Matematica generale parte 2

Teorema di Rolle

() [, ] (, ).

• Sia continua in e derivabile in Se essa assume valori uguali

(, )

agli estremi dell'intervallo di definizione, esiste in almeno un punto

in cui la sua derivata si annulla

′

• = () ⇒ ∃ ∈ (, )| =0

Teorema di Lagrange

() [, ] (, ), (, )

• Sia continua in e derivabile in esiste in almeno un

punto in cui passa una retta tangente al grafico parallela alla retta passante

per i punti A e B

− ∆

′

• = = tan

− ∆

• Se una funzione ha derivata identicamente nulla su un intervallo I, è costante

su esso ′

• − = − = 0 ⇒ = ()

Teorema di Rolle Teorema di Lagrange

Derivata inversa ()

• Se una funzione derivabile è invertibile (deve essere anche monotona), la

funzione inversa è derivabile e la sua derivata è data da:

1

−1 ′

• = ′ −1

• Esempio:

• = ( , )

0 0

• = ( , )

0 0 1 1

−1 ′

• = =

0 ′ −1 ′

0 0

Differenziale e Taylor

Puntuale vs. Locale ( ) ⇏ ′( )

• Conoscenza puntuale nel suo intorno

0 0

′( ) ⇒ ( )

• Conoscenza puntuale nel suo intorno

0 0 ′( )

La conoscenza di mi permette

0

()

di dire che la funzione è continua

e derivabile nell’intorno di 0

= + ℎ

0

Differenziale

(), + ℎ

• Sia un punto del dominio di una ed il punto ancora del dominio

0 0

corrispondente all'incremento della variabile indipendente, considero

= ( , )

• Il punto 0 0

, = ( + ℎ, )

• Il triangolo rettangolo nel punto ed avente per

0 0

ipotenusa un segmento della tangente alla curva in

• Allora

• ′( )

dà la tangente trigonometrica dell'angolo in

0

′

• ℎ = = ( )

0 0

• Riusciamo quindi a calcolare l'ordinata di approssimandolo a

′

= ℎ

• Il differenziale è quindi 0 0

• ≅ ∆ ′

• + ℎ ≅ + ℎ

0 0 0 ′

∆− +ℎ − − ℎ ′ ′

0 0 0

• lim = 0 ⇔ lim = − = 0

0 0

ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0

∆ ℎ → 0

• La differenza fra e è, per è infinitesima di ordine superiore allo

ℎ

stesso e per questo posso approssimare con il differenziale

()

• Sia derivabile n (da 0 a n-1) volte nell'intervallo

[, ] ∈ [, ]

e sia fissato 0

Polinomio ()

• Si chiama polinomio di Taylor di di grado n a

coeffienti interi centrato in il polinomio

0

1 1

di Taylor ′

• = + ℎ + ℎ …+ ℎ

0 0 0

+ ℎ ≅ ()

• Posso approssimare in modo migliore

0

rispetto al differenziale

Polinomio di Taylor

( ) ( ) ( )

′

) ( )ℎ ( )ℎ ( )ℎ ( )ℎ

( + ℎ) ≅ ( + + + + +

0 0 0 0 0 0

( )

( ) ( )

′

) ( )( ) ( )( ) ( )( )

() ≅ ( + − + − + + −

0 0 0 0 0 0 0

( ) ( )( )

( + ℎ) ≅ ∑ − ( + ℎ) ≅ ()

0 0 0 0

0 ( ) ( )( )

() ≅ ∑ − () ≅ ()

0 0

0 ( ) ( )

Riproduzione non fedele della con il

′ ′′ ′′′ ( ) = ( )

() ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

= ( + − + − + − 0 0

0 0 0 0 0 0 0 ′ ( )

′ ′ ′′ ′′′ = ′( )

() ( ) ( )( ) ( )( )

= + − + − 0 0

0 0 0 0 0

′′ ′′ ′′

() ( ) ( )

= + ′′′( )( − ) = ′′( )

0 0 0 0 0

′′′ ′′′

() ( )

= ′′′( ) = ′′′( )

0 0 0

( )

() ( )

= 0 0 0

Formula di Taylor

( ) ( )( )

( + ℎ) = ∑ − + () ()

( + ℎ) = + ()

0 0 0 0

0 ( ) ( )( )

() = ∑ − + () ()

() = + ()

0 0

0

Resto della formula di Taylor

() () ()

• Il resto rappresenta la differenza ovvero l'errore che vi è fra e

() [, ]

• Sia definita in un intervallo contenente ed ammetta nell'intervallo

0

n derivate; allora è possibile dimostrare che:

• Il resto n-mo della formula di Taylor è in infinitesimo di ordine superiore ad

0

−

rispetto all'infinitesimo campione 0

• lim =0

−

→ 0

0

• Questo teorema estende quello relativo al differenziale e quindi dà senso

all'utilizzo del polinomio di Taylor come strumento di approssimazione

Resto nella forma di Lagrange

() + [, ],

• Se è di classe nell'intervallo esiste tra ed un valore tale

0

che per il resto n-mo della relativo al punto iniziale risulta:

1 +1 +1

• = −

e non considero la derivata in

0 0

+1

• La formula di Lagrange permette di calcolare un numero maggiore o uguale al

valore del resto

• = 0, = 5 ( ) =

in , e massimo in

• Mi trovo il valore massimo che il resto può assumere

Serie • Condizione necessaria per sviluppare una serie di Taylor è

∞

che la sia derivabile in volte

1

∞ ℎ ℎ

• −

0 0

ℎ 0 ℎ

di = 0

• Se si assume come punto iniziale allora la serie

0

prende il nome di "serie di Mac Laurin"

1

∞ ℎ ℎ

• 0

ℎ 0 ℎ

Taylor ()

• Obiettivo della serie di Taylor è rappresentare la

senza alcun tipo di approssimazione

()

()

Funzione analitica in un intervallo I La serie converge e coindice con

∞

La serie potrebbe non convergere

Se Funzione non analitica La serie converge ma la somma non

()

coincide con

Analiticità della funzione

∞ ℎ ℎ

=∑ −

0 0

ℎ

ℎ 0

= +

dove è la serie resto

∞

ℎ ℎ ℎ ℎ

=∑ − + ∑ −

0 0 0 0

ℎ ℎ

ℎ 0 ℎ +1

∃, | () ≤ ⇒ ∈

lim = 0 ⇔ ∈ ()

→∞ Condizione sufficiente

∀x ∈

Condizione necessaria e sufficiente

∀x ∈ Più lento dell'andamento dei termini di

una serie geometrica

+1

−

+1 0

≤ lim = 0 Dove M e c sono costanti positive

e per il

+1

→∞ Condizione di equilimitatezza delle derivate

criterio di convergenza del rapporto Studio la Stabilisco se

Dimostro che

Funzione Trasformo in serie convergenza della l'uguaglianza

lim =0

originaria di Taylor =

→∞

serie con i criteri è vera

Serie circolari 3 5 7 2+1

∞

• sin = − + − + = −

0

5 7 +1

2 4 6 2

∞

• cos = − + − + = −

0

4 6

• Le funzioni circolari risultano in modulo sempre non superiore ad 1

• Tramite il criterio di Leibnitz trovo che le serie convergono per ogni x reale

• Inoltre le serie risultano assolutamente convergenti per ogni x reale

Serie logaritmica = log( + )

• Poichè in 0 la funzione non è definita, considero la funzione

2 3

∞ −1

• log + =− + − = −

1 − < ≤

• Tramite il criterio di Leibnitz trovo che la serie converge per

Serie esponenziale

2 3

∞

• = ++ + + = 0

• Tramite il criterio del rapporto trovo che la serie converge per ogni x reale

Serie esponenziale complessa

2 3 2 3 4 5 6

() ()

• = + + + + = + − − + + − …

4 5 6

2 4 3 5

• = − + … + − + … = cos + sin

4 5

• = −

Derivata di una serie

• Esempio

• La derivata dei termini della serie seno porta ai termini della serie coseno

• La derivata del seno è il coseno

• Condizioni ()

• Serie di funzioni convergente nell'intervallo

• Tutte le funzioni suoi termini sono derivabili in almeno una volta

• Tesi

′

• = ( ())′ = ′()

• Non è sempre vera questa uguaglianza dato che:

• derivabili → ⇏ () derivabile

• () → ⇏ ′() convergente

Massimi e minimi è un punto di crescenza e di

minimo relativo (assoluto in

questo caso)

è un punto di massimo relativo

1

( ) &egra