Matematica generale - parte 2

Successioni numeriche

Il termine generale della successione

Il grafico è una puntigliata sul piano. Si considerano solo i punti dell'asse x corrispondenti dei numeri naturali. Quando n diventa molto grande, gli a_n assumono sempre di più ad l. &exists;ε>0 ∀ε ∃n₀ ∀n≥n₀ ⇒ |a_n-l|<ε. E: valore piccolo-ε<a_n-l<ε ∋ -ε <a_n–l<ε. Quando n diventa molto grande, i valori di n diventano molto piccoli.

Successioni classificabili

• Convergenti
• Divergente

Esempi: a_n = (-1)ⁿ, a_n= (-1)ⁿn

Termine generale della successione

Il grafico è una puntigliata sul piano. Si considerano solo i punti distinti su corrispondenza dei numeri interi. Esempio: a_n = 1/n, lim a_n = 0, n→+∞, lim a_n = +∞, n→+∞. Quando n diventa molto grande, gli a_n assumono sempre di più ad l. ∀ε>0 ∃nε ∀n>nε ⇒ |a_n - l| a_n. Si fissa una striscia di piano all'intorno della y=l e cadono tutti i punti della successione, dopo un determinato valore, perché distano da l per quanto ε. Esempio: a_n = 1/n².

Successione multimodale

lim a_n = ln→+∞. Esempio: a_n = (-1)ⁿ, {a_n} = {2, -2, 2, -2, ...}. Continuazione della sequenza: riduzione assoluta a zero, lim a_n = ∞, n→+∞, lim a_n = 0, n→+∞.

Successioni convergenti e divergenti

Teorema di verifica dei limiti:

1. \lim{a_n}=l\Rightarrow\forall\varepsilon>0\,\exists m_\varepsilon\in\mathbb{N}\,\text{t.c.}\,\forall n>m_\varepsilon\Rightarrow |a_n-l|m_\varepsilon \Rightarrow S-\varepsilon m_\varepsilon \Rightarrow S-\varepsilon m_\varepsilon \Rightarrow S-\varepsilon 0 al quale corrisponde un unico punto di accumulazione.
2. a_n = m² ... lim ... m² = 4 a_m unico punto di accumulazione m assume i ... valori al variare di a₀ che è ... Note: Due to image clarity issues, some content might have been skipped or misinterpreted.
3. n₀=3 Lui m ^+∞ 1^∞ n₀=4 Lui a=+∞ success Lui_m a_n=a_∞.

Funzione trascendiva e successioni in forma chiusa

Successione di Nepero: (1+_md≤m)e^lim_m=∞a_m=e_m=0^m→+∞( Θ Bernoulli: lui a ∼ n.e^e.bk)

Serie numeriche

Secondo criterio (convergenza basata)

• Serie particolari
• Serie geometrica

∑_k=0^∞ q^k - > 1−a⁽ⁿ⁺¹⁾9^-1 < q < 1 converg. diverge indeterminata.

Serie di Mengoli

∑_k=1^∞ 1/(k(k+1)) A+B=0 1/m 1/k(k+1) = 1/k - 1/(k+1) S_n → 1 - 1/(n+1) Serie consvegibile ad 1.

Serie armonica

∑_k=1^∞ 1/k Serie divergente perché unifica l'esterno di Cauchy.

Proprietà delle serie numeriche

1. ∑ a_k converge
2. a_k->A
3. ∑ y_ka_k+bk=A+B

Il comportamento di una serie non cambia se si moltiplica un numero finito di addendi. ∑ 1/k₂ converge.

Limiti per funzioni reali di variabile reale

Limiti per β ∶ X → ℝ. Sia x superiormente illimitato, lim_x→+∞ β(x) = ℓ, lim_x→∞ log x = e⁰, x → +∞0, x → 07. Per x molto grande, il grafico funzioni a cavalletta tra le rette y = ℓ. Asintoto orizzontale ∀ε>0 ∃ x_ε ∀ x > x_ε => |β(x) - ℓ| Deve esistere un x_ε a partire dal quale il grafico della funzioni è entro una striscia tra rette ℓ + ε e R - ε. Questo deve essere vero per ogni ε fissato arbitrariamente.

Esempi

• y = a^x, 0 x→+∞ a^x = 0
• y = 1/x^m lim_x→+∞ 1/x^m = 0 ∀M∃ x_m ∀ x > x_m => β(x) > M
• Deve esistere un x_m a partire dal quale il grafico della funzione assume valori sempre più grandi della retta M. Questo deve essere vero per ogni M.
• y = a^x lim_x→-∞ a^x → +∞
• y = ax + b lim_x→+∞ ax + b → +∞
• y = ax² + bx + c lim_x→+∞ ax² + bx + c → +∞
• y = ax² + bx + c, a x→+∞ ax² + bx + c → -∞
• lim_x→-∞ f(x) → +∞∀M∃ x_m ∀ x > x_m => β(x)
• Deve esistere un x_m a partire dal quale il grafico della funzione assume valori più piccoli della retta -M. Questo deve essere vero per ogni M.

Funzioni illustrate

SIA f(x) ILLUSTRATO lim f(x) = l x → +∞

1. l = +∞
2. l = -∞
3. l = l

lim f(x) = l x → -∞. Per x molto piccoli, il grafico della funzione tende a confondersi con gli ASINTOTO ORIZZONTALE ∀ ε > 0 ∃ x₀ ∀ x > x₀ |f(x) − l| x → −∞ lim f(x) = +∞ x → +∞ lim f(x) = −∞.

Esercizi

• lim ax + b = ∞ x → −∞
• lim ax² + bx + c x → −∞
• lim x²x → 0
• lim f(x) = −∞ x → −∞ ∃ M > 0 ∃ x₀ ∀ x
• lim ax + b = 0 x → +∞ lim ax + bx → 0

Esempi

SIA x₀ DI ACCUMULAZIONE PER x lim_x→x0 f(x) = L ∞-∞∅ lim_x→x0 f(x) = L ∀ε>0 ∃ I_δ∋ I_ε = I_δ ∖ {x₀} ∃ I_ε={x∈R : 0<|x-x₀|<δ}

Esempio

y=2^x-1 lim_x→0 2^x=1 lim_x→0^- lnx = -∞ lim_x→x0 f(x) = ±∞ ∀M>0 ∃ I_ε ∋ I_ε = I_δ ∖ {x₀} ∃ I_ε={x∈R : 0<|x-x₀|<δ}

Intorno destro e sinistro

Intervalli Destruolim_x→x0⁺ f(x) =L ∀ε>0 ∃ I_δ∋ I_ε = I_δ ∖ {x₀}+∞ ∀M>0 ∃ I_δ∋ I_ε = I_δ ∖ {x₀}-∞ ∀M>0 ∃ I_δ∋ I_ε = I_δ ∖ {x₀}

Esempio

lim_x→0⁺ lnx = -∞ Intervalli Sinistrolim_x→x0^- f(x) =L ∀ε>0 ∃ I_δ∋ I_ε = I_δ ∖ {x₀}+∞ ∀M>0 ∃ I_δ∋ I_ε = I_δ ∖ {x₀}-∞ ∀M>0 ∃ I_δ∋ I_ε = I_δ ∖ {x₀}

Funzioni con limite destro e sinistro diversi

x → -∞ lim x → 0- 1∕x = -∞ lim x → 0+ 1∕x = +∞ Se lim x → 0- f(x) = l lim x → 0+ f(x) = l lim x → 0- f(x) lim x → 0+ f(x).

Esempio

y = ⌊x⌋ lim _{x → 2^-} ⌊x⌋ = 1 lim _{x → 2⁺} ⌊x⌋ = 2 Se lim _{x → c} f(x) = ∞ e x = c è un ASINTOTO VERTICALE.

Verifica dei limiti

lim _{x → 3^-} (2x - 1)² = ∞ ∀M ∃ I_x, I_x ⸦ I_x^- ∀ x ∈ I_x^- \ {x ₀} f(x) >= M. Nota: Operazioni coi naturali priviessi positivi si risolve valutate a seconda del sgn dei tumori CE. Se 1 + M (2x - 1)² > O - M (2x - 1)² > 1 M (2x - 1)² f(x) = (2x - 1 )

Theorem di unicità del limite

1. lim _{x → x0^-} f(x)₁ = e

Dimostrazione per absurdo(ipotesi sulle tez) lim _{x → 0^-} f(x) = e lim _{x → 0-} e = e ∀ε > 0 ∃ I_x, I_{x e - ε ⸦ |β(x) - β| ∀ε > 0 ∃ Ix⊆x ⊆ Iε,I |f(x)| e < (B ^{n+1 0 ∃ Inf 0}}

Osservazioni

Se lim f(x) −− x → x₀. La funzione può avere diversi comportamenti:

Proprietà caratteristica

1. lim f(x) = l
2. ∀ε > 0 ∃ {x ∈ Io − {x₀} ⇒ |f(x)| > 0 |f(x)

Dimostrazione per assurdo. Poniamo ε Via a fermare delle provenienze del segno sulle funzioni derio ∀x ∈ Io ε Inf{2x ∈ Io − {x₀}} f(x)

Teorema del confronto

1. ∃ lim ∀x ∈ Io − {x₀} ⇒ g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
2. lim f(x) = l lim h(x) = l lim f(x) = l x → x₀

Calcolo immediato dei limiti

Dato f(x)

1. lim f(x) + f(x) ⇒ Calcolare le funzioni nel punto x x → x₀

Esempio- lim x⁴ + 4 x → ±∞ - lim x² − 3x + 4 x → +∞ - lim √(x²+2) / x x → ±∞ lim f(x) = f(1) x → x₀

Esempio

- lim √x − 4 x → 4+0 - lim x² → ∞ x → ±∞ - lim e² = 0 x → ±∞ - lim e² → ±∞ x → ±∞ - lim e² = 2 x → 0 - lim x → 0 x → 0

Limite della somma

Nota: _x→a lim f(x), _x→a lim g(x) _x→a lim [f(x) + g(x)]

Tabella Aritmetica:

Esempi

• _x→0 lim x² * ln x -> 0
• _x→+∞ lim e^(x+2) = ∞
• _x→0 lim (1 – e)ⁿ = 0
• _x→0 lim x⁴ * (1/2) -> 0

Limite del prodotto

Nota: _x→a lim f(x), _x→a lim g(x) _x→a lim [f(x) * g(x)]

Tabella Aritmetica:

Esempi

• _x→2 lim √(x²) = 0
• _x→0 lim (x – 2) = 0
• _x→0 lim (1/e-x) = 0

Altre regole di calcolo per i limiti

Per le successioni \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = 1\)

Esempi

• \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{2n-5} = \sqrt{e}\)
• \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{n^2-2}{n^2+1}} = 1\)
• \(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = e^c, \quad c \neq 0\)
• \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n+2}{1+n} = 1 \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{3^n \cdot n} = e^1\)
• \(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n}}{b_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \to \infty\)
• \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{e^n} = 0\)
• \(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} Esempi \(\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1} = 0\)
• \(\lim_{n \to +\infty} \log a_n = \lim_{n \to +\infty} \log b_n\)

Per le funzioni

\(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = \sqrt{\lim_{x \to +\infty} x}\)

Esempi

• \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2} = \sqrt{e}\)
• \(\lim_{x \to 0^-} x \cdot e^{\frac{1}{x}} = e^{-1}\)
• \(\lim_{x \to 0^-} x e^{\frac{1}{x}} = 0\)
• \(\lim_{x \to +\infty} \log \sin(x^{-1}) - \log (\sin(x))\)

Forme indeterminate

\(\frac{\lim_{x \to 0} f(x)}{\lim_{x \to 0} g(x)}\)

Esempi

• \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+2x+1}{x-2} = 0\)
• \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
• \(\lim_{x \to -2} \frac{x-2}{x+2} = 0\)

lim x→∞ a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₚ b₀xᵐ + b₁xᵐ⁻¹ + ... + bᵩ = +∞ m = p m > p m esempi lim x⁴ + 3x³ + 2x + 3 = +∞ lim 3x⁵ - x + 7 × = -∞ lim x⁴ + 3x³ + 2x - 5 = -∞ lim x²+ 3x +1 = 0 lim x² + 3x + 1 = 0 a) lim f(x) = g(x) se cresce la velocità di x su f e g. b) f(x) è un numero unico e il numero lo sostituisce con un massimo. esempi lim x→∞ cos x = lim x→+∞ ∞ lim x→∞ (x³ + 5x - 1) = lim x→∞ 1 lim x→∞ (3√x) = lim x→∞ 1 lim x→∞ x = 1 b) Per differenza contenente espressioni irrazionali dello stesso grado si usa il procedimento verso l'esterno alla razionalizzazione. esempi lim x⁵ + 5x = x lim x = 1