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Lezione 1 - Numeri, insiemi, intervalli
Introduzione: definizione di funzione
Funzione come relazione tra due numeri:
- Costo telefonata in relazione a tempo
- Allungamento corda in funzione a peso applicato
- Curva di domanda in funzione a prezzo prodotto
Concezione insiemistica: relazione univoca tra elementi di due insiemi
- Permette il superamento del vincolo numerico
- Consente di non specificare la natura degli elementi messi in relazione
Definizione e terminologia della teoria insiemistica
Insieme è un gruppo di elementi accumunati da un specifico criterio, identificabile tramite l’utilizzo della
seguente simbologia di base:
- Lettere maiuscole --> Insiemi
- Lettere minuscole --> Elementi di un insieme
- Appartenenza -- ∈
>
- Unione -- ∪
>
- Intersezione -- ∩
>
- Insieme vuoto --> ∅
- Sottoinsieme (Propriamente o semplicemente contenuto) --> C
La rappresentazione di un insieme può avvenire tramite l’utilizzo di parentesi graffe o graficamente con il
cosiddetto diagramma di Venn.
Le operazioni di base che è possibile effettuare tra insiemi sono:
- L’unione, intesa come un insieme composto da tutti gli elementi degli insiemi di partenza
- L’intersezione, intesa come un insieme composto dai soli elementi in comune degli insiemi di
partenza.
Le operazioni di unione ed intersezione di insiemi verificano le seguenti proprietà:
- Commutativa
- Associativa
- Distributiva
© Alberto Tozzi 5 AA 2019/2020
Oltre alle operazioni di unione ed intersezione, è possibile effettuare le seguenti:
Sottrazione (A\B)
L’insieme degli elementi appartenenti ad A al netto di quelli appartenenti a B.
A\B è anche denominato insieme complementare di B rispetto ad A, in quanto la loro unione forma
l’insieme di partenza A.
In tal modo è possibile definire l’unione tra due insiemi come l’unione di tre insiemi disgiunti e
complementari.
Prodotto Cartesiano
Coppie ordinate (a, b) di elementi appartenenti rispettivamente ad A e B, non si verifica in questo caso la
proprietà commutativa.
Gli insiemi numerici, intervalli
Progressivo ampliamento degli insiemi numerici in cui si svolgono la totalità delle operazioni e funzioni
matematiche che andremo ad analizzare, ciascun insieme è legato da un rapporto di contenimento che
rende lo strumento dell’analisi matematica sempre più ampio e atto alle necessità di analisi matematica:
- N: numeri naturali, non negativi
- Z: numeri interi, positivi e negativi
- Q: numeri razionali, fratti
- R: numeri reali, anche irrazionali, l’intervallo più completo e che permette la rappresentazione
di tutti i punti su un asse cartesiano, senza discontinuità necessariamente presenti negli
insiemi ad esso contenuto.
Nell’ambito degli insiemi numerici è possibile inoltre distaccare la definizione di intervallo, insieme di
numeri reali compresi tra due estremi a, b (a < b), per cui si utilizzano le seguenti notazioni:
- [ --> Appartenenza degli estremi
- ( --> Non appartenenza degli estremi
L’infinito
L’utilizzo dell’annotazione dell’infinito ci permette di introdurre l’insieme ampliato dei numeri reali (R*),
inteso come l’insieme dei numeri reali già sopra analizzato contenente il più piccolo e il più grande numero
possibile, concetti matematici espressi con il simbolo ±∞.
I simboli “±∞” non rappresentano concretamente dei numeri definiti bensì dei concetti matematici entro
dei quali si possono racchiudere la totalità dei numeri reali.
© Alberto Tozzi 6 AA 2019/2020
Nonostante sia impossibile determinare il risultato di tali operazioni algebriche per la stessa impossibilità di
definizione del concetto ±∞, possiamo dettare alcune regole applicabili quando ci si ritrova a dover operare
alcune operazioni algebriche con numeri reali e ±∞.
−∞ ±
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