Matematica generale - concetti

Funzioni convesse.

Tale teorema può interpretarsi nel senso che una funzione f

differenziabile è convessa se è solo se il suo grafico con ha punti

al di sotto di un qualunque iperpiano tangente; f è strettamente

convessa se e solo se l’unico punto in comune tra i grafico di f e

l’iperpiano è il punto di tangenza.

Si definisce forma quadratica in n variabili la funzione

n n

∑∑

=

f ( x , x ,..., x ) a x x . (a)

1 2 n ij i j

= =

i 1 j 1

In forma matriciale diventa T

=

f ( x ) x Ax

Funzioni convesse.

 

x 1

 

x

 

2 =

= A [ a ]

x

con e (i, j = 1, 2, …, n)

ij

 

...

 

x

 

n

matrice quadrata di ordine n, detta discriminante, che può sempre

porsi sotto forma simmetrica. Si osserva che, detta H(x) la matrice

hessiana associata alla prima funzione della slide precedente, risulta

A = ½ H(x). Funzioni convesse.

Ad esempio, la forma quadratica nelle tre variabili x , x , x

1 2 3

2 2

= + − + −

f ( x , x , x ) 2 x x 2 x x x x 8 x x

1 2 3 1 3 1 2 1 3 1 3

può scriversi in forma compatta:  

− 1  

2 1 x 1

2

   

= − −

f ( x , x , x ) [ x , x , x ] 1 0 4 x

   

1 2 3 1 2 3 2

   

−

1 4 1 x

 

  3

2

Funzioni convesse.

La quadratica (a) dicesi definita di segno se assume valori dello

∀x∈R

stesso segno , x≠ω (è ovviamente, f(ω) = 0).

n

Precisamente si dice definita positiva [definita negativa] se assume

∀x≠ω.

valori positivi [negativi] Si dice semidefinita positiva

[semidefinita negativa] se assume valori non negativi [non positivi]

∀

x≠ω. Si dice indefinita se assume valori di segno opposto al

variare del vettore x.

Si dimostra che la forma quadratica (a) è semidefinita positiva

[semidefinita negativa] allora la relativa funzione è convessa

[concava]; mentre se la (a) è definita positiva [definita negativa],

allora la relativa funzione è strettamente convessa [strettamente

concava].