simmetrico rispetto alla addizione ed esso è (-x₁, -x₂):
   • (x₁, x₂) + (-x₁, -x₂) = (x₁ - x₁, x₂ - x₂) = (0,0)

   ∀(x₁, x₂)∈R²\{(0,0)} esiste il simmetrico rispetto alla moltiplicazione, ed esso è \(\left(\frac{x_1}{x_2^2+x_2^2}, -\frac{x_2}{x_2^2+x_2^2}\right)\):

   • (x₁, x₂)●\(\left(\frac{x_1}{x_2^2+x_2^2}, -\frac{x_2}{x_2^2+x_2^2}\right)\) =
   • = \(\left(x_1●\frac{x_1}{x_2^2+x_2^2}, -x_2●\left(-\frac{x_2}{x_2^2+x_2^2}\right), x_2●\left(-\frac{x_2}{x_2^2+x_2^2}\right)+x_2●\frac{x_1}{x_2^2+x_2^2}\right)\)
   • = (1,0)

Esempio

Re (3 + 2i) = 3 Im (3 + 2i) = 2 Re (2 - i) = 2 Im (2 - i) = -1

- Definizione Assegnato un numero z = x + iy ∈ ℂ, si dice "complesso coniugato di z" e lo si denota con z̅ il numero z̅ = x - iy ∈ ℂ.

- Osservazione ∀z ∈ ℂ: Re (z) = Re (z̅) Im (z̅) = -Im (z)

- Proprietà:

1. ∀z ∈ ℂ: z + z̅ = Re (z) + i Im (z) + Re (z̅) - i Im (z̅) = 2 Re (z)
2. ∀x ∈ ℝ: x̅ = x
3. ∀y ∈ ℝ: iy̅ = -iy
4. ∀z₁/z₂ ∈ ℂ: z̅₁•z̅₂ = z̅₁/z̅₂ (Provare per esercizio)
5. ∀z₁ ≠ z₂ ∈ ℂ: z̅₁ + z̅₂ = z̅₁ + z̅₂ (Provare per esercizio)

Proprietà

• ∀ z ∈ C : z · ẑ = |z|²

  Dim.

  Poniamo x,y ∈ R: c. z = x + iy. Allora ẑ = x - iy e

  z · ẑ = (x + iy) · (x - iy) = x² - (iy)² = x² - i²y² = x² + y² = |z|²

  reld: z ≥ 0 ⇔ |z| = 0

  Dim.

  |z| = 0 ⇔ z = x + iy ∧ √x² + y² = 0 ⇔ z = x + iy ∧ x² + y² = 0

  ⇔ z = x + iy ∧ x = 0 = y ⇔ z = 0

• ∀z,w ∈ C: |z · w| = |z| · |w|

  Dim.

  Premessa: se x ̸ ∈ R e x ̸ ≥ 0 allora x = y = x̸² ≤ y².

  |z · w| ² = (z · w) · (z · ẑ · w) = (z · w) · (ẑ · w)

  Vedi la 1^a proprietà

  = |z|² |w|².

  Per la nostra premessa |z · w| = |z| |w|.

• ∀z ∈ C: Re z ≤ |z| ∧ Im z ≤ |z|

  Dim.

  Sia z = x + i y , x ∈ R. Quindi x = Re z e y = Im z.

  Proviamo Re z ≤ |z|. Se x < 0, allora ovviamente

  x ≤ |z| visto che |z| ≥ 0.

  Se x > 0, allora x = |x| = √x² ≤ √x² + y² = |z|