Matematica I

AA 2019/2020

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DELL’INSUBRIA

Corso di Economia e Management (Part-Time)

Alberto Tozzi

[MATEMATICA I]

Sulla base del programma attualmente vigente e le lezioni impartite dal Prof. Giovanni Crespi

Indice dei contenuti

Lezione 1 - Numeri, insiemi, intervalli ............................................................................................................... 5

Introduzione: definizione di funzione............................................................................................................ 5

Definizione e terminologia della teoria insiemistica ..................................................................................... 5

Gli insiemi numerici, intervalli ....................................................................................................................... 6

L’infinito ......................................................................................................................................................... 6

Estremo superiore e inferiore ....................................................................................................................... 7

Lezione 2 – Intorno di un numero reale, funzioni reali di variabili reale, definizioni e rappresentazione

analitica e cartesiana ......................................................................................................................................... 8

Gli intorni di un numero reale ....................................................................................................................... 8

Il concetto insiemistico di funzione ............................................................................................................... 9

Lezione 3 – Funzioni limitate, massimi e minimi globali, monotonia ............................................................. 10

Funzioni crescenti, decrescenti ................................................................................................................... 10

Definizione di punti di massimo e di minimo di una funzione .................................................................... 11

Lezione 4 – Convessità, proprietà locali e globali, grafico funzione potenza .................................................. 12

Funzioni convesse e concave ....................................................................................................................... 12

Funzioni pari o dispari ................................................................................................................................. 14

Le funzioni Lineari ........................................................................................................................................ 15

Costanti (y = k) ......................................................................................................................................... 15

Lineari (y = mx) e lineari affini (y = mx + q) .............................................................................................. 15

Alcuni richiami di geometria analitica ..................................................................................................... 16

Le funzioni quadrato .................................................................................................................................... 17

2 ∈

Funzioni quadrato con vertice nell’origine (aX , a R, a ≠0) .................................................................. 17

2 ∈

Funzioni quadrato con vertice diverso dall’origine degli assi (aX + bX +c, a R, a ≠0) ......................... 17

Le iperboli .................................................................................................................................................... 18

Iperboli equilatere con asse di simmetria nell’origine (a/X, X ≠ 0).......................................................... 18

Iperboli equilatera generica (aX +b/cX + d, ad - bc ≠ 0) .......................................................................... 18

Le funzioni potenza: esponente intero e positivo ....................................................................................... 19

4

n è un numero pari (x ) ............................................................................................................................ 19

3

n è un numero dispari (x ) ....................................................................................................................... 19

Generico n ............................................................................................................................................... 19

Le funzioni potenza: quando l’esponente è frazionario e positivo ............................................................. 20

Esponente frazionario pari (√) .............................................................................................................. 20

Esponente frazionario dispari (∛) .......................................................................................................... 20

Disequazioni irrazionali............................................................................................................................ 21

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Lezione 5 – Funzione composta e inversa, funzione valore assoluto.............................................................. 22

Il concetto di funzione inversa e di funzione composta .............................................................................. 22

Funzione suriettiva .................................................................................................................................. 22

Funzione iniettiva .................................................................................................................................... 22

Funzione biiettiva .................................................................................................................................... 23

Funzione inversa ...................................................................................................................................... 23

Funzione composta ................................................................................................................................. 23

Funzione valore assoluto ............................................................................................................................. 24

Lezione 6 – Funzioni esponenziali, logaritmo. ................................................................................................. 25

La funzione esponenziale ............................................................................................................................ 25

Caso 1 (a > 1) ........................................................................................................................................... 25

Caso 2 (0 < a < 1) ...................................................................................................................................... 26

Disequazioni esponenziali ....................................................................................................................... 26

La funzione logaritmica ............................................................................................................................... 27

Proprietà dei logaritmi............................................................................................................................. 28

Logaritmo naturale e decimale ................................................................................................................ 28

Caso 1 (a > 1) ........................................................................................................................................... 29

Caso 2 (0 < a < 1) ...................................................................................................................................... 29

Disequazioni logaritmiche ....................................................................................................................... 30

Lezione 7 – Funzioni periodiche, trasformazioni geometriche ....................................................................... 31

Le funzioni trigonometriche ........................................................................................................................ 31

Seno ( Sin x ) ............................................................................................................................................ 31

Coseno ( Cos x ) ........................................................................................................................................ 32

Tangente (Tan x ) ..................................................................................................................................... 32

Le funzioni quasi elementari ....................................................................................................................... 33

Valore assoluto di una funzione ( |f(x)| ) ................................................................................................ 33

Valore assoluto della variabile indipendente ( f(|x|) ) ............................................................................ 34

Traslazioni verticali ( f(x) + k ) .................................................................................................................. 34

Traslazioni orizzontali ( f(x + k) ) .............................................................................................................. 34

Lezione 8 – Definizione di derivata, derivate elementari ................................................................................ 35

Concetto intuitivo di derivata ...................................................................................................................... 35

Significato geometrico di derivata ............................................................................................................... 35

Il calcolo delle derivate ................................................................................................................................ 36

Calcolo della funzione della retta tangente ad un punto x0 ................................................................... 37

Algebra delle derivate ............................................................................................................................. 37

Procedimento di calcolo della derivata prima di una funzione ............................................................... 38

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Derivate successive...................................................................................................................................... 38

Lezione 9 – Punti stazionari, test di monotonia, test di convessità. ............................................................... 39

Ricerca dei punti di massimo e di minimo di una funzione ......................................................................... 39

Primo metodo: funzione derivabile in un intervallo................................................................................ 39

Secondo metodo: teorema di fermat ...................................................................................................... 40

Convessità e concavità di una funzione, punto di flesso ............................................................................. 41

Punti di flesso .......................................................................................................................................... 41

Lezione 10 – Funzioni di n variabili reali, derivate parziali, punti stazionari ................................................... 42

Introduzione alle funzioni di due variabili reali ........................................................................................... 42

Le funzioni continue .................................................................................................................................... 42

Definizione ............................................................................................................................................... 42

Linee di livello .......................................................................................................................................... 43

Le derivate parziali....................................................................................................................................... 43

Definizione ............................................................................................................................................... 43

Regole di calcolo ...................................................................................................................................... 43

Massimi e minimi liberi ............................................................................................................................... 44

Condizione sufficiente ............................................................................................................................. 44

Condizione necessaria ............................................................................................................................. 44

Introduzione alle funzioni di n variabili reali ............................................................................................... 45

Le derivate parziali di una funzione di n variabili ........................................................................................ 45

Massimi e minimi liberi di una funzione di n variabili reali ......................................................................... 46

Lezione 11 – Lo spazio Rn, vettori, matrici ...................................................................................................... 47

n

L’insieme R ................................................................................................................................................. 47

n

Lo spazio vettoriale R ................................................................................................................................. 47

Somma vettoriale .................................................................................................................................... 47

Prodotto per una costante reale K .......................................................................................................... 48

Lo spazio vettoriale .................................................................................................................................. 49

Dimensione di uno spazio vettoriale ....................................................................................................... 49

n

La struttura metrica di R ............................................................................................................................ 51

n

La distanza tra due vettori di R ............................................................................................................... 51

n

Norma di due vettori di R ....................................................................................................................... 51

Introduzione alle matrici, sistemi e trasformazioni lineari .......................................................................... 52

Definizione di Matrice ................................................................................................................................. 52

Matrice quadrata ..................................................................................................................................... 53

Matrice diagonale e identità ................................................................................................................... 53

Matrici simmetriche ................................................................................................................................ 54

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Lezione 12 – Operazioni con matrici, determinante, matrice inversa ............................................................ 55

Definizione di matrice .................................................................................................................................. 55

Algebra delle matrici ................................................................................................................................ 55

La matrice trasposta ................................................................................................................................ 57

Il determinante di una matrice quadrata .................................................................................................... 58

Matrice quadrata di ordine 1 .................................................................................................................. 58

Matrice quadrata di ordine 2 .................................................................................................................. 58

Matrice quadrata di ordine 3 .................................................................................................................. 59

Matrice quadrata di ordine superiore a 3 ............................................................................................... 60

Proprietà dei determinanti ...................................................................................................................... 60

Determinante e dipendenza lineare di vettori ........................................................................................ 61

Matrice inversa ............................................................................................................................................ 61

Verifica invertibilità di una matrice ......................................................................................................... 62

Calcolo degli elementi della matrice inversa ........................................................................................... 62

Proprietà delle matrici inverse ................................................................................................................ 62

Lezione 13 – Rango, applicazioni ai sistemi lineari .......................................................................................... 63

Rango di una matrice ................................................................................................................................... 63

Determinazione del rango di una matrice ............................................................................................... 63

Rango e indipendenza lineare di vettori.................................................................................................. 64

I sistem