Matematica Generale - Parte 2

y = f(x)

D f'(x) D f''(x) D f'''(x)

f''''(x)

f⁴(x) f⁵(x) f^(m)(x)

D (sen x) cos x - sen x - cos x sen x

D (x³) 3x² 6x 6 > 0

D (e^x) e^x x e^x

y = f(x) D (f(x)) = y' D (f(x)) = f'(x) D (f(x)) = df/dx

D (f^-1) = 1/f' = dy/dx = 1/dx

(t⁵x₈y₇) w f(g(R(+1))) = w

dw/dt - du/dy df/dx dt/dt

Teoremi su funzioni derivabili

Fermat

Dep. punto di massimo/minimo Relativo : x₀ ∈ D_f

∃ y'(x₀): ∀ x ∈ g(X₀)

g(x) ≥ g(x₀); x₀ in t. di minimo (rel)

f(x) ≤ g(x₀); x₀ t. t. t. di massimo (rel)

x₀ h. to MAX Relativo

f(x₀) ≥ f(x) ∀ x ∈ g(X₀)

f'(x₀) = f'(x) = 0

LIM x → x₀ | f(x) - f(x₀), LIM x → x₀ | f(x₀) - f(x)

LIM → 0

f'(x₀) ≥ 0, LIM ≤ 0 f'(x₀) = f' (x₀) = 0

Teorema di Fermat: x₀ punto di Max/Min Relativo

|x|₁

- f’(x₀) = 0 f’(x)₀ (intorno di x₀)

Università

Teorema di Rolle: f ∈ C([a,b]) e f ∈ D([a,b[) e f’ integrale

f(b) = f(a) ⇒ Ǝ x₀ : f’(x₀) = 0

Teorema di Lagrange:

f ∈ C([a,b]) e f ∈ D([a,b[) ⇒ Ǝ x₀ : f’(x₀) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Monotonia:

f(x) crescente ⇔ f’(x) ≥ 0 in ]a, b[

x ∈ C : x > x₀

e^x = 1 - x + x² / 2! - x³ / 3! + ...

x²e^x = x² - x³ + x⁴ / 2! - x⁵ / 3!

e^x notevole ciò

∀x₁; x₂

∃x₁; x₂

una funzione è convessa se un x il segmento cade sopra f(x)

NO GRAFICO

convesse/concave

Def. Relativa ad un certo intervallo

F. derivabile 2 volte

f'(x) > 0

f''(x) > 0

f''(x) < 0

crissi e accrescimento

(x₁, x₂) ⟹ y₂ > p'(x₁)

Som ⩾ f(x)

f(x) | convessa

convessa ⟺ f'(x) ♁ < 0

f(x) convessa ⟺ f'(x) crescente

f(x) convessa ⟺ f''(x) > 0

X,Y=||X||·||Y||·cosθ=0

Vector nullo

the cosθ=0=>θ=^π⁄₂:

Punto: ( ±1,0,0;...;0 )

cosθ |∏¹| max c

d²β = ∫ dx + λY |∏¹∏³ | |∏ | ||∏ | Hess matrice Hessiana(graficamente i elementi simmetrico-trasagico)

dβ = β(X₀) + β'(X₀)(X-X₀) +∫ / 3 Z (X- X₀)^t

X₀, = Jacopeano

g : R → R

β(X) = ∫ β(X₀) + dβ | (β(X₀) + d² | monotona rispetto con distanza)

fβ'(X₀)dx + fβ'(X₀)dx + (m,n) (n,m)

Schwarz

H = |||∏Xy dx || ∏xy ||

HAX

f(X) = g(X₀) + dβ (X₀)+ d²f∫ g(X) + o

|∏ (^xt 6^x|)

|∏ ∂ |∏ |∏ (con icarus)

CONCAVO

MIN Convesso

Maglia allineato Graficamente rigido

Teoria: gli integrali sono sviluppati fino al 1860

∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)

Problema essenziale: trovare le (de)primitive

∫ f'(x) dx = ∫ f(t) dt = F(x) + h

• ∫ m dx = mx + q = ∫ m dx = mx + k
• ∫ x^m dx = 1/m+1 x^m+1
• ∫_1/x dx = ln | x | + h

∫ x⁵ dx = 1/6 x⁶

∫ e^x dx = e^x + h

∫ a^x dx = a^x ln a

• ∫ log₂x dx = x ln a
• ∫ cosx dx = sen x + h
• D(sen x) = cos x

x² = t

∫ 1/cos²x dx = tg x + h

∫(3x dx = 1/3 ∫ e^x dx non esiste

• A
• B
• Non B
• A ∨ B
• (A ∨ B) => Non B
• (A ∧ B)
• (A ∧ B) => Non A

0 0 1 0 1 0 1

1 0 1 1 1 0 0

1 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0 1

[ (A ∨ B) => Non B ] ∨ [ (A ∧ B) => Non A ]

0

1

1

Esercizi Completo (dal 12) (Completo 8)

1) f(x) = 4e^3x - 3e^x P.E x ∈ R

lim x → +∞ 4e^3x - 3e^x = +∞

lim x → -∞ (-∞ -∞)

4e^x(e^2x) = 0

4e^x ≥ 3e^x > 0

4x ≥ 3x ⇔ x ≥ 0 ⇔ x =

x ≤ 4 ³ ⇒ x ≤ 4 ³

) - 3e^x→ x

f(0) = 1

⇒

f'(x) = 4 . 3 . e^3x - 3 . 4 e^x

= 12. e^3x - 12e^x > 0

⇒ 12e^x(-1 - e^2x) > 0

⇒ e^x ← → x ≤ 0

f''(x) = 12 . 3. e^3x - 12. 4 . e^x

= 36x² - 4ee^x > 0

⇒ 12e^y(3-4e^x) > 0

4e^x - 3 ⇒ e^x ≤ ³

5) f(x,y)=2x²-3x+3y²-3xy²

∂f/∂x = 4x-3-3y²=0

∂f/∂y = 6y-6xy = 6y(1-x) = 0

x=4-3-3y²-3x-3y=0

(x= 3/4) (x=1 y= 4√3) (x= √3)

H = |4 -6y| |4 0| Min

|-6y 6-6x | |0 3/2 |

H₁ >0 H₂ = (4·6-0²) >0

H(µ, √3)= |-4 -6√3| = Sella

|-6√3 0 |

H(µ,√3)= |-4 6√3| = Sella

|6√3 0 |

6) f(x) = lg(x-2) ➔ m = ¹/_x-2 f'(x))

7) f(x) = x³+2x+4 x_o = X= 1,3 {applicando in Taylor f(x)=f(x_o)+f´(x_o)(x-x_o)+o(x-x_o)

f(x)=x³+2x+4

f'(x)=f'(4)=[p(x_o=)f'(d)=

8,29

| X_o | |> A: B: X