Matematica generale - parte 6

CAPITOLO 1 - ALGEBRA LINEARE

spazio a m dimensioni R^m = R × R × ... × R gli elementi di R^m sono detti VETTORI

x ∈ R^m ⇔ x = (x₁, x₂, ..., x_n)

x = m-pla di numeri reali ordinati

R²

• x ∈ R²
• x = (x₁, x₂)

R³

• x ∈ R³
• x = (x₁, x₂, x₃)
• x = (1,2,1)

VETTORI IDENTICI

Siano x e y ∈ R^m diciamo che x = y se x_i = y_i, ∀ i = 1, ..., m

ESEMPIO x = (1, -1, 0, 1) ≠ y = (0, 1, 1, 1) sono diversi

OPERAZIONI CON I VETTORI

Moltiplicazione di un vettore per una scalare a un numero

Dato z ∈ R^m e d ∈ R si dice prodotto di z di d il vettore ottenuto moltiplicando tutte le componenti di z per d

z = (x₁, x₂, ..., x_n) d * z = (dx₁, dx₂, dx_m)

Prodotto del prodotto per uno scalare

• c(a∙x) = (c∙a)∙x
• (a+b)∙x = a∙x+b∙x
• d(a∙x) = a∙(d∙x)

Proprietà della somma tra vettori

• Commutativa: x+y = y+x
• Associativa: (x+y)+u = x+(y+u)
• Esistenza del neutro: ∃0∈Rm tale che ∀x∈Rm x+0 = x
• U = z z-u = (x-y)2

Rm è uno spazio vettoriale

Combinazione Lineare

Se x, y, z ∈ Rm, ci sono relazioni a1, a2, ..., am, in... e c'è una combinazione lineare del vettori x, y, ... così per cn il vettore z ∈ Rm n e l'...

Esempio

• v1 = (0, 2, 3) C1 = 1 (0, 4, 3, 2)
• v2 = (1, -2, 0, 1) C2 = 2 (-2, 4, 0, 2)
• v3 = (3, 1, 1, 0) (2, 0, 4, 2)
• v4 = (2, 2, 4, 3) (1, 1, 3, 2)

Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

Se ci sono vettori _c che sono linearmente dipendenti è l'unica combinazione lineare che dà come risultato il vettore nulla e quella in coefficienti tutti nulla.

• a₁₁; a₁₂; a₁₃; 1 x x ... (m=righe)
  • a₁₂; a₂₂; a₂₃; 1
  • a₃₁; a₃₂; a₃₃; |det(A) = Adeterminante 10
  • a₁₁; a₂₂; a₂₃; 0
  • a₃₁; a₂₂; a₂₃; 1
• a₃; a₃₂; a₃₃; -3
• a₂₁; a₂₂; a₂₂; 0
  • a₃₁; 3; 9; 8; (5-5)C1; C1(a₁ ...)

EQUAZIONI LINEARI

• a₁₁ x1; a₁₂ x₂; a_m x_m

1 o più variabili, infine di numero detto di assidue, inoltre. Vedi sopra se quando quel (es. 1) è variabile si definisce ad es. 2 misure. Sono le seguenti: x₁ + x₂ = 1 x₂-x=2

Ogni operazione fa uno dei risultati seguenti: (o + (e simili) scritto) e i due si congiungono a calcolo al 50% delle risate.

Stessa definizione che individua che i tre assi (i punti delle rette, (i) relazioni che possono (es. punti sopra o più spessi x₁ + x₂ = 1) es. più radici e base). 1 diseguazione numerata sono risoluzioni.

IN GENERALE: un'equazione lineare è un numero assunto dal tro venture, (es. fetiorao).

SISTEMI LINEARI

• Si rileva
  • a₁₁ x₁ + a₂₁ x₂ + ... + a_1m x_m = b₁
  • a₁₁ x₂ + a₂₁ x + ... + a_2m x_m = b₂
  • a_m1 x_m = a_m2 x_m ... + a_mm x_m = b_m

Be note

• a_m x₁ + a_nm x_n - b₁ =
  • a_mn
  • a_mn

* Soluzione

* Soluzioni; cambio Cu

Sistemi blindassi; combinazione lineare di achium

• (x₁, x₃, x_m)
• La sovretta na segna del pise (coefgio, fe veior) per quale r-risultato è il vetore B. al post della calcolazione lineare faulle di che (collocata altsu sono) le distribuite ai antichi colonne domme n'este vitech B.

Monore lampbeta

• A
  • (a₃₁, a₁₂^r, a_m1)
  • (a₁₂, a₂₃^r)

• (xx₀₀0a)ⁿ¹ X
  • (a_n2)

(mg = non) x est(quatt)

(mg = m)

A·X = B (cm)=1 (m=cl)

Funzioni Due Variabili e di Secondo Grado

Quadrica

Ax₁² + 2A₁₂x₁x₂ + A₂x₂²

• a₁₁ = a₂₂
• a₁₁ ≠ 0 o a₂₂ ≠ 0

Forma canonica

Paraboloide

• Se |H| ≠ 0 o a₁₁ + a₂₂ > 0
• Semi definita positiva
• Se |H| ≠ 0 o a₁₁ + a₂₂ < 0
• Semi definita negativa
• |H| < 0

Derivate Funzioni Su Due Variabili

• g(x₁, x₂) = 2x₁ - x₂ + 3
• Dominio: {(x₁, x₂) | 2x₁ - x₂ + 3}

Dominio Parziali

g(x₁, x₂) esiste al dominio di f(x₁, x₂)

(i) Dato che g_x1 è derivata parzialmente rispetto ad x₂ e g_{x3 esiste il limite:}

lim_h→0 [f(x₁ + h, x₂) - f(x₁, x₂)] / h

(ii) Dato che g_x1 è derivata parzialmente rispetto ad x₂ e g_{x3 esiste il limite:}

lim_h→0 [f(x₁, x₂ + h) - f(x₁, x₂)] / h