Matematica generale parte 1

A R

Divisione tra polinomi • = Q+

D D

Regola di • Le radici posiitve di un'equazione algebrica reale in

un'incognita sono in numero non superiore a quello delle

variazioni di segno nella successione dei coefficienti, e la

Cartesio differenza è un numero pari

Vettori numerici

• Si dice vettore numerico (reale) ad n componenti una n-

pla ordinata di numeri reali, detti sue componenti

Definizione

• = ∈ ℝ ⇔ ∈ ℝ ( = 1, 2, … , )

1

• ℝ = {( )| ∈ ℝ, = 1, … , }

• 0 è il vettore nullo

Operazioni fondamentali

• Somma tra vettori

• + = ( + )

• La somma si fa componente per componente

• Proprietà

• + = + - commutativa

• + + = + + - associativa

• Prodotto di un vettore per un numero reale

• ∝ = (∝ )

• Proprietà

• = () - associativa rispetto alla moltiplicazione tra scalari

• + = + - distributiva per somma di scalari

• + = + - distributiva per somma di vettori

• Prodotto scalare

• × =

12 2

• = × = + ⋯ +

• Proprietà

• × = × - commutativa

• + × = × + × - Distributiva per somma di vettori

• × = × = ( × ) - Associativa rispetto alla moltiplicazione

per uno scalare

Combinazioni lineari e spazi vettoriali

≥ 1 ℝ : , … ,

• Si assegnano un numero qualunque di vettori di ed

1

, … ,

altrettanti numeri reali 1

• Si chiama combinazione lineare dei vettori con i coefficienti il vettore

=

=1

• ℝ è chiuso rispetto all'operazione di combinazione lineare e cioè, usando

ℝ

vettori originari appartenenti ad si ottiene un altro vettore appartenente a

quello spazio

• Si chiama "spazio vettoriale reale" un insieme di vettori chiuso per combinazioni

lineari reali in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto per uno

scalare che generano sempre un altro vettore appartenente a quell'insieme

Sottospazi vettoriali

• Sia W un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V qualunque

• I vettori di W possono essere combinati tra loro generando ancora vettori di V

• Se i vettori di W generano vettori appartenenti ancora a W allora esso è un

sottospazio vettoriale dello spazio V che lo contiene

3 3

• = 0, , ∈ ℝ → ℝ

W è sottoinsieme di ed è chiuso rispetto alle

combinazioni lineari in quanto generano altri vettori W che giacciono su quel

piano

Dipendenza ed indipendenza lineare

≥ 1

• Dati vettori appartenenti ad un qualunque spazio vettoriale, essi si

dicono linearmente dipendenti tra loro se esiste una loro combinazione lineare

= 0

reale (non banale) che dia il vettore nullo

• Si dicono linearmente indipendenti tra loro nel caso contrario che non esiste

questa combinazione che dia il vettore nullo

Casi di dipendenza

Un vettore Due vettori vettori

(< )

• Un vettore è • Due vettori sono dipendenti • Se tra vettori ve ne sono

indipendente se e tra loro se e soltanto se dipendenti tra loro, allora sono

0 sono proporzionali dipendenti tra loro tutti gli vettori

solo se non è • + = 0 ⇒ = • + ⋯ + = 0

• = 0 ⇔ = 0 1 1

• + ⋯ + + 0 + ⋯ +

− 1 1 +1

0 = 0

• Due vettori ortogonali (e

• Se vettori sono dipendenti tra

non nulli) sono indipendenti loro, almeno uno di essi è

tra loro combinazione lineare dei rimanenti

• − = 0 ⇒ × = • = 0

× = ( × ) =

2 2

• = − − ⋯ −

≠ 0 ⇒ i vettori non 2

1 1

possono essere ortogonali • Se un vettore è combinazione

, + 1

• Due vettori possono essere lineare di altri gli altri

indipendenti senza essere sono dipendenti tra loro

ortogonali • = ⇒ − = 0

()

• Il rango di un insieme di vettori appartenenti

Rango ad uno stesso spazio vettoriale è il numero massimo di

vettori indipendenti tra loro che è possibile trovare in

• Riferimento ad un insieme di vettori qualunque

Basi di uno spazio

vettoriale

Sistema di generatori Basi

• Un sistema di generatori per lo spazio • Una base di uno spazio vettoriale è un

vettoriale V è un insieme di vettori di V tale sistema di generatori dello spazio formato

che ogni vettore di V possa esprimersi come da vettori linearmente indipendenti tra loro

loro combinazione lineare • Se B è una base per V, allora ogni vettore di

• Se i vettori che lo formano sono dipendenti V può esprimersi in uno ed un solo modo

tra loro allora si può scartare uno di questi come combinazione lineare di elementi di B

vettori sena che quelli rimanenti perdano la • = { , … , } è una base per V

1

capacità di generare V costituita da vettori linearmente

•= indipendenti

=1

• = • = =

per il teorema di prima

1

=2

• = + + ⋯ + = • − = 0

1 1 2 2

+ ⋯ + + + ⋯ + • − = − = 0

2 2 2 2

• =

dim ()

• La dimensione di uno spazio vettoriale è il

numero dei vettori di ogni base

Dimensione • Se uno spazio vettoriale ha dimensione n, è impossibile

trovare in esso più di n vettori indipendenti tra loro

• Riferimento agli spazi vettoriali

= { , … , }

• Considerata una base per e ciascun

1

∈ rappresentabile in uno ed un solo modo come

=

Coordinate ∈

• Si chiamano coordinate di rispetto alla base i

coefficienti dell'unica combinazione lineare che esprime

in termini degli elementi di

Matrici

Definizione

• Una matrice è un quadro di numeri reali disposti su m righe ed n colonne

• La matrice ha un doppio ordinamento rispetto al vettore

1

• = =

2 1 2 3

3

11 12 13

• = = 21 22 23

31 32 33

• Si calcola solo nelle matrici quadrate

• Regola di Sarrus nella 3x3

• Regola dei triangoli nella 3x3

• Laplace

• Il determinante di A è la somma dei prodotti degli

elementi di una linea di A, arbitrariamente scelta,

per i rispettivi complementi algebrici (Laplace)

• Si chiama compelemento algebrico dell'elemento

∈ il determinante della matrice ottenuta da A

cancellandone la riga e la colonna di ,

+

−1

moltiplicato per

• Proprietà dei determinanti

0 → det = 0

• Una linea di

• Scambiando due linee il determinante cambia di

segno → det = 0

• Due linee uguali per cui

Determinante scambiando queste due righe ottengo una

matrice uguale alla precedente e quindi l'unico

determinante che non cambia di segno è 0

• = −

→ det = 0

• Due linee proporzionali per cui

,

ponendo in evidenza la matrice si riduce ad

avere due linee uguali

• Aggiungendo ad una linea una qualunque

combinazione lineare delle altre, il determinante

non cambia

• Se le linee della matrice sono dipendenti tra loro

det = 0

allora

• Una linea la possiamo scrivere come

combinazione lineare delle altre e

successivamente possiamo sottrarre quella linea

alla stessa combinazione lineare delle altre linee

e quindi avere una linea di zeri e quindi

det = 0

• Si chiama minore di ordine p di una matrice A il

determinante di qualunque matrice che si può costruire

a partire da A fissandone, a piacere, p righe e p

colonne, e prendendo poi gli elementi che restano così

individuati

• Si chiama rango, o caratteristica di A, e si denota con

, l'ordine massimo dei suoi minori non nulli; ciò

implica che:

• La matrice A possiede almeno un minore di ordine p

diverso da 0

• Tutti i minori di A di ordine maggiore di p sono nulli

• 0 ≤ ≤ min(, )

• Considerazioni

• 0 quando tutti i valori sono nulli

• Il rango di una matrice non cambia se se ne

scambiano le linee tra loro, o se ad una linea si

aggiunge una qualunque combinazione lineare delle

altre

• In ogni matrice, il numero massimo di righe

Rango indipendenti tra loro è uguale a quello delle colonne

indipendenti tra loro

• Il rango di una matrice è uguale al numero massimo

di righe e colonne indipendenti tra loro che essa

possiede

• La determinazione del rango di un insieme di vettori

numerici si effettua costruendo con i vettori assegnati

una matrice e si calcola successivamente il

determinante per ottenerne il rango; il numero

massimo di vettori linearmente indipendenti estraibili

ℝ )

da (spazio di dimensione è dato che se i

vettori hanno componenti, la matrice che con essi si

può costruire non può avere rango maggiore di

• Il rango ci permette di capire quanto sono

linearmente dipende