Formulario Istituzioni di matematica

Distanza 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

• ∈ ⟨ ⟩ ∥ ∥∥ ∥

θ π] θ.

Se [0, è l’angolo formato da u e v , allora u , v = u v cos

⃗ ⃗

⟨ ⟩

u , v

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

• di u su v : è il vettore P ( u

) = v .

Proiezione ortogonale ⃗

v ⃗ 2

∥ ∥

v

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

• ⊥ ⇐⇒ ⟨ ⟩

u v u , v = 0.

Ortogonalità: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

• ∥ ⇐⇒ ∈

u v u = t v per qualche t

Parallelismo: R.

⃗ ⃗

• di u = (u , u , u ) e v = (v , v , v ):

Prodotto vettoriale x y z x y z

ȷ̂

ı̂ k̂ u u u u u u

ȷ̂

y z x z x y

⃗ ⃗

∧ − − − −

u v = = ı̂ + k̂ = (u v u v , u v u v , u v u v ).

u u u y z z y z x x z x y y x

x y z v v v v v v

y z x z x y

v v v

x y z

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

• ∈ ∥ ∧ ∥ ∥ ∥∥ ∥ ∧

θ π), θ

Se u e v non sono paralleli e formano un (0, allora u v = u v sin . Il modulo di u v

angolo ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

∧

misura perciò come l’area del parallelogrammo generato da u e v . Inoltre, la direzione di u v è perpendicolare

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

∧ ∧

al piano generato da u e v , e il verso di u v è quello per cui (

u , v , u v ) è una terna destrorsa.

2 Geometria analitica ⃗

• Forma parametrica della retta r passante per Q = (x , y , z ) e diretta come v = (v , v , v ):

x y z

0 0 0  x = x + tv

0 x





⃗

∈ ⇐⇒ ∈ ⇐⇒ ∈

P = (x, y, z) r P = Q + t v , t r : (t

y = y + tv

R R)

0 y

 z = z + tv

 0 z

⃗ ⃗

• π

Forma parametrica del piano passante per Q = (x , y , z ) e generato da u = (u , u , u ) e v = (v , v , v ):

0 0 0 x y z x y z

 x = x + tu + sv

0 x x





⃗ ⃗

∈ ⇐⇒ ∈ ⇐⇒ ∈

π π

P = (x, y, z) P = Q + t u + s

v , t, s : (t, s

y = y + tu + sv

R R)

0 y y

 z = z + tu + sv

 0 z z

1 ⃗

• π

Forma cartesiana del piano passante per Q = (x , y , z ) e perpendicolare a n = (a, b, c):

0 0 0

⃗

∈ ⇐⇒ − · ⇐⇒

π π

P = (x, y, z) (P Q) n = 0 : ax + by + cz = d, d = ax + by + cz

0 0 0

• π

Distanza tra il punto Q = (x , y , z ) e il piano : ax + by + cz = d:

0 0 0 |ax −

+ by + cz d|

0 0 0

√

π)

d(Q, = 2 2 2

a + b + c

3 Algebra lineare

m,n n

• ∈ ∈ ∈

Data una matrice A con m righe e n colonne: [A] è l’elemento sulla riga i e colonna j; A

R R R

ij i

j m

∈

rappresenta la riga i-sima; A rappresenta la colonna j-sima.

R m,n

• ∈

ρ(A) di una matrice A : numero di pivot di una qualsiasi matrice ridotta a scala equivalente a A

Rango R ≤

ρ(A)

(per esempio, ottenuta mediante eliminazione di Gauss). In generale, min{m, n}.

m,k k,n m,n

• ∈ ∈ ∈

se A e B , allora AB è definita da

Prodotto di matrici: R R R

k

X

j

[AB] = A B = A B .

ℓj

ij i iℓ

ℓ=1

−1 −1 −1

= B A

Se A, B sono invertibili, allora AB è invertibile è (AB) . ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤

⊤ ⊤

m,n n,m

• ∈ ∈

se A allora A è tale che [A ] = A . Inoltre (A + B) = A + B e (AB) = B A .

Trasposizione: R R ij ji

• Sistema lineare di m equazioni in n incognite:

 a x + a x + ... + a x = b

11 1 12 2 1n n 1







 a x + a x + ... + a x = b

 21 1 22 2 2n n 2

 ⇐⇒ AX = B,

..

.









 a x + a x + ... + a x = b

 m1 1 m2 2 mn n m

m,n n,1

∈ ∈

dove A = (a ) è la matrice dei coefficienti, X = (x ) è la colonna delle incognite e

R R

ij 1≤i≤m j 1≤j≤n

1≤j≤n

m,1

∈

B = (b ) è la colonna dei termini noti.

R

i 1≤i≤m m,n m,1

• ∈ ∈

Siano A e B rispettivamente la matrice dei coefficienti e quella

Teorema di Rouché-Capelli. R R

m,n+1

∈

dei termini noti di un sistema lineare. Sia A|B la matrice completa del sistema.

R

ρ(A) ρ(A|B).

1. Il sistema è compatibile se e solo se = − ρ(A)

2. Se il sistema è compatibile, allora le soluzioni dipendono da n parametri liberi.

n,n

• ∈

di A sviluppato lungo la riga i-sima:

Formula di Laplace per il determinante R

n

X i+j cij

det A = (−1) a det(A ),

ij

j=1

cij n−1,n−1

∈

dove A è la sottomatrice di A ottenuta sopprimendo la riga i-sima e la colonna j-sima.

R n,n

• ∈ ∈

α

se e A, B , con A invertibile,

Proprietà del determinante: R R 1 ⊤

−1

n

λ

det(λA) = det(A), det(AB) = det(A) det(B), det(A ) = , det(B ) = det(B).

det(A)

n,n

• ∈ ⇐⇒ ⇐⇒ ̸

ρ(A)

A è invertibile = n det(A) = 0.

Test di invertibilità. R i+j cji

(−1) det(A )

−1

n,n

• ∈ .

Formula di Laplace per la matrice inversa di A : [A ] =

R ij det(A) −1

n,n

• ∈ ⇝

Se A è invertibile e (A|I) (I|B) mediante metodo di eliminazione di Gauss, allora B = A .

R 2

n,n n,1

• ∈ ∈

Siano A e B rispettivamente la matrice dei coefficienti e quella dei termini

Teorema di Cramer. R R ̸

noti di un sistema lineare quadrato AX = B. Il sistema ha soluzione unica se e solo se det A = 0. Le soluzioni

sono date dalla formula di Cramer: i→B

det(A )

X = , i = 1, ... , n.

i det(A)

4 Funzioni elementari 2 2

4 1 1

2

x

2 4

x −1 −1

−2 −2

1 1

2 2

6

x 3

x

−1 −1 √

5 x

x √

7 3

x x

−2

−2 −2

2

n n 1/n

∈ ∈ ∈

f(x) = x , n pari f(x) = x , n dispari f(x) = x , n

N N N

+ +

2

2

4 1

x

e

2 x

(1/2)

1 1 2 3

−2 2 −1

−2 1/x log(x)

2

1/x −1

−2 1 2 log (x)

−4 1/2

−2

n x

∈ ̸

>

f(x) = 1/x , n f(x) = a , a 0, a = 1 f(x) = log (x)

N

+ a

2

sin x >

m 0

π

cos x <

m 0

2

1 1

−1

−2 1 2

π

π π π

π −π −

32 3

3 2π − π π

π 2 2

2 2

2 −1

−1 tan x

π

− 2 arctan x −2

f(x) = mx

5 Regole di derivazione

r r−1 ∈ −

Dx = rx (r D sin x = cos x, D cos x = sin x,

R), 1 1

x x 2

|x|

De = e , D log = , D tan x = = 1 + tan (x).

2

x cos (x)

• ∈

λ, µ µg(x)) λDf(x) µDg(x).

Linearità della derivazione: per ogni D(λf(x) + = +

R, ′ ′

• Derivata della funzione prodotto: D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x).

3

′ ′

−

f(x) f (x)g(x) f(x)g (x)

• Derivata della funzione rapporto: D = .

2

g(x) g(x)

′ ′

• Derivata della funzione composta: D(f(g(x)) = f (g(x))g (x).

6 Limiti notevoli, derivabilità α

x

− − −

1

sin x 1 cos x log(1 + x) e 1 (1 + x) 1 ̸

α

=

lim = 1, lim , lim = 1, lim = 1, lim = (α = 0)

2

x x 2 x x x

x→0 x→0 x→0 x→0 x→0

x r

x a x

a

a ∈ ∈ > > >

= e (a lim = +∞ (r a 1), lim = +∞ (r 0, a 1)

lim 1 + R), R,

r

x x log x

x→+∞ x→+∞

x→±∞ a

• sotto opportune ipotesi,

Simboli di Landau: f(x) f(x)

∼ → →

ξ ξ

f g per x significa lim per x significa lim

=1 f = o(g) = 0.

g(x) g(x)

x→ξ x→ξ

∼ → →

ξ, ξ.

Se f g per x allora f = g + o(g) per x ′

• − .

al grafico di f (derivabile) in x : y = f(x ) + f (x )(x x )

Retta tangente 0 0 0 0

• |g(x)|

sotto opportune ipotesi, se lim f(x) = lim g(x) = 0 oppure lim =

Teorema di L’Hôpital: (±) (±) (±)

x→ξ x→ξ x→ξ

′ f(x)

f (x) ∈

ℓ ℓ.

allora lim

= =

+∞, e se esiste lim R,

′

g (x) g(x)

(±)

(±) x→ξ

x→ξ n

2 D f(ξ)

D f(ξ) 2 n

− −

• − ξ) ξ)

ξ: ξ)

:= (x + ... + (x .

di grado n di f centrato in T [f](x) f(ξ) + Df(ξ)(x +

Polinomio di Taylor n 2 n!

Si tratta dell’unico polinomio di grado n che soddisfa n

− →

ξ) ξ.

f(x) = T [f](x) + o(x , x

n

7 Regole di integrazione

r+1

Z Z Z

x 1

r x x

̸ |x|

x dx = + c (r = 1), dx = log + c, e dx = e + c

r +1 x

Z Z Z 1

−

cos x dx = sin x + c, sin x dx = cos x + c dx = arctan x + c

2

1 + x

• →

Sia f : [a, b] una funzione integrabile e sia G una qualsiasi primitiva

Teorema fondamentale del calcolo. R

di f su [a, b]. Allora b

Z ba −

f(t) dt = [G(t)] = G(b) G(a).

a b

−1 R

• − ∈

µ µ.

di f in [a, b]: = (b a) f(x) dx. Se f è continua, allora esiste c [a, b] tale che f(c) =

Media integrale a b b

R

R

• ≤ ≤ ≤ ≤ g(x) dx.

se f(x) g(x) per a x b allora f(x) dx

Monotonia dell’integrale definito: a

a

R R R

• ∈

λ, µ µg(x))vx λ µ

per ogni (λf(x) + = f(x) dx + g(x) dx.

Linearità dell’integrazione: R, b a

Z Z

b c b

R R R −

• ∈ >

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, con =

per ogni a, b, c se a b.

Additività sugli intervalli: R, a a c a b

′ ′

R R

−

• (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx.

f

Integrazione per parti: ′

R R

• f(φ(x))φ (x) dx = f(u) du.

Integrazione per sostituzione:

• →

di f : (a, b) localmente integrabile:

Integrale improprio R

b c x

Z Z Z

ℓ ℓ ℓ ℓ

f(x) dx = + , dove = lim f(t) dt, = lim f(t) dt.

a,c c,b a,c c,b

+ −

x→a x→b

a x c

b

Z 2

• πf(x)