Matematica generale - concetti

Funzioni convesse

Forme quadratiche

Funzioni Reali di più Variabili Reali

Funzioni convesse. Sia f : X → R, con X R convesso; si dice che f (x) è ivi convessan∀ ∈[concava] se, x', x'' X, ogni punto del segmento in R din+1estremi P e P , con P [x', f(x')] e P [x'', f(x'')], ha quota maggiore1 2 1 2o uguale [minore o uguale] della corrispondente quota di f(x).∀x', ∈ ∀ λ ∈ λ) x'+

Formalmente, si ha, dunque: x'' X e [0,1] f [(1 -≤ λ) λf(x'') ⇔ f+λx''] [≥] (1- f (x') + (x) convessa [concava]; in∀ ∈ ∀ λ ∈ λ) x'+λx'']

particolare, se x', x'' X, x'≠x'', e ]0,1[ f [(1 -λ) λf(x'') ⇔f< [>] (1- f (x') + (x) strettamente convessa [strettamente concava].

Se

f è convessa in X, -f è ivi concava. Si definisce epigrafico della funzione y = f(x), definita nell'insieme ℝ convesso X ⊆ ℝ, l'insieme {(x, y) | x ∈ X, y ≥ f(x)}.

Può allora dimostrarsi il teorema della diapositiva seguente:

Funzioni convesse. ⇔ Teorema. f(x) convessa ⇔ epigrafico di f convesso.

Pertanto, il segmento R di estremi P e P' precedentemente ricordato, se f è convessa, è contenuto nell'epigrafico di f.

Funzioni convesse. Data f : X ⊆ ℝ convesso, si consideri l'insieme R = {(x, r) | x ∈ X, f(x) ≤ r}.

Si dimostra che: ∀ r ∈ ℝ, f convessa X, convesso r R.

Tale teorema non è invertibile, cioè, se X è convesso, f può non essere convessa. Così, ad esempio, f : ℝ → ℝ definita dalla legge f(x) = 1 - x^2 non è convessa in ℝ, mentre X = ℝ.

l'iperpiano è il punto di tangenza. Si definisce forma quadratica in n variabili la funzione

n∑∑=f ( x , x ,..., x ) a x x . (a)1 2 n ij i j= =i 1 j 1

In forma matriciale diventa T=f ( x ) x AxFunzioni convesse.

 x 1 x 2 == A [ a ]xcon e (i, j = 1, 2, …, n)ij ... x nmatrice quadrata di ordine n, detta discriminante, che può sempreporsi sotto forma simmetrica. Si osserva che, detta H(x) la matricehessiana associata alla prima funzione della slide precedente, risultaA = ½ H(x).