Matematica generale - parte 5

Studio di funzioni

Dato: g(x) -> Grafico

1) Ricerca del dominio

Informazioni sulla posizione del grafico.

• Dominio (1, +∞)
• Dominio (-∞, 1) ∪ (1, +∞)

2) Studio del segno (g(x) ≥ 0) e intersezione con gli assi

Dominio (1, +∞).

Per x>0 -> 4 + x>3x: questo ti rivela la funzione è positiva. Quindi tra (3, ∞) sono negative:

x + 4 intersezione con gli assi delle x: Intersezione con gli assi:

• ASSE = x -> B(2) - 0
• ASSE delle y calcolare f(0) solo quando 0 è nel dominio della funzione

3) Ricerca asintoti (calcolo dei limiti)

a) Asintoti verticali

Punti di accumulazione per il dominio, se compaiono nel dominio. L. x approccio al limite tende a 0.

b) Asintoti orizzontali

I estranei al dominio e superamento della sopportazione numerica.

• Superamento limite f(x) = 0
• f(x) = cA.D. se il limite (x -> ∞) = 0

c) Asintoti obliqui

Se esistono i limiti cioè quando il grafico di f(x) si avvicina a quella rettag: lineare, y = mx + q.

4) Ricerca dei max e dei min relativi

5) Ricerca dei flessi

- Disegno del grafico -

Dato: f(x) -> Grafico

1. Ricerca del dominio

   Informazioni sulla posizione del grafico.

   • Dominio (4, +∞)
   • Dominio (-∞,0) ∪ (4,+∞)
2. Studio del segno (f(x) ≥0) e intersezioni con gli assi
   • Dominio (4, +∞)
   • Per x>0 -> 4 < x ≤ 3 x4 questo riconduce la funzione è positiva.
   • Questo tra (3,1/2) zona positiva.
   • x + 4 = x, risolve.

   Intersezioni con gli assi delle x

   • ASSE DELLE X ➡ f(x) = 0
   • ASSE DELLE Y ➡ trovatelo (f(a) solo quando 0 e il dominio delle funzioni)
3. Ricerca asintoti (calcolo dei limiti)
   1. Asintoti verticali

      Può si accumulating per dominio, se cercare il al dominio.

      I asintoti verticali ➡ X quando tende a 0.

   2. Asintoti orizzontali

      Il termine e il dominio e semplicemente yg direttamente numerica.

      A.D. se x (x) = 0.

      Specialmente lim x→0 f(x) = Q.

      Specialmente lim x→2 f(x) = 0.

   3. Asintoti obliqui

      1/2 riguardo e tenuti quei il grafico è di Sgn e angolo e è gaudio.

      A.D. se lim →±∞ f(x) = +∞

4. Ricerca dei max e dei min relativi
5. Ricerca dei flessi

Disegno del grafico

Esercizio

S(x) = 3x(x - 1)

Dominio x≥0 (0,10]

S(x)≥0 x(x-1)≥0 x≥0 sempre nel dominio x≥0 ∩ nx-1≥0 x≥2∩ nx-4

Intersezioni asse x (0,0), (0,0) 7 elementi asse y (x al dominio) S'(x) = 2x - 2nx+1nx+4

Calcolo Integrale

Teoria dell'integrazione

Data \(f(x)\) \(F(x)\) è una primitiva di \(f(x)\) se \(F(x)\) è derivabile in \([a,b]\) e risulta \(F'(x) = f(x)\) \(\forall x \in (a,b)\)

Proprietà delle primitive

\(F(x)\), \(G(x)\) è una primitiva di \(f(x)\)

• \(\Rightarrow \forall x \) \(F(x) + C\) è una primitiva di \(f(x)\)
• Si conosce una primitiva di \(f(x)\), se ne possono trovare infinite altre aggiungendo una costante arbitraria

Dimostrazione:

\(\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C\)

\(F'(x) = f(x)\), essendo: \(\frac{d}{dx} [F(x) + C] = F'(x)\)

Dimostrazione:

Se \(G(x)\) è un'altra primitiva di \(f(x)\), \(G(x)\) è derivabile

Può esser scritto come combinazione \(G(x) = F(x) + C\), la derivata è nulla: \(\frac{d}{dx} [F(x) + C - F(x)] = 0\)

Per il 2° corollario di Lagrange \(F(x) - G(x) = C\) anche \(F(x) - G(x)\) resta primitiva fino al bordo che posso trovare in tabulata mediante un sistema di funzioni:

Integrale indefinito

Altra primitiva scritture di \(f(x)\) è unita con \(f'(x) dx\)

Quot mobilitate della primitiva di \(f(x)\) = \(\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C\)

Integrali Immediati

1. ^{∫ xn dx = xn+1 / n+1 + c}
2. ^{∫ eax dx = 1/a eax + c}
3. ^{∫ ax dx = 1/ln(a) ax + c}
4. ^{∫ 1/x dx = ln|x| + c}

Esempi

1. ∫ x dx = 1/2 x² + c
2. ∫ x^3/2 dx = 2/5 x^5/2 + c
3. ∫ x⁴ dx = 1/5 x⁵ + c
4. ∫(2x-1)x³ dx = 1/5 x⁵ - 1/4 x⁴ + c
5. ∫ x^-2 dx = -1/x + c

Proprietà di linearità

∫[αf(x) + βg(x)] dx = α∫f(x) dx + β∫g(x) dx

Note

N.B. Le uniche cosa costante, moltiplicare e dividere per una costante dentro e fuori l'integrale.

∫ e^t + x⁴ dx = 1/2 e^t + 1/5 x⁵ + C

∫ e^x + 2x dx = 1/2 e^x + x² + C

1/2 ∫ xⁿ + 2 dx = 1/2 xⁿ⁺¹ + C

∫ 1/x² + 4x + 1 dx + 1/3 ∫ 3/x² + x dx = 1/3 ln |3x - 7| + C

Integrali delle frazioni

Parte riduzione di primo grado

∫ (ax + b) / (cx + d) dx

(a x + b) / (c x + d) Bonale / Numide (a x + b) / (cx + d) Numide + Iudico

Esempi:

∫ (2 x + 1) / x² - 4 dx = -x + 2

(2x + 1) / x - 4 = 2 - 5/x

∫ (2) - 5/²x - 4 dx z dx = ∫ 1/2 x dx = 2x - 5ln|x+2| + C

∫ 2 - 3 / x² + x + 1 dx = ∫ (3x - 2) + x dx - 3/x numeratore - 2 2 / x² + 1

Riduzione di secondo grado

∫ (a x + b) / (x² + 1) x (a x + b) / (x² + 1)

A (x) = coefficiente della x di a x + b(k) + (x + 1)

Esempi:

∫ (2x+1) / x²-4 dx = A/B (x) (x-x) - B = (2x) - 4(A + B) x - A B (A - B) x= A - B

∫ (2x-1/x² -4 dx =A-B = -1

∫ (3/2) / x dx = 1/x² (1) x + (b-x)/(x-x)

∫ (3/x) dx + 1/2 x⁴ + 1/2 len x dx + C - 3len|x -4| + 1/2 ∫ (x (b+1) dx + A= 3 ln |x+1| + 1/2 ln |x| + C

Metodo di frazi semplice

∫ x-4 / (x1/2 x²(x-x² + 1)(A B x² - 4) (x+1)(x - 4)(x^3 A(28 - x -4A = 28 - 4 (x-2) x²-x / 3/2 dx (2x-4) -3A (28 - 4)- B - 3/x (A - 3/8 -2(x-2) (x - 4 =1/3(H ^7/8 + 1 (x + 1 ^3/8 x = 3 (1/3 x-∫ dx + 3 (integrale)

Numeratore e divis ire all denominatore ln |x² + x + 1| + C

Regola di integrazione per parti

∫[f(x)·g(x)]'·dx = [f(x)·g(x)] - ∫f(x)·g'(x)·dx

Dimostrazione

d[f(x)] = f'(x)dx ; d[g(x)] = g'(x)dx

d[f(x)g(x)] = f(x)d[g(x)] + g(x)d[f(x)]

∫d[f(x)g(x)] = ∫f(x)d[g(x)] + ∫g(x)d[f(x)]

∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx

Casi simili per l'applicazione delle formule di integrazione per parti.

1. ∫ex dx = ex
2. ∫ex dx = ex
3. ∫ex dx = -(-1)∫e(-t)dt = e(-x) - x + c

Esempio

∫x · e2x dx = e2x · x - ∫e2x · 1 · dx = ... e2x - e2x + c

∫(x2+1)e2x dx = ...= ...= ... + c

∫ex ln x dx alfa = 1

Esame

∫x/√x lnx dx = ...= ... + c

∫ln x dx = ∫2 ln(1+x) dx = f(x)ln(1+2x)-∫f(x)/2x + c

Riasunto

Alcuni integrali per parti

∫f(x)ex dx = f(x)ex - ∫f'(x)ex dx

Integrazione per sostituzione

∫f(g(x)) dxx = g(t) con g(t) invertibile | t = g^-1(x) dx = g'(t)dt

∫f(g(x)) dx ↓ ∫ f(g(t))g'(t) dt

Esempio:

∫x²e^x dx   ⋙ = x   dx = 2t² dt x = t² f (t²) = e^t2 dt = 3∫t² e^t2-e^t   3∫(e^t2-e^t)dt == 3[e^t2-e^t dt]= 3∫(e^t2(dt-e^t2))dt= 3[e^t2-e^t2(dt-e^t2)] + c = 3[e^t2 - 2e^t2 + e^t2] + c3t²e^t2 - 6e^t2 + 6e^t2 + c

∫x/ x² dx   u = x^-1/4   dx = 2t dt

∫x² + 1/4 x^1/2 dx  = 2/3[f^2/4] dx/t + 2/3[f^3/2]= 3/⅝t^3/2 dt + c = 2/3(∛xⁿ) + 2nx + nx + c

Integrale definito

Dato f(s) limitata su [a, b]

E = sup{f(s)_x ∈ [a, b]}

e = inf{g(s)| x ∈ [a, b]}

a f₁ c₁ f₂ c_x m-b

Se fa e limitata su [a, b] s" ∈ &upper;e limitata in ogni intervallo [k_l, x_l]

E_i = sup{f(s)| x ∈ L_i x_l}

e_i = inf{f(s)| x ∈ L_i x_l}

Si dice che f(s) e integrabile su [a, b] se sup{S_l} = inf{S_s}

⧞ = ∫^b f(x) dx⧜

f_a − a - b arccos del trapezio

Larghezza basi = ⬗ del grafico x base basi a [A, B]

Funzione di Dirichlet

f(x) = { 1 se x ∈ [0, 1] ∩ ℚ 0 se x ∈ [0, 1] non ∈ razionale }

S = ∑ (x_i - x_i _-1) f(c_i) = 0

s = ∑ (x_i - x_i _-1) f(c_i) = ∑ x_i - x_i _-1 = 1

S = {0} s = {1} sup S = 0; inf S = 1 -> f(x) non è integrabile su [0, 1]

Casi di funzioni integrabili su [a,b]

1. Sono integrabili su [a,b] le funzioni continue su [a,b]
2. Sono integrabili su [a,b] le funzioni che ammettono in un intervallo [a,b] un numero finito di discontinuità di 1° specie

Esempi

f(x) = ⌊x⌋

∫₀³ dx = 1 + 2 + 3 = 3

f(x) = x

∫ x dx = ½ (b - a)

Proprietà degli integrali definiti

1. ∫ _a^b f(x) dx = -∫ _b^a f(x) dx
2. ∫ _a^b (f(x) ± g(x)) dx = ∫ _a^b f(x) dx ± ∫ _a^b g(x) dx
3. Se f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a,b] allora ∫ _a^b f(x) dx ≤ ∫ _a^b g(x) dx
4. ∫ _a^b f(x) dx = ∫ _a^c f(x) dx + ∫ _c^b f(x) dx

Proprieta additiva

Teorema della media integrale

ip) f(x) continua su [a,b]

t) ∃ un opportuno punto c ∈ [a,b] f(c) ∫ _a^b f(x) dx = f(c)(b-a)

Area del trapezoide è uguale all'area del rettangolo che ha per base [b-a] è per altezza f(c)

Disuguaglianzex Weierstrass (f una assoluta H è una assoluta su M)

∫ _a^b f(x) dx = M(b-a) M = ∫ _a^b _inf f(x) dx m _(b-a) = ∫ _a^b f(x) dx = M ∫ _a^b m f(x) dx f _max(b-a)x Darboux ∫ _a^b f(x) dx a^b f(x) dx = f(c)(b-a) f _max

Funzione integrale

Data f(x) integrabile su [a,b]

I_a(x) = ∫_a^x f(t)dt = F(x)

Proprietà:

I_a(a) = 0 (funzione I tale che una primitiva che c = 0)

Teorema di Torricelli-Barrow:

1. F(x) continua in [a,b]
2. Se funzione integrabile I_a(x) è continua in [a,b] e derivabile in (a,b) e risulta I'_a(x) = f(x), la funzione integrabile I_a(x) è una primitiva di f

Dimostrazione:

Bo fatto che la derivabilità => la continuità Se I_a(x) è derivabile su x => I_a(x) è continua in x ΔI_a(x) = I_a(x+Δx) - I_a(x) = ∫_b^c f(t)dt - ∫_a^b f(t)dt Per teorema della media e analisi: ∫_c^d f(t)dt = f(c)Δx Derive Δ -> 0 Lim ΔI_a(x)/Δx = Lim f(c) = f(x) Conclusione con teoremi Barrow ∫_a^b f(t)dt = F(b) - F(a), F(x) è una generica primitiva di f(x)

Primitiva

f(x) = ∫ f(t)dt + c

F(a) = ∫_a^a f(t)dt + c => F(a) = c

F(b) = ∫_a^b f(t)dt + F(a)

∫_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)

Calcolo di P^th grado

1. Calcola ∫P(x)dx - P(x) + c differenza P(b) - P(a) = [P(x)]_a^b

Esempio:

∫ e^x dx

∫ e^x+2 dx = ∫ e^xe² dx = 2e^x+2 - 2e² = 2e² - 2e^c + 2.2^1/e

∫ ln(x+2) dx

∫ln(x+1) dx = ∫ (d/dx ln(x+2)) dx = x ln(x+2)-∫ 1/x dx = xln(x+2) - (x² + c)/x = xln(x+2) -1/x = dx

∫ (e ln(e x) + 2) dx = (ln(ex))²/2dx = ln(x+2) dx

∫ e^-ln2xdx

∫ e^-ln2xdx = ∫ 2xlnx x dx = ∫ 2xlnx x dx= ∫ 2xlnx - 2/2nx dx = ∫ 2xlnx x2x - ∫ dx x dx= 2xlnx x - 2 xlnx 2x + c

∫ e^{ln x + ln 2}dx = e^{ln x + ln 2} = (ln1 - 2 ln1 + 2)= se x= 1 &xrarr; ln2 1 + 2 - ln2 = 2 - ln 2

∫ 1/(√ x²+1) dx

∫ 1/(x²+1) dx

∫ 1/(2x+1) dx = 1/2∫1/(2x+1),2 dx, 1/2∫∫1/(2x+1) x/(2x+1)² dx= 1/4 -5/9

∫ 1/(√x²) = 3/4∫ 1/(2x+1) dx±¼ &frac35 &frac25 = &frac25 - 1/x 4 = ¼ &xrarr; 1/9

Approssimazione

Formule di Bernoulli

1. ()

lim x→∞ e^{1/(x³) − 1/²x − sin x} − x e^1/(x+1) − 1/2^x−4 = ∞

lim x→∞ e^-ln2x e^2xln &xrarr; e &xrarr; −'(x) = ∞

x = x φ x =π/4