Matematica generale - parte 6

CAPITOLO 1 - ALGEBRA LINEARE

Spazio a n dimensioni

^{IRm = IR×IR×...×IR} (m volte)

Gli elementi di IR^m sono detti VETTORI

x⃗ ∈ IR^m

_x⃗ = (x₁, x₂, ..., x_m)

x_i ∈ IR

vettore x⃗ — Matricciato da n numeri reali distinti

m-pla di numeri reali ordinati

IR²

x⃗ ∈ IR²

_x⃗ = (x₁, x₂)

assi cartesiane

x⃗ = (1, 3)

y⃗ = (-1, -1)

IR³

x⃗ ∈ IR³

_x⃗ = (x₁, x₂, x₃)

_x⃗ = (4, 2, 1)

VETTORI IDENTICI

Siano x⃗ e y⃗ ∈ IR^m diciamo che x⃗ = y⃗ se x_i = y_i, ∀i, 1 ≤ i ≤ n

esempio

x⃗ = (1, 1, 0, 1) ≠ y⃗ = (0, 1, 1, 1)

OPERAZIONI CON I VETTORI

Moltiplicazione di un vettore per una scalare D è un numero

Dato x⃗ ∈ IR^m e d ∈ IR si dice prodotto di d · x⃗ il vettore ottenuto moltiplicando tutte le componenti di x⃗ per d

x⃗ = (x₁, x₂, ..., x_n)

d · x⃗ = (dx₁, dx₂, ..., dx_m)

CAPITOLO 1 – ALGEBRA LINEARE

Spazio a n dimensioni

Gli elementi di IR^m sono detti vettori:

x ∈ IR^m

x = (x₁, x₂, ..., x_m)

Vettore a n-tuple di numeri reali ordinati

IR²

x ∈ IR²

x = (x₁, x₂)

Assi coordinati

IR³

x ∈ IR³

x = (x₁, x₂, x₃)

x = (4, 2, 1)

Vettori identici

Siano x e y ∈ IR^m diciamo che x = y se x_i= y_i, ∀i = 1, ..., m

Esempio x = (1, 4, 1) ≠ y = (0, 4, 4, 1)

Operazioni con i vettori

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare è un numero.

Dato x ∈ IRⁿ e d ∈ IR si dice prodotto di d il vettore ottenuto moltiplicando tutte le componenti di x per d.

x = (x₁, x₂, ... x_m)

d ∙ x = (dx₁, dx₂, ..., dx_m)

Somma tra due vettori

Det X e Y R^m

x+y: (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m)

x = (1,2)

y = (1,2,1)

x+y = (3,3)

Proprietà del prodotto per uno scalare

• c(x+y) = cx+cy
• (a+b)X c = aX c + bX c
• c(1x) = cX 1x+ 1
• d(x+y) = dX 1x+ cX d

Proprietà della somma tra vettori

• Distributiva
• Associativa

• x (x+y) = x(x+y+y) = y(x+y+y) = z(x+y+y)
• y (x+y) = (y+x) + y = x+(y+y)

Comprensione lineare

Det x,y...m R^m di vettori c₁e...c_m

Una combinazione lineare dei vettori è un'assone di coordenate scalari dei vettori

Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

Dei n piu vettore di R^m si dicono linearmente che da come risultato lo sistem nulla e quello di soluzioni tutti nulli

• V₂ (1,0,0,0)
• V₃ (0,0,1,0)

c₁= 4

c₄= 3

(V₃)

Esempio

• V₁ (0,3,2) c₃=1
• V₂ (1,2,1,0) c=2
• V₃ (0,0,0)

L’uso del vettore per ottenere nuove combinazioni lineari degli altri.

Se in ℝⁿ m ≤ n vettori linearmente indipendenti → tutti vettori costruiscono una base di ℝⁿ.

Ogni altro vettore di ℝⁿ si può ottenere come combinazione lineare con per coefficienti degli m vettori dati.

MATRICI

Una matrice è una tabella di numeri reali, disposti secondo un angolo con n colonne e m righe.

A(mxn) a_ij

Sommandoti il concetto di matrice generare le matrice (nxn).

OPERAZIONI con le MATRICI (mXn)

PRODOTTO per uno scalare

Date le famose, riscalare k ∈ ℝ.

a_ij.

Somme tra matriciDate A(gxn) e B (mxm)a_ij.

Dato A(gxm) (0 1)(2 4 1) (2 4 [4])

(mxm) (1 2)

c_ij.

Osservazione il prodotto righe e colonne non soffre la legge di

a_ij

B = (0.4) (1.1) - 1 - 2

(mxm). l risulta quasi qua.

Le due sparazioni si possono fare risulta qua, B= A.

Prodotto righe e colonne Date le famose A eA(gxm) (mxm)mvesse B= due (le a_ij spaziocosi la legge

MATRICE TRASPOSTA

Risposte delle matrici maripari

1. (A^-1)^TA
2. (B^-1)^-1(B^-1)^T
3. (α,I_m)²αI_m
4. (A, B)² = B^-1 A^-1

Matrice rettangolare (mxn) o quadrato quadrato

1. Matrice identità

I_n = I_n V i=j

I_n = 1 V i=j

I_n = 0 V i≠j,

A_i=I V i=1, ..., m

1. Matrice diagonale

A_i=0 V i≠j,

A_i=0 V i≠i, j=1, ..., m

1. Matrice triangolare
1. Matrice antisimmetrica

A_i=0

• Determinante di Ai

Laplace a_i

Determinante

|A| = 0 - A₁₃ + 0 - 5 A₃₃ + 0 = -4

A =

• 7 2 0 0
• 2 0 6 2
• 0 0 1 -3
• 0 2 2 0

A₁₃ =

• 2 0 6
• 0 2 2
• 0 2 0

Det = (-8) ( |-3 - 6| + 4 x (2 x 3 x 2 - 8

= (-3) + 2 ( 0 - 1 - (2)

Disposizione dei determinanti

1. Se A_ij è il totale di una sua riga o colonna è tutto costituito da elementi null => |A| = 0
2. Determinante di una matrice che ha due righe o colonne uguali = 0
3. Il determinante di una matrice che ha due righe o colonne uguali A è inversabile se e solo Se (A è una superiezione) ...
4. |A| = det A
5. Teorema di Krout

Matrice inversa

Una matrice (uongo) di inversibile se

A^m = |A|³

Condizione inversibilità

C.N.S. perchè A^-1 esiste e quindi esiste una B tale che A^-1 = B^-1 = A_mn

Calcolo di A^-1

Se B = |A| ≠ 0

B

1. Inversa aggiunta di A (B₂₀) no deve determinare complementi aggiunti di A^-1
2. A^-1 ≠ A (questo vale anche per il fitness can nullo e

EQUAZIONI LINEARI

a₁ x₁ + a₂ x₂ + ... + a_n x_m = b

si scambiano il valore di una dell'altra.

x₁ + 2x₂ + x₃

+ 2x₁ + 3x₂ +2

+ x₁ - x₂ + 2x₃

aiutano aiutarle in rotazione che / attraverso due variabili r realizzato è linea

IN GENERALE un'equazione lineare in n variabili attraverso n^m può essere lineare in paramero.

SISTEMI LINEARI

n₁ equre

a₁1^x1 + a₁2^x2 + | a₁m^xm = b₁

a₂1^x1 + a₂2^x2 + | a₂m^xm = b₂

m

a_m1^x1 + a_m2^x2 + | a_mm^xm = b_m

re note

a₁ x₁ + a₂ x_m (x_m) = b₂

-x - y + x = 0

+ x -2x + y

x - 2x - 1

vetore matrice scriva a m orete

X₁ x₁ x₂ x₃

x_m x_m b_e

(m-1)

A _x B

Risoluzione dei sistemi

a) Sistema m < n -> no delle equazioni è inferiore rispetto al numero delle incognite

CNS: affinché un sistema m in equazioni e n incognite sia risolubile è necessario che _r(A)=r(B)

la soluzione del sistema si trova all'interno di un piano passante per l'origine. Ogni vettore rappresentante una delle soluzioni è un vettore della retta.

Esempio

2x₁ + x₂ = 3

x₁ + x₂ = 3

x₂ = 0

• A = ²|₁  -1| |-2
•     |1    | |0
• 3 è una soluzione come numero di equazioni minimo

Osservazione: A*Y= B (A) ≠ 0 -> B

b) Sistema (m r(B) non è risolvibile

Se A = 0, b c _r(A)=r(B) e un tal caso il sistema ammette una sola soluzione

Esercizio

2x + y - z + t = 2-x + 2t = 0y + 2z = -2y + zt = 2

A =

²/₁ ¹/₁ ^-1/₁ ⁰/₁^-1/₀ ⁰/₂ ⁰/₂ ¹/₀⁰/₀ ²/₂ ¹/₁ ¹/₁

0 0 2 0

2x + y - z + t = 4x = -2 y + 2z = 2

¹/₁ ^-1/_-1

Esercizio

3x - 4y + z = 4x + y = 05x + y + t = 1

Det. Capelli

³/₁ ^-4/₄ 4 0

2

Rango(A) = rango(AB)

A = Teorema(K¹/sub> cap

0⁰/sub>

Rango(A) = rango(A¹/sub>¹/₁)

Esempio

• V₁: (2, 1, 0)
• V₂: (0, 4, 1)
• V₃: (1, 3, 2)
• xV₁+ yV₂+ zV₃ = 0

_1 2 x _4 3 y _0 1 z

y

• ₁ -1 0

Rango (A) = 2, Rango (A|b) = 2

_x-z=0

_2-y=0

_y-z=z

2 altri cambiamenti che oltre quello sulle colonne sono equivale a totali e disparità nulla.

Sistemi parametrici

Se A e/o su B, dipenderà dal parametro (k).

• Tipo ^A(pm-1), B(mm-n)
• A|B|(mm/n)

Calcolare il det (A|B) = funzione del parametro k

Se det (A|B) = 0, r(A|B) < n, ed è dipendente;

• Rango (A) = rango (A, B)

All'infuori del rank complessivo del paragone in pari valore di k, perché tale a valore.

y=0

x+2y=0

x+y=0

x=0

y=0

x+2y=2z=0

2x+4y+4z=0

x+y=0

3x-y-6z=0

x+2y-3z=0

x+y=0

-6 + 1 + 2 = -5

-3 - 17 + 32

17+32

15+

51

x=

so x

0

y

24x

4

x+y=2z=0

2x+4y+4z=2

x

det

-3x-y+3z

2x+4y=2z=2

x

9(A)=2

so x

(0,0,2)

2x+4y+4z=0

x+y

x

0

2x+4y

(0,0,2)

24x

x+2y

x+y

det

9(A)=2

3x-y=6z=0

x+2y=2z=0

x+y

x+2y-z

det

f: ACR

s=CR

x

funzione lineare

domino matematico

funzione lineare

x+k

fecfinità

k

funzione di una variabie

xk

0

ab

Funzione di due variabili di 2° grado

Polinomio omogeneo di 2° grado

f(x₁, x₂) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂²

Forma quadratica

(a₁₁, a₁₂)

Se |M| > 0 e a₁₁ > 0

Paraboloide

SEMI DEFINITA POSITIVA

Se |M| = 0 e a₁₁, a₁₂ > 0

SEMI DEFINITA NEGATIVA

Se |M| = 0 e a₁₁, a₁₂ < 0

|M| < 0

Dominio funzioni in due variabili

g(x₁, x₂) = 2x₁ - x₂ + 3

Dominio {(x₁, x₂) | 2x₁ - x₂ + 3 ≥ 0}

2x₁ - x₂ + 3 = 0

x₂ = 2x₁ + 3

g(x₁, x₂) = x₁² - 2x₁x₂

Dominio {(x₁, x₂) | x₂ > 0}

x₂ = -x₁

g(x₁, x₂) = ln(x₁ - x₁² + 3x₁)

Dominio {(x₁, x₂) | x₁ - x₁² + 3x₁ > 0}

x₂ > x₁² - 3x₁

Derivate parziali

g(x₁, x₂) Ad Dominio Df

Si dice che g è derivata parzialmente rispetto ad x₂ se

lim Δx₂ → 0 Δx₂ / D(x₁, x₂ + Δx₂) lim Δx₂ / Δx₂

Si dice che g è derivata parzialmente rispetto ad se lim Δx₁ → 0 Df(D(f, Δx₁ + Δx₁ - D(, Δx₁)

lim Δx₁ / Δx₁