Matematica - Geometria Analitica

LA RETTA

GEOMETRIA ANALITICA

EQUAZIONE DI UNA GENERICA RETTA

VERTICALE

NON VERTICALE

• NB 1: RETTE ORIZZONTALI m = 0 ➔ y = q
• NB 2: PASSANTI PER ORIGINE q = 0 ➔ y = mx

RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA

Det. equazione della retta

Due casi:

1. quando è noto coeff. angolare e un punto di passaggio
2. quando sono noti 2 punti di passaggio

1. Trovare eq. retta passante per (0,2) con m = ¹/₂

   2 = ¹/₂(0) + q ⇒ q = 2

   y = ¹/₂x + 2

2. Sostituisco m nell'equazione

   Trovare y = mx + q passante per (1,1) e (2,3)

   ¹/_a = m(1) + q

   3 = m(2) + q

   ^{m + q = 1}/_{3 = 2m + q}

   m = ^3-2q/₂

   {2q-1-q} = -1

   q = ²/₁

   m = 2

   y = 2x - 1

Sostituisco entrambi i punti, creando a sistema in 2 incognite

NB: ^m/_AB = ^{y_B - y_A}/_{xB - xA}

m = ^Δy/_Δx

y_A = ^Δy/_Δxx_A + q e trovo q

FASCI DI RETTE: ESERCIZI

ESERCIZIO 1

DATO IL FASCIO Kx+(2-k)y+2-2k=0, K ∈ R

1. STABILIRE LA NATURA
2. TROVARE RETTA PASSANTE PER P(3,2)
3. r ⊥ a y=2x-1
4. r // ASSE y
5. TROVARE CON DISTANZA DA A(4,2) UGUALE √5

FASCIO PROPRIO

• y=3/2 x - 5/2
• y=-x/2
• x=1

• y=x/1 + 3/1 ∈ y=-2x+1

1) TROVO GENERATRICI

P(3,7)

y=-1/2 x

K(X + (2-2)y + 2 - 2(2)y) =0

5) d₁ = |ax⁰+by⁰+c| / √(a²+b²)

d: |4k+(2-k)(-y)+2-2k|/3

K x + (2-k)y +2 - 2k=0

y

PARABOLA: ESERCIZI

ESERCIZIO 1: TROVARE LA PARABOLA CON ASSE SIMM. Y E PASSANTE PER A(0,1), B(1,0), C(3,-3)

y = ax² + bx + c

A → 0 = 25a + 5b + c

B → 0 = a + b + c

C → 3 = 9a + 3b + c

a = ³/₂

b = -_a/²

c = ¹⁵/₄

ESERCIZIO 2: TROVARE PARABOLA DI V(⁵/₂; a/ ₁) E F(5/2; i)

y = ax² + bx + c

-b / 2a = ⁵/₂

b = ⁵/₂x

c = -4

1 - 6 + 4a = 2

-1 - 6 + 4a = -2 → a = -1

y = -x² + 5x - 4

ESERCIZIO 3: TROVARE PARABOLA PASSANTE PER A(-2,-1) E B(3,-6) AVENTE V SU y = x + 1

y = ax² + bx + c

a = -1

b = 5

c = -11

y = -x² + 4x - 11

CON V(_x0, y₀)

ESERCIZIO 3: DET. EQ. CIRC. CON C SU y=x-2 PASSANTE PER A(2,0) E B(-2,4)

MOD. 1

PARTO DA x² + y² + ax + by + c = 0 E IMPOSTO SISTEMA PER TROVARE a, b, c

Pass. A

• { a + 2a + c = 0
• ...

Pass. B

• { 4b - 2a + 4b + 2a + c = 0
• ...

-b/2R₁

c = -2/2

y_C

x_C

MOD. n

C

V

Q

...

3a...y=x+12

TROVO C(-2,0) NOTANDO CHE È IL PUNTO DOVE SI INCROCIANO L'ASSE DI AB E LA RETA y=x-2

NOTO CHE CA = R CD = R

R = 4

(x-x_C)² + (y-y_C)²

R = 4

x² + y² + 4x - 12 = 0

Rette Tangenti all'Ellisse

Come trovare l'equazione della tangente?

Rette Tg Condotte da un Punto Esterno

1. Generica retta passante per P(x₀, y₀)

y - y_p = m(x - x_p)

2. Sistema tra ellisse e generica

^x2/_a² + ^y2/_b² = 1 y - y_p = m(x - x_p)

3. Impondo Δ = 0 e svolgendo i conti trovo valori di m da sostituire al punto 1.

Esempio 1: tangenti a 2x² + y² = 1 condotte da P(4, 1)

y - 1 = m(x - 1)

          y = mx - m + 1 → 2x + (mx - m + 1) = 1 2x² + y² = 1

 (2 + m²)x² + 2m(-1 - mx) = 2 Δ = 0 → - 4w(m - u) = 0

m_1,2 = 3 y = 4 - x = 3

Retta Tg in un Punto dell'Ellisse

Modo 1: Sistema e Δ = 0 (metodo già usato)

Modo 2: Formula di sdoppiamento La retta tangente all'ellisse ^x2/_a² + ^y2/_b² = 1 in un punto P(x₀, y₀) ha eq:

  ^X/_a² + ^Y/_b² = 1

Esempio 2: trovare eq. della Tg a (2 + y²)^1⁄22/-3

x₁² + y₂² = 1 → y = -³/₄h = ±^{27 - x} P(x, - ³/₂)

^X/₁₆ + ^Y/₉ = 1, y = ^-3/_hx + ^3h

Ip. Equilatera

Se in un'iperbole a = b gli asintoti sono perpendicolari, l'ip. è detta equilatera.

In questo caso è utile indicare gli asintoti come assi cartesiani per semplificare. Si parla di iperbole equilatera riferita agli asintoti.

XY = k con k>0    XY = k con k<0

V₁(√k; √k)    V₂(-√k; -√k)     V₁(√-k; -√-k)    V₂(-√-k; √-k) F₁(√2k; √2k)    F₂(-√2k; -√2k)    F₁(√-2k; -√2k)    F₂(-√-2k; √-2k)

Esercizio

Det. eq. dell'ip. equilatera riferita agli asintoti, passante per (2, 8) e trovarne fuochi e vertici.

XY = k   [Imponendo passaggio per (2, 8) → 28 = k ] → k = 16

k>0 → V₁(√16; √16)    V₂(-√16; -√16)

F₁(√32; √32)    F₂(-√32; -√32)

È possibile traslare anche le ip. equilatera.