Matematica - Geometria Analitica

LA RETTA

GEOMETRIA ANALITICA

EQUAZIONE DI UNA GENERICA RETTA

VERITCALE

NON VERTICALE

X = k

y = mx + q

NB 1. RETTE ORIZZONTALI m se 0 → y = q

NB 2. PASSANTI PER ORIGINE q = 0 → y = mx

RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA

y = -¹/₂ x + 2

• x
• 0
• 2

• y
• 2
• 1

LA RETTA

GEOMETRIA ANALITICA

EQAUZIONE DI UNA GENERICA RETTA

VERTICALE

X = k

NON VERTICALE

y = mX + q

m = coeff. ang. (pendenza)

q = term. noto (intercetta)

NB. 1 RETTE ORIZZONTALI m=0 → y=q

NB. 2 PASSANTI PER L'ORIGINE q=0 →

y = mX

RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA

y = -¹/₂x + 2

DET. EQUAZIONE DELLA RETTA

DUE CASI:

1. QUANDO È NOTO COEFF. ANGOLARE _M E UN PUNTO DI PASSAGGIO
2. QUANDO SONO NOTI 2 PUNTI DI PASSAGGIO

1. TROVARE EQ RETTA PASSANTE PER (0,2) CON M= 1/2

   y = ^ax/₂ + q

   2 = ¹/₂ (0) + q → q=2

   y = ¹/₂x + 2

   ~ SOSTITUISCO IN NELL’EQUAZIONE

   ~ SOSTITUISCO (x,y) - NELL’EQUAZIONE

2. TROVARE y=mx+q PASSANTE PER (1,1) E (2,3)

   {1 = m(1) + q{3 = m(2) + q {m + q = 1{2m = 3-q → ^(3-q)/₂ → {9 = 1-^3-9/₄ m = 3-q ₂ {9 - (1-q) _1/2 {9 = (2) → ¹/₂ {m = 2

   y = 2x - 1

~ SOSTITUISCO ENTRAMBE I PUNTI. CREANDO UN SISTEMA IN 2 INCONITE

NB: m = ^{y_B - y_A}/_{x2 - xA} PER CIO’ m= ^Δy/_Δx E POI y_A = ^Δy/_Δx X_A + q E TROVO q

Rette parallele e perpendicolari

Premessa

• Piano: parallele; incidenti; perpendicolari; non perpendicolari
• Spazio: complanari; non complanari (solo piani in comune o paralleli)

Domanda: È vero che se due rette non hanno punti in comune sono parallele?

• Nel piano
• No, nello spazio (potrebbero essere sghembe)

Parallelismo

Due rette sono parallele quando i coefficienti angolari sono uguali:

• m₁ = m₂

Esempio: Dire se tra le seguenti rette ci sono coppie di parallele:

• y = 3x + 2
• y = ¹/₃x + 2
• y = 3x + 2
• x + 3y - 4 = 0 → y = ^{-x + 4}/₃

Perpendicolarità

m₁ = -¹/_m2

• NB: Si può fare la stessa dimostrazione anche senza passaggio dall'origine.

Esempio: Quali sono perpendicolari?

• y = -7x + 5
• y = -5x + 7 y = ¹/₇x - 5
• y = -¹/₅x + 7

Esercizio: Trovare ⊥ a y = ¹/₂x + 1 e passante per (1, 1)

• y = mx + q
• m:¹/₂
• y = 2x + q; (1)= 2(1) + q → y + q = -1
• y = 2x - 1

Osservazione: 2 rette ⊥ ad una terza, sono tra loro parallele

Distanza punto retta ed intersezione tra rette

Intersezione tra rette

Sist. determinato soluzioni P(x, y)Sist. impossibile rette paralleleSist. indeterminato le rette coincidono

Esercizio 1

Dire se y = x - 1 e y = -1/2 + 2 si incrociano e trovare P

• y = x - 1
• y = -x/2 + 2
• { y = x - 1
• { x = 2
• { y = 1
• P(2, -1)

Distanza punto retta

d = | y₁ - mx₀ - q |√1+m²

Esercizio 3

Calcolare distanza P(-2,2) dalla retta y=x+2

d = | -2 - 1(2) - 2 |√1 + 1²

6 = 12 = 2/2 = √2 √2 √2 √2

Fasci di rette

Fascio improprio di rette:

Insieme di tutte le rette di un piano tra loro parallele.

y = mx + q (q fisso, m variabile)

Per il fascio di rette verticali:

x = k

Esercizio 1: Scrivere eq. fascio di rette // a y = 2x + 1

y = 2x + q

Fascio proprio di rette:

Insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto detto centro del fascio.