Matematica generale parte 1

Insiemistica

Logica formale

•⇒

• A implica B

• A è condizione sufficiente per B

• ⇐

• B è condizione necessaria per A

•⇔

• A è condizione necessaria e sufficiente per B

Insiemi privi di struttura

• = {1, 2, 3}

• Gli insiemi privi di struttura sono insiemi che hanno determinati oggetti non

legati in modo algebrico tra loro

• Un insieme è definito quando, dato comunque un oggetto, possiamo

determinare se tale oggetto è o non è un elemento appartenente all'insieme

Relazioni tra insiemi

• ⊆ ⇔ (∝∈ ⇒ ∈ )

• Inclusione impropria

• ⊂ ⇔ ≠ ; (∝∈ ⇒ ∈ )

• Inclusione propria

()

• = { ∈ : ∉ ⊂ }

• Insieme complementare

• ∪ = {: ∈ ∈ }

• Unione di insiemi

• ∩ = {: ∈ ∈ }

• Intersezione di insiemi

• X ed Y sono equipotenti, o hanno la stessa potenza, o la stessa cardinalità

• I due insiemi hanno lo stesso numero di elementi

• Tra questi due insiemi posso stabilire una corrispondenza biunivoca

• 1 elemento di X corrisponde ad un solo elemento di Y

• ℕ = {1, 2, 3, … }

• Insieme strutturato algebricamente in quanto i suoi elementi

sono numeri ed è possibile effettuare tra loro operazioni

aritmetiche di somma e prodotto

• Caratteristiche

• Insieme numerabile

→

• Insieme contatore corrispondenza biunivoca con insiemi

equipotenti

• Insieme definito

Numeri • Insieme infinito formato da infiniti elementi

• Insieme discreto formato da elementi isolati

• Operazioni

naturali • + ∈ℕ⇒ℕ

• ∗ ∈ℕ⇒ℕ

• Chiuso rispetto a somma e prodotto

• Proprietà

• + =+

• =

• + + = + ( + )

• = ()

• + = +

• 0 =

• 1 =

•ℕ⊂ℤ

• ℤ = {… , −2, −1, 0, 1, 2}

• Insieme strutturato algebricamente

• Caratteristiche

Numeri • ℤ ℕ

ha come sottoinsieme proprio e sono tra loro

equipotenti

• Operazioni

interi • Chiuso rispetto a somma, prodotto e differenza

• Proprietà ℕ

• Stesse proprietà di

• Ammette l'inverso additivo

• ∃ ∈ ℤ| + = 0 ⇒ = −

• Non ammette l'inverso moltiplicativo

•ℕ⊂ℤ⊂ℚ

•ℚ= , ∈ ℤ; ≠ 0

• Insieme strutturato algebricamente

• Caratteristiche

Numeri • ℚ, ℤ ℕ

ed sono equipotenti

• Operazioni

• Chiuso rispetto a somma, prodotto, differenza, divisione

razionali • Proprietà ℤ

• Stesse proprietà di

• Ammette l'inverso moltiplicativo

1

• = 1 ⇒ = ; ≠ 0

−1

• = → , ∈

ℚ; ≠ 0

• Un polinomio razionale di grado n in una variabile è

un'espressione del tipo:

−1

• + + ⋯ + +

Polinomi −1 1 0

=0

•

• , , sono numeri razionali

0 1

ed • Il grado del polinomio è dato dalla somma massima delle

potenze delle variabili di un monomio

• Una equazione algebrica razionale di grado n in una incognita

equazioni si ottiene uguagliando a 0 il polinomio razionale

• = 0 è una equazione algebrica

algebriche sin log = 0

• Non è una equazione algebrica

• = , ∈ ℚ

• = 0 = 0 allora è identicamente soddisfatta ed

razionali ammette infinite soluzioni

• = 0 ≠ 0 allora non ci sono soluzioni

• sin = 0 non è identicamente soddisfatta ma ammette

infinite soluzioni

ℚ ℝ ℂ

2 2

• 2 − 3 = 0 • − 2 = 0 • + 1 = 0

•ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ

• ℝ = ℚ + irrazionali

• ℚ = algebrici

• Irrazionali = algebrici + trascendenti

• Algebrici sono i numeri soluzioni di equazioni algebriche

, )

a coefficienti razionali (senza

• Trascendenti sono i numeri non soluzioni di equazioni

algebriche a coefficienti razionali ma ottenuti con vie

Numeri geometriche o con limiti o con funzioni logaritmiche o

esponenziali ecc.

• Insieme strutturato algebricamente

reali • Caratteristiche

• ℝ è un infinito continuo e quindi non ha la stessa

ℕ, ℤ, ℚ

cardinalità di e quindi non è un insieme numerabile

poichè ci sono anche i numeri trascendenti

• ℝ ℕ

ha una potenza superiore a

• Operazioni

• Chiuso rispetto a somma, prodotto, differenza, divisione

• Proprietà

• Ammette tutte le proprietà degli insiemi precedenti e tutti

gli inversi

•ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ 2

• ℂ = { + |, ∈ ℝ; = −1}

• = parte reale

= unità immaginaria

• i

• b = coefficiente dell'immaginario

• ib = parte immaginaria

1 1

• = = non è un numero complesso

+

1

• = = −

2

• Insieme strutturato algebricamente

• Caratteristiche

• ℂ ℝ

ha la tessa cardinalità di

• ℂ ℝ

non è un insieme ordinato come

• ℝ

Numeri si identifica con una retta

• ℂ si identifica con un piano

• Non è possibile stabilire se un numero complesso è

complessi maggiore di un altro

• Operazioni

• + + + = + + ( + )

• + + = − + ( + )

5−2 (5−2)(3−4)

• = = +

3+4 (3+4)(3−4) 25 25

• Chiuso rispetto a somma, prodotto, differenza, divisione

• Proprietà

• Ammette tutte le proprietà degli insiemi precedenti e tutti

gli inversi = + = −

• Il coniugato di è ≠ 0

• Inverso moltiplicativo di z è con

• Si contano anche i coniugati per la regola della divisione

• + = +

• = ∗

(; )

√ 2 2

+

Piano di Argand - Gauss

• In questo piano i numeri reali si identificano con l'asse delle ascisse

• Se nel semipiano superiore troviamo z allora sotto troviamo il coniugato di z

2 2

• = + − = + ≥ 0

2 2

• + = = ∈ ℝ

• La norma si riduce al modulo quando il numero è reale

• La norma traccia una circonferenza intorno all'origine nel piano di Argand -

Gauss

Algebra • Complessi n ≥ 1

• Ogni polinomio complesso di grado ammette n

zeri (non necessariamente distinti) nel campo

complesso n ≥ 1

• Un'equazione algebrica complessa di grado

ammette n soluzioni (non necessariamente distinte)

Teorema nel campo complesso

• Reali

fondamentale • Ogni polinomio reale di grado n ammette al più n zeri

dell'algebra reali mentre n zeri complessi

• Un'equazione reale di grado n ammette al più n

soluzioni reali mentre n radici complesse

• Se un'equazione reale ammette una radice complessa,

ammette anche la radice complessa coniugata

• Un'equazione reale di grado dispari ammette sempre

almeno una radice reale

> 0 due soluzioni reali e distinte

2

∆= − 4 = 0 due soluzioni reali con molteplicità 2

< 0 due soluzioni complesse e coniugate

Teorema di (), ()

• Se è uno zero di è divisibile per il polinomio

0

( − )

0

• = ∗ ( − )

Ruffini 1 0

• = − − − … ( − )

1 2 3

A R

Divisione tra polinomi • = Q+

D D

Regola di • Le radici posiitve di un'equazione algebrica reale in

un'incognita sono in numero non superiore a quello delle

variazioni di segno nella successione dei coefficienti, e la

Cartesio differenza è un numero pari

Vettori numerici

• Si dice vettore numerico (reale) ad n componenti una n-

pla ordinata di numeri reali, detti sue componenti

Definizione

• = ∈ ℝ ⇔ ∈ ℝ ( = 1, 2, … , )

1

• ℝ = {( )| ∈ ℝ, = 1, … , }

• 0 è il vettore nullo

Operazioni fondamentali

• Somma tra vettori

• + = ( + )

• La somma si fa componente per componente

• Proprietà

• + = + - commutativa

• + + = + + - associativa

• Prodotto di un vettore per un numero reale

• ∝ = (∝ )

• Proprietà

• = () - associativa rispetto alla moltiplicazione tra scalari

• + = + - distributiva per somma di scalari

• + = + - distributiva per somma di vettori

• Prodotto scalare

• × =

12 2

• = × = + ⋯ +

• Proprietà

• × = × - commutativa

• + × = × + × - Distributiva per somma di vettori

• × = × = ( × ) - Associativa rispetto alla moltiplicazione

per uno scalare

Combinazioni lineari e spazi vettoriali

≥ 1 ℝ : , … ,

• Si assegnano un numero qualunque di vettori di ed

1

, … ,

altrettanti numeri reali 1

• Si chiama combinazione lineare dei vettori con i coefficienti il vettore

=

=1

• ℝ è chiuso rispetto all'operazione di combinazione lineare e cioè, usando

ℝ

vettori originari appartenenti ad si ottiene un altro vettore appartenente a

quello spazio

• Si chiama "spazio vettoriale reale" un insieme di vettori chiuso per combinazioni

lineari reali in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto per uno

scalare che generano sempre un altro vettore appartenente a quell'insieme

Sottospazi vettoriali

• Sia W un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V qualunque

• I vettori di W possono essere combinati tra loro generando ancora vettori di V

• Se i vettori di W generano vettori appartenenti ancora a W allora esso è un

sottospazio vettoriale dello spazio V che lo contiene

3 3

• = 0, , ∈ ℝ → ℝ

W è sottoinsieme di ed è chiuso rispetto alle

combinazioni lineari in quanto generano altri vettori W che giacciono su quel

piano

Dipendenza ed indipendenza lineare

≥ 1

• Dati vettori appartenenti ad un qualunque spazio vettoriale, essi si

dicono linearmente dipendenti tra loro se esiste una loro combinazione lineare

= 0

reale (non banale) che dia il vettore nullo

• Si dicono linearmente indipendenti tra loro nel caso contrario che non esiste

questa combinazione che dia il vettore nullo

Casi di