Matematica generale - concetti
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Funzioni convesse.
Tale teorema può interpretarsi nel senso che una funzione f
differenziabile è convessa se è solo se il suo grafico con ha punti
al di sotto di un qualunque iperpiano tangente; f è strettamente
convessa se e solo se l’unico punto in comune tra i grafico di f e
l’iperpiano è il punto di tangenza.
Si definisce forma quadratica in n variabili la funzione
n n
∑∑
=
f ( x , x ,..., x ) a x x . (a)
1 2 n ij i j
= =
i 1 j 1
In forma matriciale diventa T
=
f ( x ) x Ax
Funzioni convesse.
x 1
x
2 =
= A [ a ]
x
con e (i, j = 1, 2, …, n)
ij
...
x
n
matrice quadrata di ordine n, detta discriminante, che può sempre
porsi sotto forma simmetrica. Si osserva che, detta H(x) la matrice
hessiana associata alla prima funzione della slide precedente, risulta
A = ½ H(x). Funzioni convesse.
Ad esempio, la forma quadratica nelle tre variabili x , x , x
1 2 3
2 2
= + − + −
f ( x , x , x ) 2 x x 2 x x x x 8 x x
1 2 3 1 3 1 2 1 3 1 3
può scriversi in forma compatta:
− 1
2 1 x 1
2
= − −
f ( x , x , x ) [ x , x , x ] 1 0 4 x
1 2 3 1 2 3 2
−
1 4 1 x
3
2
Funzioni convesse.
La quadratica (a) dicesi definita di segno se assume valori dello
∀x∈R
stesso segno , x≠ω (è ovviamente, f(ω) = 0).
n
Precisamente si dice definita positiva [definita negativa] se assume
∀x≠ω.
valori positivi [negativi] Si dice semidefinita positiva
[semidefinita negativa] se assume valori non negativi [non positivi]
∀
x≠ω. Si dice indefinita se assume valori di segno opposto al
variare del vettore x.
Si dimostra che la forma quadratica (a) è semidefinita positiva
[semidefinita negativa] allora la relativa funzione è convessa
[concava]; mentre se la (a) è definita positiva [definita negativa],
allora la relativa funzione è strettamente convessa [strettamente
concava].
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di matematica generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Scienze matematiche Prof.
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