Matematica generale

Grafici deducibili delle iperboli

Consideriamo una funzione del tipo f(x) = (ax + b) / (cx + d). Ecco alcune trasformazioni e proprietà associate a questa funzione:

Traslazioni

• f(x - k): Traslazione verso destra.
• f(x + k): Traslazione verso sinistra.
• f(x) + k: Traslazione verso l'alto.
• f(x) - k: Traslazione verso il basso.

Nota: Gli asintoti della funzione sono dati da x = -d/c e y = a/c.

Simmetrie

• f(-x): Simmetria rispetto all'asse y.
• -f(x): Simmetria rispetto all'asse x.
• |f(x)|: Parte y ≤ 0 con simmetria rispetto all'asse x per la parte y < 0.
• f(|x|): Parte x ≥ 0 con simmetria rispetto all'asse y.

Limiti e definizioni

Punti

• Punto interno: X è punto interno per D se esiste un intorno di X contenuto in D.
• Punto di frontiera: X è punto di frontiera per D se per ogni intorno di X esiste una X appartenente all'intorno e una X all'intorno, ma non a D.
• Punto di accumulazione: X è punto di accumulazione per D se per ogni intorno di X, esiste X appartenente a D e all’intorno, ma diversa da X.

Teorema di unicità del limite

Data una funzione f: D ⊆ R → R, con X punto di accumulazione per D, se f ammette limite per X → X, questo limite è unico. Ciò significa che il limite destro e il limite sinistro coincidono.

• Limite destro: Se per ogni intorno di L all'intorno destro di X, in cui ogni X all'intorno destro di X, intersecato a D, con X diversa da X, si ha che f(x) appartiene all'intorno di L.
• Limite sinistro: Se per ogni intorno di L all'intorno sinistro di X, in cui ogni X all'intorno sinistro di X, intersecato a D, con X diversa da X, si ha che f(x) appartiene all'intorno di L.

Teorema di permanenza del segno

Data una funzione f: D ⊆ R → R, con X punto di accumulazione per D, se il limite per X → X è uguale a L, con L ∈ R* e L > 0, allora esiste un intorno di X in cui f(x) > 0 per ogni X appartenente all'intorno di X, intersecato a D, con X diversa da X.

Punti di discontinuità

Data una funzione f: D ⊆ R → R, con X appartenente a D, f è continua in X se il limite per X → X di f(x) è uguale a f(X). La funzione è continua in tutto D se è continua per ogni X appartenente a D. I punti di discontinuità sono:

• Discontinuità di prima specie: Quando i limiti per X → X e X appartengono a R ma sono diversi.
• Discontinuità di seconda specie: Quando uno dei limiti per X → X e X non esiste o è uguale a ∞.
• Discontinuità di terza specie (eliminabile): Quando il limite per X → X è uguale a L, con L ∈ R, ma L è diverso da f(X).

Teoremi di analisi

Teorema dei valori intermedi

Data una funzione f: D ⊆ R → R, con [a,b] ⊆ D, se f è continua in [a,b], allora f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

Teorema degli zeri

Data una funzione f: D ⊆ R → R, se f è continua in [a,b] e il prodotto tra f(a) e f(b) è < 0, allora esiste un punto c ∈ [a,b] in cui f(c) = 0, cioè f assume il valore 0 in almeno un punto.

Teorema di Weierstrass

Data una funzione f: D ⊆ R → R, con [a,b] ⊆ D, se f è continua in [a,b], allora f ammette in [a,b] massimo e minimo.

Infiniti e infinitesimi

Infinito: Data una funzione f: D ⊆ R → R, con X ∈ R* e punto di accumulazione per D, questa funzione è un infinito per X → X se il limite ...