Matematica Generale I - Appunti

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Revisionato il 11/04/2026

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Insiemi, massimo minimo, estremi, R*. Funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca, composta, inversa, estremi e massimo e minimo di funzione,Topologia di R, limiti, algebra dei limiti e teoremi …

Esame Matematica generale 1

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Grassi Rosanna

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2013-2014

78 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

INSIEME DI NUMERI REALI

a,b ∈ R con a ≤ b

INTERVALLO CHIUSO: insieme che indichiamo con a,b tutti gli x ∈ a _R tali che x ≥ a e x ≤ b

[a,b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}

INTERVALLO APERTO: insieme che indichiamo con a,b tutti i numeri reali x ∈ a _R tali che x < a x < b

(a,b) = {x ∈ R: a < x < b}

INTERVALLO: relaz. d'ordine indotta da R

a,b sono detti ESTREMI

Se intervallo è chiuso contiene estremi, altrimenti non li contiene (aperto)

I numeri reali si rapportano con la retta che ha origine ed ogni punto è un concetto esprim. da un numero.

determiniamo origine e verso di percorrenza della retta
ci spostiamo dx - crescente
si amtscia lunghezza e intervallo e lunghezza è il numero b-a dell'intervallo chiuso [a,b] e di quello aperto (a,b)
si definisce l'intervallo oo a dx e di x lui io si x l'insieme

[a,+∞) = {x ∈ R, x > a}

"tutti i numeri reali appartn.- a _R tcl che x >> a"

si definisce l'intervallo oo a dx e apeto si x l'insieme

(a,+∞) = {x ∈ R, x > a}

"tt i num. reali appartm.- a R tcl che x > a"

analoge definiz. - per: (-∞,b) per b ∈ R

R⁺ è sottoinsieme di x appatrnt - a R tcl che x è positivo

R⁺ = {x ∈ R, x > 0} = (0, +∞)

"E il sottoinsieme dei numeri reali positivi"

INSIEME DI NUMERI REALI

a, b ∈ ℝ con a ≤ b

INTERVALLO CHIUSO:

insieme che indichiamo con a, b tutti gli x ∈ ℝ tali che x ≥ a e x ≤ b

[a,b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}

INTERVALLO APERTO:

insieme che indichiamo con a, b tutti i numeri reali x ∈ ℝ tali che x > a e x < b

(a,b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}

INTERVALLO:

relaz. d’ordine indotta da ℝ

a, b sono detti ESTREMI
Se intervallo è chiuso contiene estremi, se intervallo è aperto non li contiene (a, b)
I numeri reali si rapportano con la retta che ha origine ed ogni punto è un coerente espressione di un numero.

determiniamo origine e verso di percorrenza della retta
ci poniamo due gemi - euclidee
si associa lunghezza a intervallo e lunghezza è il numero b-a dell’intervallo chiuso [a, b] e di quello aperto (a,b)
si definisce l'intervallo ∞ a dx e chiuso a sx l'insieme

[a, +∞) = {x ∈ ℝ, x ≥ a}

"tutti i numeri reali apparten. a ℝ tali che x ≥ a"

si definisce l'intervallo ∞ a dx e aperto a sx l'insieme

(a, +∞) = {x ∈ ℝ , x > a}

"tutti i num. reali appparten. a ℝ tali che x > a"

es.

analogie definiz. per (-∞,b)

per b ∈ ℝ

R⁺ è sottoinsieme di x apparten. a ℝ tali che x è positivo

R⁺ = {x ∈ ℝ, x > 0} = (0; +∞)

"E è sottoinsieme dei numeri reali positivi"

[a,b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b} contiene solo 1 dei suoi estremi.
Esistono sottoinsiemi di ℝ che non sono intervalli
- es.: β: {x ∈ ℝ: x = 1/n n ∈ ℕ-{0}}

INSIEME LIMITATO

E ⊆ ℝ, E ≠ ∅ (∅: insieme vuoto)
E è supremum-limiato se ∃ (esiste) N ∈ ℝ tale che
- ∀ x ∈ E n ha x ≤ N
N è un maggiorante per E
E è infimum-limitato se ∃ N ∈ ℝ tale che
- ∀ x ∈ E m ha x ≥ M
M è un minorante per E
E è illimitato superium (-rispettiamo--illimitato infierum--)
E non ammette maggioranti (rispettiamo--minoranti)
E è limitato se E è limit.-super- e infier-
in tutti gli altri casi: è illimitato
- es. 2 ℕ (insieme -) {x ∈ ℝ, x < 0} 2 ins.-Numeri e ℤ - insieme illimit.-infier.-- Interi
E può avere più maggioranti o minoranti, anche ∞
Un maggior.-o minor.-può non appartenere a insieme
Alcuni sottoinsiemi non hanno né maggioranti--né minoran...
E ammette estremo sup--se ∃ L ∈ ℝ tale che
- 1. L è maggiorante di E (∀ x ∈ E, x ≤ L)
  2. L è "" ed è il più piccolo
  3. ∀ ε (piccolo a piacere) > 0 x ∈ E tale che x > L - ε
- La notazione è sup E = L
E ammette estremo inf--se ∃ L ∈ ℝ tale che
- 1. L è minorante di E (∀ x ∈ E, x ≥ L)
  2. L è il qunale tra i minoranti
Noon sanno incrementare il mentre di essere minorante

⇒ ∀ ε >0 ∃ x ε E

tale che x < l + ε

3) la notazione è l=inf E

se E è limitato super -- non ammette estremo

se E è " " " " " " "

MASSIMO E MINIMO

sottoinsieme E ammette MASSIMO se ∃ M ε E
M è massimo di E:= max E
sottoinsieme E ammette MINIMO se ∃ m ε E
m è min

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