Matematica generale - parte 4

Funzione derivabile in x₀ e continuite in x₀

f(x) è derivabile in x₀ se:

• f(x) è continua in x₀ ➔ lim_x→x0 f(x) = f(x₀)
• f'(x) esiste

Quando f'(x₀) esiste

• lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

Dove:

• lim_x→x0 f_d(x) = f_d(x₀)
• lim_x→x0 f_s(x) = f_s(x₀)

Derivabile in (a,b)

f(x) è derivabile in (a,b) se ∀ x ∈ (a,b) ➔ lim_Δx→0 Δf/Δx = f'(x)

Derivate di funzioni elementari

• f(x) = x² ➔ f'(x) = 2x
• lim_Δx→0 (x+Δx)² - x² / Δx ➔ 2x

• f(x) = a^x ➔ f'(x) = a^x log_a e

Derivata delle somme

Dove f(x) e g(x) derivabili ➔ ≠ si calcola o(f(x) ± g(x)) = o(f(x)) ± o(g(x))

Funzione derivabile in x0 ⇒ continua in x0

Se f è derivabile in x0

postc. di Weierstrass

∃ lim Δx → 0

tale che: f(x0 + Δx) - f(x0)

f(x) è continua in x0

Se lim f(x)_x→x0 = f(x0)

Allora lim Δx → 0

[f(x0 + Δx) - f(x0)]

= f(x0) - f(x0)

lim [f(x0 + Δx)]

Allora lim [f(x0 + Δx)]

x → ∞

continua in x0

Derivabilità in (a, b)

f(x) è derivabile in (a, b) se ∀x ∈ (a, b)

lim Δx → 0

Δy / Δx

Derivate di funzioni elementari

* f(x) = x², g(x) = x

lim (x + Δx)² - x²

= 2x Δx + Δx²

lim Δx → 0

* f(x) = a^x

lim

(f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx = a^x0

f'(x) = a^x log a

lim x → a f(x)

f'(x) = log_ae

Effetti

y = ε a ^x,

f'(x) = c^x e^{-x + c -2-1}

Derivata del prodotto

Date f(x) e g(x) derivabili ⇒ ∃ f'(x), g'(x)

D[(f(x) ⋅ g(x))]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Esempi

• y = x ⋅ e^x
• y₁ = 4x ⋅ x ⋅ x³ + x ⋅ 2

Generalizzazione

y = f(x) ⋅ g(x)

y' = f'(x) ⋅ (g(x) + h(x)) + f(x) ⋅ (g'(x) + h'(x))

Esempio

• y = x ⋅ ln x
• y' = 5x ⋅ ln x

Derivata del rapporto

D [(f(x)/g(x))]' = [g(x)f'(x) - f(x)g'(x)]/(g(x))²

Esempio

• y = 3x² + 5x

Generalizzazione

y = x ⋅ x

y' = 3x ⋅ 4 + 2 ⋅ 8x/4

Formule di derivazione delle funzioni composte

1. y = xⁿ y' = nx^n-1
2. y = a^x y' = a^x/ln a
3. y = e^x y' = e^x
4. y = log_x y' = 1/x ⋅ ln e
5. y = ln x y' = 1/x

• y = 5/(2x²)
• y = 1/x⁵
• y = ln(3x+√x)

1. y₁ = (3(3x+2x³) ^. (3x - 2))/ (x(x+1))³
2. y = 2 ^. ln2 ^. 3/x
3. y₂ = − (−1)/(x²)
4. y₃ = ln (3x+5)^1/3
5. y₃ = e^{x/x2 .} ln (1/x x)
6. y₃ = (2x + x⁴)

Teorema di derivazione delle funzioni inverse

f(x) = 1/x

f(x) = 1/x²

f(x) = 1/x

lim_x→0 h(x) = x²

lim_x→0^- = x = ∞

Premesse di De l'Hopital

1) f(x), g(x) continue su I₀-{x₀}

2) f(x), g(x) derivabili su I₀-{x₀}

g(x) ≠ 0 ∀x ∈ I₀-{x₀}

lim _x→x0 f(x) = 0

lim _x→x0 g(x) = 0

0/0

• lim _x→0 sinx ¹ / x = lim _x→0 sinx ¹ = 1
• lim _x→0 (2sinx)/(2x) = lim _x→0 sinx/x = 1
• lim _x→0 sin (4x + x) / x = ...
• lim _x→0 1/x = +∞ = lim _x→0 1/x sinx/ x = 1
• lim _x→0 sin ¹ / x = lim _x→0 sin ¹ = 1

∞/∞

• lim _x→∞ (1 + 2x) ⁴ = +∞
• lim _x→∞ 1/x = 0
• lim _x→∞ .....
• lim _x→∞ sin ¹ / (2 + x) = lim _x→∞ sin ¹ = 0
• lim _x→∞ sin ¹ = 0

quindi, applico de l'Hopital lim _x→∞ = 0

NB: de l'Hopital può essere applicato più volte fino a quando non si toglie l'indeterminazione

Applicazioni teoriche di De l'Hopital

Forma indeterminata

• lim _x→0 f(x)/ g(x) = 0

Bisogna verificare l'ipotesi, una volta che potrai applicare de l'Hopital

• lim _x→π/2 (x * tan ¹ · cos ²)/ (cosx * cos ¹) = 0
• lim _x→∞ 1/x = 0

NB: se uno è √ di indeterminazione, mandato trasportabile al denominatore, è necessario applicare de l'Hopital

DIFFERENZIALE

Dato f(x) derivabile in x₀, si dice differenziale di f nel punto x₀:

d f(x₀) = f '(x₀) ⋅ x

x₀ + x = x

x = x - x₀

x = x - x₀

y = f(x₀) + f '(x₀) (x - x₀)

f '(x) = f(x₀) (x - x₀) + f '(x₀)

Equaz. retta tangente (la cui m = f '(x₀))

Equaz. retta nel punto x₀

f '(x) = f(x₀) (x - x₀) + f '(x₀)

y - y₀ = f '(x₀) (x - x₀) DIFFERENZIALE

Il differenziale individua il valore assunto dalla retta tangente in altre curve nel punto (x₀;f(x₀)), quando la variabile indipendente passa da x₀ a x.

Dim

1. x = x₀ + x₀
2. dx = 1 ⋅ x = x
3. y(x₀) = f '(x₀) ⋅ dx
4. dy = f '(x₀) ⋅ dx
5. f '(x) = f(x₀) ⋅ dx → dy = f '(x₀)

Polinomio di Taylor

T₂(x) = f '(x₀) (x₀ - x₀) + f '(x₀)

T₃(x) = f(x₀)

Derivate funzioni

y = f(x)   y¹ = f'(x)   y² = f''(x)   yⁿ = f⁽ⁿ⁾(x)

Derivate funzioni

Seno

1. y = f(x)
2. y = f '(x) ⋅ x
3. f '(x) = f(x₀) = 0
4. Seno
5. f '(x) = dx

Approssimazione con polinomio di secondo grado (parabola)

Se f(x) definita x₀, f'(x) f'è esistente in un x₀

• T₂(x) = f (x₀) + f '(x₀)
• T₂(x) = L₃ ⋅ T

Massimi e minimi relativi di una f

f(x) ha in c un massimo relativo se: f è f.d.¹ in x=c

> f(c) ≥ f(x)

f(x) ha in c un minimo relativo se: f è f.d.¹ in x=c

> f(c) ≤ f(x)

Teorema di Fermat (su massimi e minimi relativi)

f(x) ha in x₀ un max o un min relativo

f' (x₀) = 0

Dimostrazione

f punto ¹ per: lim x → x₀

f'(c) = 0

Punto stazionario

x₀ = un punto stazionario se f'(x₀) = 0

Se c è un punto di massimo relativo:

f(x) - f(x₀) ≥ 0

f(c) - f(x) ≥ 0

lim x → x₀

Ecc.

2^a PROPRIETÀ

In un punto di max e min relativo, il grafico presenta sempre la monotonia della funzione.

TEOREMA di ROURE

1) Sia f(x) continua su [a,b] 2) f(x) derivabile in (a,b) 3) f(a) = f(b) 4) ∃ almeno un punto c ∈ (a,b) | f'(c) = 0

DIMOSTRAZIONE

1. Sia f(x)=k f(c)=k ∀x ∈ (a,b) la f è costante in tutti i punti dell'intervallo

2) Se f(x) continua non costante su [a,b] a x monotonia ⇒ assume f(a), f(0), f(b) max assoluto in un intervallo Punter f(x): max e min non possono coincidere se in a e b corrispondentemente.

Per punti di min e max assoluto Per Roure: f'(c)=0

2. Se esiste f(x) derivata su (a,b), f(a)=f(b) una f(x) non è continua in [a,b]
3. Se f(x) continua su [a,b] 1) f(x) derivata su (a,b) F derivabile su (a,b) f(c) ≠ f(b)

TEOREMA DI LAGRANGE

1) f(x) continua su [a,b] 2) f(x) derivabile su (a,b)

∃ almeno un punto c ∈ (a,b) | F'(c) = 0 m=f'(c) F(x) derivabile su (a,b), se esiste punto c su (a,b)

DIMOSTRAZIONE

f(b)-f(a) / b-a = (f'(c)•(b-a)) / (b'a)

Se al contrario f(x) assume massimo e minimo assoluto in c, poi intervallo, stesso punto (non esiste)

(b'