Matematica Generale I - Appunti

INSIEME DI NUMERI REALI

a, b ∈ R con a ≤ b

INTERVALLO CHIUSO:

insieme che indichiamo con a, b tutti gli x ∈ a R tali che ∀ a ≤ x ≤ b

[a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}

INTERVALLO APERTO:

insieme che indichiamo con a, b tutti i numeri reali x ∈ A tali che ∀ a < x < b

(a, b) = {x ∈ R: a < x < b}

INTERVALLO:

relaz. - d’ordine indotta da R

• a, b sono detti ESTREMI
• Se intervallo è chiuso contiene estremi, altrimenti non li contiene (a < x)
• i numeri reali si rapportano con la retta che ha origine ad ogni punto è un concetto espresso da un numero.

Determiniamo origine e verso di percorrenza della retta

ci applichiamo geo. - euclidea

b - a anche lunghezza intervallo e lunghezza è il numero b - a dell’intervallo chiuso [a, b] e di quello sperto (a, b)

si definisce l’intervallo → a e dx e chiuso a dx s’ insieme [a, +∞) = {x ∈ R, x > a}:

• “tutti i numeri reali appart. a R tali che x ≥ a”

si definisce l’intervallo → a e dx e aperto a dx s’ insieme (a, +∞) = {x ∈ R, x > a}:

• “tutti i num. reali appart. a R tali che x > a”

anche definiz. per: (-∞, b) per b ∈ R

R⁺ è sottinsieme di x ∈ appartiene a R tali che x e positivo

R⁺ = {x ∈ R, x > a} = (0, +∞)

“E il sottinsieme dei numeri… reali positivi”

[a,b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} contiene solo 1 dei suoi estremi.

esistono sottoinsiemi di R che non sono intervalli

es. P = {x ∈ R : x = 1/n n ∈ N - {0}}

INSIEME LIMITATO

E ⊆ R, E ≠ ∅ (∅ = insieme vuoto)

E è superior-.-limitato se ∃ N ∈ R tale che ∀ x ∈ E n ha x ≤ N

N è un maggiorante per E

E è inferior-.-limitato se ∃ M ∈ R tale che ∀ x ∈ E m ha x ≥ M

M è un minorante per E

E è illimitato superior-.- (rispettiam-.- - illimitato inferior-.-)

E non ammette maggioranti (rispettiv-.- minoranti)

E è limitato se è limit.- suprem-.- e infer-.-

insi tuti gli stravi con i-.-il­limitati

es. Z (interezzo-) = {x ∈ R, x < 0} Z ins-.-unmerie

e Z - insieme illimit.- infer-.- interi

E può avere + maggioranti o minoranti, anche ∞

un maggior.- o minor . può non appartenere a insieme

alcuni sottoinsiemi non hanno né maggior.-.-nénino­r.

E ammette estremo supe-.-se ∃ L ∈ R tale che

1) L è maggiorante di E (∀ x ∈ E, x ≤ L)

2) L è -    ěd è il più piccolo

⇒ ∀ ε (piccolo a piacere) > 0 x ∈ E tale che x > L-ε

la notazione è sup E = L

E ammette estremo infer-.- se ∃ L ∈ R tale che

1) L è - minorante di E (∀ x ∈ E , x ≥ L)

2) L è ìed è qwale tra i minoranti

i non sparano incramento l insieme di essere minorante

- traccio f_of(x) dal testo

- verifico che intersechi la funzione in 1 solo pto per ogni retta orizzontale al fascio

- se funz. non è iniettiva può diventarlo restringendo il D ad appositi sottoinsiemi D₁, ⊆D

f|_D1, dominio ristretto

FUNZIONE SURIETTIVA

- se f(D) = R

- se ogni y ∈ R possiede almeno una controimm. = in D

- una funz. non suriettiva può diventarlo restringendo il cod:

f: D → f(D) fino a codominio coincident

FUNZIONE INIETTIVA + SURIETTIVA = BIUNIVOCA

- se una funz. è sia iniettiva che suriettiva

- es: f: N → B B (sottoinsieme) {x ∈ N : x è pari ?

FUNZIONE MONOTONA

• CRESCENTE: f: D ⊆ R è detta con se ∀x₁,x₂, ∈ D, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x ₂)
• DECRESCENTE: f : D ⊆ R è detta con se ∀x₁,x₂, ∈ D, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)
• STRETTAMENTE CRESCENTE: f: D ⊆ R è con se ∀x₁, x₂ ∈ D x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• STRETTAMENTE DECRESCENTE: f: D ⊆ R è con se ∀x₁, x₂ ∈ D x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

- non tutte le funzioni iniettive sono anche monotone

POTENZA BASE REALE:

f: R - {0} → R

f(x) = x^-n n intero positivo (n > 1)

funz. = potenza a espon. intero negativo

n dispari n pari

• 1) no monotona
• 1) no monotona
• 2) iniettiva
• 2) non iniettiva
• 3) simmetrica (se limitata)
• 3) non simmetrica
• 4) invertibile → f^-1(x) = x^-1/n
• 4) simmetrica rispetto asse x
• 5) simm. rispetto origine
• 5) funz. = pari
• 6) funz = dispari

POTENZA BASE REALE ESPONENTE REALE

f(x) = x^α α ε R D: (0, +∞) cod: (0, +∞)

α > 0

- per α ≥ 1 f(x) = x (bisettrice I^o quad.) - in caso 0 < α < 1 mi attiene da α ≥ 1 costruendo la sua funz = inversa

PROPRIETA' DI SEPARAZIONE

• Dati 2 p_i x₁ e x₂ ∈ R se x₁ ≠ x₂ esistono sempre 2 intorni U(x₁) e U(x₂) tali che
  • U(x₁) ∩ U(x₂) ≠ Ø
  Si intersecano...
  • >ovvero gli intorni separano i p_i.

RELAZIONE TRA PUNTO E INSIEME

• A &sube R. A ≠ Ø
  • A^c = complementare di A rispetto R
  • A^c = {y ∈ R, y ∉ A}
• x₀ ∈ R
  • x₀ è pt_o di accumulaz. per A se in ogni intorno di x₀ come centro si trovano pti di A ≠ da x₀.
    • ∀U(x₀) ∃ a ∈ A, a ≠ x₀, a ∈ U(x₀)
  • x₀ è di accumulaz. per A se in ogni intorno di x₀ si trovano ∞ pti di A
  • 1) non è necessario che x₀ sia pto di A
  • 2) an C + ∞ possono essere pti di accumulaz. per un insieme A
  • x₀ ∈ A è un pto isolato per A se esiste un intorno di x₀ che non contiene altri pti di A
    • ∀ U(x₀): U(x₀) ∩ A ={x₀}
    =>se un p_o è isolato non può essere di accumulaz.

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

[IPOTESI] f: D ➝ ℝ

x₀ punto di accumulazione per D

se ^lim f(x) = l > 0 (rispettiv. l < 0) allora x ➝ x₀

[TESI] ∃ M(x₀) t.c. f(x) > 0 ∀x ∈ M(x₀) ∩ D x ≠ x₀

(rispettiv.: f(x) < 0 ∀x ∈ M(x₀) ∩ D)

• cioè prop. della permanenza del segno si applica nei centri nell’intorno
• se l = 0 non si può dire nulla sul segno di f(x) nemmeno in un intorno molto piccolo di x₀.

DIMOSTRAZIONE

[IPOTESI] ^lim f(x) = l > 0

x ➝ x₀

nel limite

1. scelto ϵ > 0 (scelto M(l, ϵ))
• (centro
• raggio
• = (l - ϵ, l + ϵ)

∃ M(x₀) t.c. ∀x ∈ M(x₀) ∩ D

vale f(x) ∈ (l - ϵ, l + ϵ)

l - ϵ < f(x) < l + ϵ

2. scelgo ϵ = l ∃ M(x₀) t.c.

∀x ∈ M(x₀) ∩ D vale

l - l < f(x) < l + l

0 < f(x) < 2l

(rispettiv. per ϵ: = -l)