Matematica generale - parte 1

LOGICA MATEMATICA

PROPOSIZIONE: affermazione che può avere solamente due possibilità: o è VERA o è FALSA. Non ammettono valutazioni soggettive.

Esempi:

• "6 è un numero pari" - è FALSA
• "6 è un multiplo di 3" - è VERA

Soggetto - Predicato

Se il soggetto è indicato con una lettera si dice che la proposizione è DECIDIBILE.

Esempio:

• P: "n è un numero divisibile per 3"
• n=6 è vera
• n=8 è falsa

PROPOSIZIONI SEMPLICI:

soggetto + predicato

PROPOSIZIONI COMPOSTE:

combinazioni di più affermazioni che devono verificare un certo risultato.

Arresi: combinazioni di più proposizioni semplici mediante operazioni logiche.

PROPOSIZIONE EQUIVALENTE

Date P e Q, diciamo che le due proposizioni sono equivalenti se in corrispondenza allo stesso soggetto hanno lo stesso contenuto di verità.

Esempio:

• P: "n è un numero divisibile per 3"
• Q: "n è un numero tale che la somma delle cifre che lo compongono è divisibile per 3"
• P e Q sono EQUIVALENTI in quanto sono due affermazioni che dicono la stessa cosa in modi diversi.

Operazioni Logiche

Somma Logica

Dati P e Q si dice somma logica di P e Q e si indica con P V Q la proposizione che è vera se e solo se almeno una delle proposizioni è vera.

Esempio

• P: "n è un numero divisibile per 3"
• Q: "n è un numero divisibile per 2"
• P V Q: "n è un numero divisibile per 3 o n è un numero non divisibile per 2"

Tabella di verità

• P Q P V Q
• V V V
• V F V
• F V V
• F F F

Prodotto Logico

Dati P e Q si dice prodotto logico di P e Q e si indica con P ∧ Q la proposizione che è vera se e solo se entrambe le proposizioni P e Q sono vere.

Esempio

• P: "n è un numero divisibile per 3"
• Q: "n è un numero divisibile per 2"
• P ∧ Q: "n è un numero divisibile per 3 e (contemporaneamente) n è un numero divisibile per 2"

Tabella di verità

• P Q P ∧ Q
• V V V
• V F F
• F V F
• F F F

Prodotto cartesiano

Dato A, B uguali {x, y, z, w}, A × B = {(x,y)| x ∈ A e y ∈ B}

• (1,3),(2,3)
• (1,3),(4,5)
• (4,1),(5,1)

Applicazioni e funzioni

Dato A e B un vuoto, si dice applicazione o funzione di A in B una legge di natura palese che associa ad ogni elemento a ∈ A uno ed uno solo elemento b ∈ B tale che:

• f: A → B
• a → b = f(a)

A – dominio

f(A) = {b ∈ B | b = f(a) ∈ a ∈ A}

f(A) ⊆ B

Proprietà suriettive

Data f: A → B si dice che è suriettiva se f(A) = B allora si dice che B ∈ f(a) per qualche elemento ∈ A

Anche gli estremi di un intervallo sono punti di frontiera se il sistema è chiuso.

Esempio

A = \{ x \in \mathbb{R},1<x \leq 3\} → f(A)=A \cup \{0\}

Se c \in \mathbb{R} si dice che x è un punto di accumulazione per A se in ogni intorno di x ci sono infiniti punti di A diversi da x.

Osservazione

I punti isolati sono tutti di accumulazione.

I punti di frontiera che non sono isolati sono punti di accumulazione.

Esempio: Insieme continuo

A = [0,1]

1. _int(A) = (0,1)
2. f(A) = [0,1]

sup A = 1

inf A = 0

Esempio: Insieme discreto

A = \{x \in \mathbb{R}:-1 + \frac{1}{x}\;|\;x \in \mathbb{N}\}

A = \left\{-\frac{1}{1},-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\ldots\right\}

n pari: \ldots

int(A) = ∅

f(A) = A \cup \{1,-1\}

Si dice aperto se è tutto costituito da punti interni.

Si dice chiuso se il suo complementare è aperto.

Si dice aperto se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Esempio: [0,1]

Successione

• ₁₎ Indicare la posizione di ogni addendo che è funzione di indice.
• ₂₎ Individuare il numero di addendi che si possa addizionare a valore è restato all'ultimo addendo.

Esempio

• _{1,\;2,\;3,\;\ldots,\;n}
• Somme particolari
• ∑: somma degli a progressivi antinaturali

Esempio

• \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots = 1

Esempio: serie geometrica: \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{1}{k^2}

S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Ogni qualvolta una progressione aritmetica quadratica è affetta dal principale numeratore suo quarto punto, calcolare S(n) = \left(\frac{n}{2}\right)(\frac{n+1}{2})(2n+1)

Esempio

Osservazione

Esempio

f(x) = x+1 g(x) = |x| h(x) = x² - 2x

• g o g(x) = g(g(x)) = |x|
• f o g(x) = f(g(x)) = f(|x|) = |x| + 1
• h o f(x) = h(f(x)) = h(x+1) = (x+1)² - 2(x+1)
• g o f(x) = g(f(x)) = |x+1|
• h o g(x) = h(g(x)) = (|x|)² - 2|x|

Esempio

h(x) = ln x x^x g o h(x) = 1

1. ln x
2. g o h(x) = ln x

x / a+b x / a+1 z / z+1 x / z z / 1 N.B. f(x)^-1 inversa

g(x)^-1 x^-1

D: X / f(x)^-1 g^-1(x) = g^-1(x) = x

Quando si calcola l’inversa di una funzione si invertono la variabile dipendente Funzioni elementari Funzione costante (polinomio di grado 0)

• Dominio: R
• Codominio: {k}

Dominio di: Codominio di: Funzioni crescenti e decrescenti

Esempio

f(x) = 3/x - 2

x / f^-1 0 / 3 2

Funzione di secondo grado f(x) = ax² + bx + c Parabola

Dominio: R Codominio: R a > 0 (0(-br>)

• Non è limitata: Non è né limitata a > 0
• Intercetta asse y:

1) Intersezione asse y: x=0 y = ax² + bx + c y=c

2) Intersezione asse x: y = 0 ax² + bx + c , ax² + bx + c x^A = (-b < >)

• a>0
• a ≠ 0, N

Esterno

1. y = |e^x ± 1|
2. y = e^x
3. y = e^x: trasl. verticale
4. y = |e^x ± 1|

Dilatazioni o contrazioni

y = k·g(x) k ∈ ℝ, 0 ≤ k < 1

CONTRAZIONE: più k è piccolo tanto più le oscillazioni si riducono.

k = 0 g(x) = asse delle x

DILATAZIONE: accelerazione delle oscillazioni

k > 1

Massimi o minimi

y = max {f(x), g(x)} y = min {f(x), g(x)}

Estremo

y = max {e^x - 2x + 1}

• 0 ≥ 2x + 4
• 0 ≥ -2x + 1

y = min {e^x, 2x + 1}

Ricerca del dominio

• f: X → ℝ
• X = {x ∈ ℝ | per i quali riesce a calcolare}

Dominio funzioni algebriche razionali f:

• Polinomi P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = P: ℝ