Matematica generale parte 2

Topologia • : ℝ → ℝ ed è un insieme strutturato algebricamente

• ℝ coincide con la retta e pertanto ha struttura algebrica

• La topologia studia le proprietà qualitative o

topologiche della retta

• Intervalli propri:

• , = ∈ ℝ: < < - aperto

• , = ∈ ℝ: ≤ ≤ - chiuso

• , = { ∈ ℝ: ≤ < }

• , = { ∈ ℝ: < ≤ }

• Intervalli impropri:

• −∞, = { ∈ ℝ: < }

Topologia • −∞, = { ∈ ℝ: ≤ }

• ,+ ± = { ∈ ℝ: < }

della • , +∞ = { ∈ ℝ: ≤ }

• −∞, +∞ = ℝ → retta stessa ℝ

• Intorno è qualunque sottoinsieme di che contenga

retta un intervallo aperto contenente x

• Non è un intorno di x qualunque sottoinsieme che lo

contenga come elemento, ma è essenziale che ci si

possa muovere da x, sia pure di pochissimo, ma in

entrambi i versi, senza uscire da ℝ

• Intorno destro di x è qualunque sottoinsieme di che

,

contenga un intervallo del tipo per un qualche

∈ℝ

• Dunque è un intorno destro di x se ci si può

muovere da x verso destra, sia pure di pochissimo,

senza uscire da ⇒

• Intorno di un punto Intorni unilaterali del punto

⇏

• Intorno unilaterale di un punto Intorno del punto

1

0

È impossibile uscire da quell’intervallo in

0, 9 = 1

quanto anche e quindi non posso

identificare l’ultimo numero reale che mi

permette di uscire da quell’intervallo

Punti interni, esterni e di frontiera

ℝ

• Sia un sottoinsieme di

∈ ℝ

• Il numero è interno ad se esiste almeno un intorno di contenuto in

• (0, 1) dopo aver scannerizzato tutti i sottinsiemi

∈ ℝ

• Il numero è esterno ad se è interno al suo complementare

• (−∞, 0) ∪ 1, +∞ dopo aver scannerizzato tutti i sottoinsiemi

∈ ℝ

• Il numero è di frontiera per se in ogni suo intorno contiene almeno un

punto dell'insieme ed un punto del complementare

• {0, 1} dopo aver scannerizzato tutti i sottoinsiemi

Insiemi aperti, insiemi chiusi

• Considero ora i punti di frontiera definiti prima e distinguo trecasi:

• è aperto se non contiene nessun punto della sua frontiera

• è chiuso se contiene tutta la sua frontiera o il suo complementare è aperto

• non è ne aperto ne chiuso nei casi intermedi

ℝ

• Per la frontiera è vuota e quindi contiene tutta la frontiera e quindi è chiuso ma

ℝ ∅

allo stesso tempo la frontiera del complementare di e cioè contiene tutta la

ℝ

frontiera e quindi è anche aperto

ℕ ℕ

• Per nessun punto è interno; però contiene tutta la frontiera e quindi è chiuso

[0 1]

Caratteristiche:

 (0, 1)

Punti interni:

 {0, 1}

Punti di frontiera:

 (−∞, 0) ∪ (1, +∞)

Punti esterni

 [0, 1]

Punti di accumulazione

 Insieme sempre chiuso

Punti di accumulazione, punti isolati

• ∈ ℝ di ℝ

è un punto di accumulazione per il sottoinsieme se in ogni suo

intorno è contenuto almeno un elemento di distinto da

• Punto di accumulazione per un insieme può appartenere o no all'insieme stesso

⇒

• Punto isolato Punto di frontiera

⇏

• Punto di frontiera Punto isolato

• ∈ ℝ ℝ

è un punto di accumulazione unilaterale per il sottoinsieme di se in

ogni suo intorno unilaterale è contenuto almeno un elemento di distinto da

⇒

• Punto di accumulazione unilaterale Punto di accumulazione

⇏

• Punto di accumulazione generale Punto di accumulazione unilaterale

• { 1, 2 ∪ 5 } [1, 2]

• I punti di accumulazione sono tutti quelli dell'insieme

• 1 è il punto di accimulazione destro

• 2 è il punto di accumulazione sinistro

• 5 è un punto isolato

ℕ

• Per l'insieme tutti i suoi punti sono isolati e di frontiera

ℚ

• Per l'insieme tutti i suoi punti sono di accumulazione e di frontiera

• Punti di accumulazione dato che trovo altri numeri razionali in mezzo

ℚ

• Punti di frontiera dato che non è un infinito continuo

Insiemi limitati e illimitati, massimi minimi ed estremi

ℝ (, )

• Il sottoinsieme si dice limitato se esiste un'intervallo proprio che lo

contiene ℝ (, )

• Il sottoinsieme si dice illimitato se non esiste un intervallo proprio

che lo contiene

• (−∞, )

si dice limitato superiormente o inferiormente se esiste un intervallo o

(, +∞) che lo contiene

• Il massimo di è un elemento dell'insieme che non è inferiore a tutti gli elementi

di

• = max | ∈ ⇒ ≤

• Il minimo di è un elemento dell'insieme che non è superiore a tutti gli elementi

di

• = min | ∈ ⇒ ≥ ≥ ≤

• L'estremo superiore o inferiore di è un elemento se risulta o per

∈

ogni ed inoltre in ogni intorno di è contenuto almeno un elemento di

)

(non necessariamente distinto da

⇒

• Massimo o minimo Estremo superiore o inferiore

⇏

• Estremo superiore o inferiore Massimo o minimo

• { 1, 2 ∪ 5 } è limitato, ammette massimo e quindi estremo superiore (5); non

ammette minimo ma estremo inferiore (1)

• Un intorno di un punto nel piano è un qualunque

sottoinsieme che contenga un disco aperto contenente

il punto

• Un punto è interno ad un sottoinsieme del piano

se è contenuto in almeno un intorno tutto contenuto

in X

• Un punto P è esterno ad un sottoinsieme X del piano

se non è interno

Topologia

• Un punto è di frontiera per se in ogni suo intorno

vi sono sia punti di che del complementare

del piano

• Un punto è di accumulazione per se in ogni suo

intorno c'è almeno un punto di distinto da

• Un insieme limitato è un insieme per il quale è

possibile trovare un disco aperto che lo contenga

• Un insieme illimitato è un insieme per il quale è

impossibile trovare un disco aperto che lo contenga

• Non si possono definire intorni e punti di

accumulazioni destri e sinistri, massimi e minimi,

estremi superiori ed inferiori Punto esterno

Punto di accumulazione Punto interno

Punto di frontiera Punto di frontiera

Topologia dello • Nel caso di spazi di dimensione 3 basta sostituire alla

considerazione dei dischi aperti quella delle sfere aperte

spazio

Successioni numeriche

• Una successione numeriche reale

• È una legge che ad ogni intero positivo fa corrispondere

un numero reale ℕ

• È una funzione reale definita in

∞

• È un vettore reale a componenti (termini della

successione)

• Rappresentazioni:

• = {1, 2, 3, … }

• = ∈ ℕ

• = ∈ ℝ

• Dove

• Il numero naturale n è detto valore dell'indice della

successione

• Il numero reale è detto n-mo termine della successione

Successioni • È importante sapere il primo termine della successione per

poterla individuare

numeriche • La successione stessa si dice limitata o illimitata se è tale

questo insieme

• La successione è detta: = ∀

• Costante se tutti i suoi termini sono uguali:

• Crescente se ciascun suo termine è maggiore del

> ∀

precedente: +1

• Non decrescente se ciascun suo termine non è minore del

≥ ∀

precedente: +1

• Non crescente se ciascun suo termine non è maggiore del

≤ ∀

precedente: +1

• Decrescente se ciascun suo termine è minore del

< ∀

precedente: +1

• In questi cinque casi la successione è detta monotona

• L'aggettivo "definitivamente" si usa se esiste qualunque

valore dell'indice dopo il quale la disequazione diventa

sempre vera → 0:

Convergente infinitesime

Regolare

(tendenza) Divergente Infinite

Carattere di una

successione Irregolare Indeterminata

(tendenza)

Successione divergente { }

• Si dice che la successione diverge positivamente se, dato comunque il

,

numero reale esiste un valore dell'indice successivamente al quale i termini

della successione sono definitivamente maggiori di K

• lim = +∞

• → +∞

• ∀, ∃ | > ⇒ >

• Successione monotona crescente non è condizione necessaria e sufficiente

affinchè diverga positivamente

• {1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 4, 7, … } - non è necessaria

1 1 1

• {4 − 1, 4 − , 4 − , 4 − … } - non è sufficiente

2 3 4

• La divergenza positiva è una crescenza oltre ogni limite che sia anche solo

tendenziale e cioè basta che riesco a sfondare ogni soffitto possibile

2

1

Successione convergente { } l ∈ ℝ

• Si dice che la successione converge ad se, dato comunque il numero

,

reale positivo esiste un valore dell'indice successivamente al quale tutti i

termini della successione differiscono da per meno di in valore assoluto

• lim{ } =

• { } →

• ∀ > 0, ∃ | > ⇒ − <

• − < ⇒ − < < +

• è un punto di accumulazione

• La convergenza ad non è l'avvicinamento monotono ma consiste in un

avvicinamento oltre ogni limite cioè basta che l'avvicinamento sia anche solo

"tendenziale"

• Una successione costante di termini tutti uguali a converge a ,

• Se tutti i termini di una successione a partire dall'm-mo sono uguali a la

successione converge a

+

1

+

2

−

2

−

1

Successione indeterminata

• Una successione indeterminata è un tipo di successione che non è ne

divergente e ne convergente

• { = −1 }

• { = sin }

Successione di Cauchy

{ }

• Una successione si dice di Cauchy, o convergente secondo Cauchy, se

,

soddisfa la seguente condizione: dato comunque il numero reale positivo esiste

un valore dell'indice successivamente al quale la differenza tra due qualunque

{ }

termini di è, in modulo, minore di

′ ′′ ′ ′′

• ∀ > 0, ∃ | , > ⇒ − <

• A differenza della condizione di convergenza, qui non interviene il valore limite

ma considero solo i termini della successione

• lim{ } = ⇒ la successione è di Cauchy

⇒ ℝ

• Successione di Cauchy Ammette come limite un numero in che può essere

anche trascendente cioè limiti di successioni di algebrici

′′

′

′ ′′

crescente +∞

Divergente Illimitato superiormente Va a

monotona = sup{ }

Tende a cioè

≠

l'estremo superiore

Convergente Limitato superiormente massimo perchè non

appartiene alla

successione

}

{ Teorema del confronto

{ } { }

• Se e sono entrambe regolari, e almeno a partire da un certo valore

{ }

dell'indice - i termini di sono tutti non minori dei corrispondenti

0

{ }, { } { }

termini di allora il limite di è non minore di quello di

• ≥ ⇒ lim{ } ≥ lim { }

• lim > lim ⇒ >

• si chiama maggiorante

• si chiama maggiorata

• Queste disequazioni devono verificarsi definitivamente

Teorema della permanenza del segno

• Se una successione è regolare e, almeno a partire da un qualche valore

dell'indice , a termini tutti non negativi, il suo limite non può essere

0

negativo

• ≥ 0 ⇒ lim ≥ 0

• lim > 0 ⇒ > 0

Teorema dei carabinieri

= , = , = { }

• Siano tre successioni per le quali, almeno a

partire da un certo valore dell'indice, valgono le due disuguaglianze:

0

• ≤ ≤

• Allora se ed convergono allo stesso limite (finito o infinito) anche

converge ad • →

• → ′

′

• + → + ⇔ lim + = lim + lim

{ }

• + → + ⇔ lim + = lim +

Somma tra

• + ∞ = +∞

• − ∞ = −∞

successioni • +∞ + ∞ = +∞

• −∞ − ∞ = −∞

• +∞ − ∞ = ?

• Devo studiare il carattere della successione somma e non delle

successioni degli addendi

• →

• → ′

′

• ∗ → ∗ ⇔ lim = lim ∗ lim

{ }

Prodotto tra

• ∗ → ∗ ⇔ lim = lim

• ∗ ∞ = +∞; ≠ 0

successioni • ∗ −∞ = −∞; ≠ 0

• ∞∗∞=∞

• 0∗∞= ?

• →

1 1 1 1

Inversi • → ⇔ lim =

lim

1

• =0

moltiplicativi ∞

1

• = +∞

0

• →

• → ′

lim

• = ⇔ lim =

′

lim

Rapporto

• =0

|∞|

tra • = +∞

0

∞

• =∞

successioni 0

0

• =0

∞

0

• = ?

0

∞

• = ?

∞

Potenze tra successioni

• → ; > 0

• → ′

′

lim

• → ⇔ lim = lim

′ ′ ′ ′

′ = −∞ < = > = +∞

∞ +∞

′ ′

= 0 = +∞ 0 = 0

= ?

0 = +∞ 0 =0

∞ +∞

0

′ ′

= = ? = ?

1 =1

1 = 1 1 = 1

∞ +∞

′ ′

(+∞) (+∞)

= +∞ =0 = +∞

(+∞) = ?

(+∞) (+∞)

= 0 = +∞

Forme indeterminate

∞

0 ∞

0 0

∞−∞ 0∗∞ 1

0 ∞

∞

0 • → ⇔ {log } → log ⇔ lim{log } = log

Logaritmi

• → ⇔ {log } → ⇔ lim log =

0 ∗ ∞ - forma indeterminata

• → 0; > 0

• → ∞; > 0

• ∗ → 0 ∗ ∞

• log = log + log = ∞ − ∞

0/0 - forma indeterminata

• → 0; > 0

• → 0; > 0

0

• →

0

• log = log − log = ∞ − ∞

&infi