Matematica generale - parte 2

Successioni Numeriche

Un termine generale delle successioni il grafico è una punteggiatura.

Si considerano dei punti ottenuti su corrispondenza dei numeri interi.

Esempio: a_n = 1/2ⁿ

Quando n diventa molto grande, gli a_n assumono sempre di più ad L:

ε > 0 ∀ m > &gn; m ε a_n - L < ε

ε è molto piccolo:

-ε < a_n - L < ε

I punti si possono avvicinare:

Dal alto Dal basso

Si priva una striscia di piano all'interno della quale cadono tutti i punti della successione dopo un determinato indice.

Questo distrae da L per qualsiasi ε.

Esempio:

Sia a_n una successione

Esempio: a_n = {1, 0, 4, 9, 16, 25, 36}

lim a_n = L n -> ∞

CONVERGENTE

SUCCESSIONE REGOLARE (assomiglia un limite)

DIVERGENTI

Successioni monotone

Oscillazioni

lim a_n = 0

Oscillazioni frazionali (collegamento modulo)

Verifica dei limiti

1. _limn→∞ (2n² + 3n + 1) / (2n+3) = 0

   n→∞

   1 / (2n+3) < ε

   1 / (2n+3) < ε

   2n+3 > 1/ε

   2n > 1/ε - 3

   n > (1/ε - 3)/2

   n > 2 - 3ε / 2ε

   ε = 0,01

   1/ε = 100

   n > 2 - 3*0,01 / 2*0,01

   n > 85

2. _limn→∞ n² + 1 / eⁿ = 0

   ∃M ∀m ≥ m: a_m > 0

   n² + 1 < 1/ε

Successioni Monotone

Dato a_n

• È monotona crescente se ∀n > 0 a_n ≤ a_n+1
• È monotona decrescente se ∀n > 0 a_n ≥ a_n+1
• È monotona non decrescente se ∀n > 0 a_n = a_n+1
• È monotona non crescente se ∀n > 0 a_n = a_n+1

Esempi

• Crescente a_n = n/2ⁿ²
• Non crescente a_n = (1/2)ⁿ

Teretta sulle successioni monotone

1. Se a_n è limitata decrescente
2. Se a_n è limitata crescente

Dimostrazioni

Dimostrazione 1

• Se a_n è crescente e {a}_n è limitata
• ∃ sup {a}_n, m ∈ [n]

Proprietà del S_p

• ∀n a_n ≤ S
• ∀ε > 0 ∃m ≥ m: S - ε < a_m ≤ S

Quindi:

• ∀ε > 0 ∃m ≥ m: S - ε < S < S + ε
• Quindi: _limn→∞ a_n = S

Limiti per funzioni reali di variabile reale

Limiti per \(f: X \to \mathbb{R}\)

Sia \(x\) superiormente illimitato

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\)

Per \(x\) molto grande, il grafico assume a comportamento tale da avere \(\ell\) come asintoto orizzontale.

\(\forall \varepsilon > 0 \, \exists \bar{x} \, \forall x > \bar{x} \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon\)

\(\varepsilon > 0\)

Esempi:

• \(y = a^x \quad 0 < a < 1\)
• \(\lim_{x \to +\infty} a^x = 0\)
• \(y = \frac{1}{x^n}\)
• \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0\)

Mostra \(\exists \bar{x} \, \forall x > \bar{x} \Rightarrow |f(x)| > M\)

Quindi esiste una retta orizzontale dove il grafico della funzione assume valori più grandi delle rette \(M\).

Questa deve essere vera per ogni \(M\).

Esempi:

• \(y = ax+b \quad a > 0\)
• \(\lim_{x \to +\infty} (ax + b) = +\infty\)
• \(y = ax^2 + bx + c\) con \(a > 0\)
• \(\lim_{x \to +\infty} (ax^2 + bx + c) = +\infty\)
• \(\lim_{x \to -\infty} (ax^2 + bx + c) = +\infty\)

Limite della somma

Nota

lim_x→∞ f(x) ; lim_x→∞ g(x)

lim_x→∞ (f(x) + g(x))

Tabella dimostrativa

Esempi

1. lim_x→∞ (√x + x) = ∞
2. lim_x→∞ (x / e) = ∞
3. lim_x→2 (x-2) = ∞
4. lim_x→0 (e^-x + e^x) = 1

Limite del prodotto

Nota

lim_x→0 f(x) ; lim_x→c g(x)

lim_x→0 f(x) ⋅ g(x)

Tabella dimostrativa

Esempi

1. lim_x→0 (sin x / x) = 1
2. lim_x→∞ (x² / e^x) = 0
3. lim_x→0 (ln x) = -∞