Matematica generale - parte 3

Infinitesimi

Una funzione f(x) è infinitesima per x -> x₀ se

lim f(x) = 0

x -> x₀

Esempi di funzioni infinitesime

f(x) = x per x -> 0

• lim x = 0
• lim x² - 1 = 0

x -> 0

x -> 0

Infinitesimi Simultanei

Se per f(x) e g(x) infinitesimi simultanei (per x -> stesso valore), si parla di ordine di infinitesimi quando x -> x₀

Se f(x) < g(x) allora f(x) aveva la stessa velocità di -> 0

• f = 0 e g più veloce di f
• f = 0 e g più veloce di f
• g -> x₀

Esempio

lim x^-4 = 0

lim x² - 1 = 0

x -> 0 x -> x₀

x^-2 / x² = 0

g più veloce di f g veloce di f

x -> x₀

• y = x x > 0
• lim x = 0

Infinitesimi Davvero

P(x) = infinitesimo per x -> x₀ => numero f(x)

lim x = 0

x -> x₀

Calcolare ordine infinitesimi

• f(x) = xⁿ ha ordine inf. uno per x = 0
• g(x) = x + 1
• lim x = 0

Esempio

• e^x = e^x + 1
• ordine infinitesimo

Propagazione degli ordini infinitesimi

Se f(x) e g(x) simultanei di stesso ordine, sono di ordine inf. pari

• y = 1

INFINTESIMI

Una funzione f(x) é infinitesima per x -> x₀ se

lim_{x -> x0} f(x) = 0

Esempi di funzioni infinitesime

• f(x) = x x -> 0
• lim_{x -> 0} x = 0
• x -> 0
• x -> ∞

INFINTESIMI SIMILARI

Basta f(x) e g(x) per infinitesimi similiari (per x -> stesso valore),

se il rapporto fratto l’infinito di f(x) e g(x) transfinite per x -> 0

• Se lim_{x -> x0} [f(x)/g(x)] = 0
• f pro e g hanno la stessa velocità di tendere a 0
• 0 < lim_{x -> x0} [f(x)/g(x)] -> ∞
• f -> o g piú veloci di g, x₀, 0 -> 0

POLINOMI

• lim_{x -> 0} (x²/x⁴) = ∞
• Se piu veloci se g x₀ null → ∞
• Se o più solide di g, x₀ nel

y = x³, x -> 0

E’ più esponente, più e alto, più alto.

Valore sono via le funzione:

Via di basso l’esponente, piu e basso.

la velocità con cui la funzione si cura.

INFINTESIMI ORORDINE

Ho f pi^-f sempli che o quadre x -> x₀, (x -> ∞)

f : f(x) -> x = un numero

x -> x₀ x₀ -> ∞

• ora obliterabile

Esempio di ordine infinitesimi

• (1) a -> x^-1 é infinita per x -> 0
• P(x) = x^-3 cose x - 0 tra

• a^-n x -> 0

• (3) f(x) -> o loga(1+x) ab ordine infinitesima per x -> 0
• loga(e + 1 = 0
• ∀δ' > 0
• |x − x₀| < δ'
• lim f(x) = f(x₀)

(uso linguaggio logico Xe poiché la funzione è definita anche su x₀ ).

Quando una funzione è continua?

• Una funzione è continua quando esiste lim x → x₀.per il valore della funzione nel punto x₀

Decisire l'esprazione gradualente se f(x) è continuativa su x₀ se sono presenti discontinuità:

1. Esiste lim⁻ f(x) x → 0
2. Esiste x e x
3. f(x)

Discontinuità eliminabile

Esempio

• Data: f(x)
• x
• lim f(x) ...
• lim ...
• lim(x²) = f(x)

... Dom : x e x ...

x ...

lim √ (x + 4)

(x) = {2 x ‹ 0 x² x = 0 x > 0

Lim 2 x -1 = 1 ≠ f(0)

O = punto di discontinuità eliminabile o punto di continuità

Fissa la 2) affermazione

• Discontinuità di prima specie

Lim f(x) ➝ R - Lim f(x) ➝ R = f + l₂

se γ ≠ la funzione assume un salto di ampiezza

l₂ - l₁

Esempi

• g(x) funzione parte intera superiormente definita

(x puri [₂])

Lim f(x) ➝ π - Lim f(x) ➝ [x] [x] = 1)

R_- funzione parte intera inferiormente definita

su un sotto intervallo continuo un salto di ampiezza non eliminabile

Lim e^-x x ≥ 0

2 - x x < 0

y = 2 x

x = 1

[2] 0/2

Lim x² -1

e^π ε

Discontinuità di prima specie

b. Discontinuità su intervallo finito

Lim f(x) =∞ (è una [∞]

successione _n di una immagine su un intervallo reale

uscita quando il limite di f(x) è il fonome

Lim [1/2] =∞

Funzioni continue in un intervallo

f(x) è continua in un intervallo [a, b] se è continua in x ε [a, b] e se il Lim f(x) = f(b)

Non continua a sinistra destra

Classi di funzioni continue

• equ e funzioni definite ad una legge γ continua nel suo dominio

β(x) - β(x) l'immagine non continua è un [potto?] fonome

i^{(3 sin x)}

Lim_x→∞ = x x - 1/3

2. se f e β(x) sono continue in [a, b], sono continui e definiscono la funzione

y = β(x), f(x)

y = β(x) + β(x), f(x)

- y = β(x), f(x)

- y = β(x), f(x)

- y = β(x), f(x), β(x)

- y = β(x), β(x), f(x)

y = continume 'x' per un sotto grau (?).

RICERCA DEI PUNTI DI DISCONTINUITÀ

1. Ricerca del dominio

2. Individuazione dei punti di accumulazione del dominio che ⊆ al dominio

3. Calcolo del _{x → x0}lim f(x) e/o _{x→ x^-0}lim f(x)

4. Classificazione della discontinuità sulla base del risultato del limite

ESEMPI

1. f(x) = ^{x2 - 1}/_{x(x + 2)}
2. Dominio = ℝ - {2, 0}
3. Punti di accumulazione che ⊆ al dominio = {-2, 0, 2}
4. _x→0^-lim ^{x2 - 1}/_{x(x + 2)} = 0
5. _x→2lim x²/x(x + 2)

x = 2 punto di infinito

x = 0 discontinuità eliminabile per completamento

f(x) = ^{x2 - 1}/_{x(x + 2)} x ≠ 0, x ≠ 2

1. Dominio = {^-1/₂, 0} ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞)
2. Punti di accumulazione che ⊆ al dominio = {-¹/₂, 0, 1}
3. _x→^-1/2lim ^{ln(2x + 1)}/_{x(x - 4)} → ∞

x = -¹/₂ punto di infinito

Asintoto orizzontale

Limi sup e così via

lim (x → 1⁺) (x⁴-1) / x³(x³+1) = -∞

lim (x → 3⁻) ln(2x-1) = -∞

x = 3 punto di accumulazione

lim (2x → 0) = ∞

Punto di accumulazione

• x⁴ -1 / x³(x³+1)
• ln (2x+1)

lim (x → -4⁺) 2x+1 / x⁴ - x + 2

x = -4 punto di accumulazione

Discontinuità di tipo indefinito

Si definisce a più leggi

procediamo in questo modo:

Calce si indicano sulla scenda i punti di accumulazione del dominio, che è il domino, si anziano con cercato.

• funz. {x | x < 4, x a
• x = 1

• Dominio: R - {0}
• Punti di accumulazione che ≠ al dominio {0}
• Punto su cui muta la legge di definizione {1}

Limi e punti di discontinuità

Discontinuita' di tipo indefinito

• Punto di accumulazioni che ない al dominio: 0
• Punto su cui muta la legge di definizione 1
• leggi: ln |x| = 0 x = 0 punto di discontinuita'.

La funzione decresce in un punto comune punto esterno.

Teorema di Weierstrass

• f(x) è continua in [a;b]
• f(x) assume max e min assoluti

Funzione continua cambia solo nel max e min relativi però potrebbe rappresentare dei punti di assunzione locali ai minimi assoluti.

Teorema di Darboux

• f(x) è continua su [a,b]
• f(x) si assume alla valori compresi tra il min e il max nell'intervallo

Funzione smussi e Weierstrass ma non assunzione solamente sui valori compresi nell'intervallo.

Se si assume funzione continua e non assunzioni allora sono assunzione sulle punte.

Equazione della retta passante per due punti

A. (x₁, y₁) B. (x₂, y₂)

y - y₁ = ^{y₂ - y₁}/_{x2 - x1} (x - x₁)

y₁ - y₁ = ^{y₂ - y₁}/_{x2 - x1} (x₂ - x₁)

y₁(x₂ - x₁) + (y₂ - y₁)x₁ = x (y₂ - y₁)

equazione implicita della retta

equazione di I grado

Equazione fascio di rette per P. (x₀, y₀)

y₀ y₁ m (x₀ x)

Retta tangente alla curva y = f(x). in (x₀, f(x₀))

y = f'(x₀)(x - x₀)

y = y₀ f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

• f(x) = x² + 2x
• x₀ = 1
• f :(1 + Δx) = (1 + Δx) ² + 2 (1 + Δx)
• = 1 2x Δx + (Δx)² + 1 2Δx 2 = 3 + 4(1 0 x)

y = 4x - 4 · 1 3 y₀ = 4(x - 1)

• f(x) = 1
• x₀ = 0
• f 1₀:
• f(x) = 1 ƒ(x) = 0
• limit_{(x -> 0)}  0/
• 2x

equazione di I grado

equazione di I grado

y - 3 =(x - a) 4.1 per y = 2x +1

x₀ x₀ Δx x 0 0 0 0 Δx x 0 x 0 x₀

limit_{(x -> 0)}

Derivata di una funzione in un punto x₀

Detto x = x₀ ≟ x0+X e dominio di Y

• A(x₀, (f(x₀)) B (x₀+ Δx, f(x₀))

rapporto di derivabilità

• Δf | ^{(x₀+ Δχ, f(x}/sub>0))
• coefficiente angolarmre delle cortxe tangente la culvis
• quando è variabile la funzione in un punto da ▲ A e b, una suiparagoli
• limit_{(x -> x0)}
• f(x₀+ Δx) - ƒ(x₀) deutsch: l
• Es di einer deltaform = f'(x₀)

1. Punti di non derivabilità
2. punti cuspide

limit_(h->0+) ƒ(x₀+ Δχ, f(x₀)) limit_(k->0-)

• f'(x₀) - f(0)

ESMPO:

• y = f(x)
• y = f'(x₀))

2011