Matematica generale - parte 5

Studio di Funzioni

Dato: f(x) -> Grafico

1) Ricerca del Dominio

• Indicazioni sulle posizioni del grafico
• Si possono eliminare le tare non comprese nel dominio

Dominio (-%, %+%)

2) Studio del Segno (f(x)≥0) e Intersezioni con Gli Assi

• Dominio (-%, %+%)
• Per f(x)≥0, l +≤0 limx + 3...x ...

f'(x) lim_x→1 = x ³/₄ lim_x→∞ x 0 + ...

f(x)= 1 x + 1 lim_x→0

Formule di integrazione per parti

∫f(x)·g'(x)·dx = [f(x)·g(x)] - ∫f'(x)·g(x)·dx

∫udv = uv - ∫vdu

Funzione derivata primitiva

f F

• d/dxf(x) = f'(x) gu(x) fx - ∫f'(x)·g(x)·dx
• d/dxg(x) = f(x)·g(x) - ∫f(x)·g'(x)·dx - ∫f'(x)·e

Esempi

∫e^xe^x dx = e^xx - e^x - 1 dx = e^xx - e^x - 1 + c

∫(x²+1)e^xdx = e^x(x²+1) - ∫e^x(2x)dx =

• ∫ (x²+1), 2 fe·x·dx
• e^x(x²+1) - 2(e^x - [e^x·e^x·dx] -
• e^x(x²+1) - 2(e·x - e·x) + c,
• e^x(x²+1)x + 2x + x² + x² +x + c

∫(2x+1)e^xdx = e^x(2x+1) fe - 2dx, -e^x(2x+1)e^x·1+c - e^x(2x+1)

Funzioni integrabili per parti

• ∫f(x)·x^x·tdx
• ∫x²exdx

∫₀^tf(x)dx + ∫₀^βf(x)dx + ∫_β^tf(x)dx

L'INTEGRALE IMPROPRIO CONVERGE - Limite a un numero finito

L'INTEGRALE IMPROPRIO DIVERGE - Limite è infinito

lim_ε→0∫_ε² 1/(x-1)² dx

∫ 1/(x-1)² dx = -(x-1)^-2 = - 1/(x-1) +C

∫_ε² 1/(x-1)² dx = -1/(x-1)_ε² = -1/2 + 1/ε

lim 1/ε - 1/2 | 0^-1 = +∞

2^˚ specie

[a,b] è limitato ma f(x) è illimitata su tale intervallo

• (a,+∞) ∫_m^bf(x)dx
• (-∞,b] ∫_a^mf(x)dx
• (-∞,+∞) ∫_a^bf(x)dx

ESEMPIO

∫₀^+∞x e^-x2 dx

∫x e^-x2 dx = 1/2∫-2x e^-x2 dx = -1/2 e^-x2 + C

lim_b→∞-1/2 ∫₀^-b2 + lim_a→0 -1/2 (e^-x2)[0,∞] = 1/2