Matematica finanziaria, Bilancio Aziendale, Economia ed Estimo

Matematica finanziaria

La matematica finanziaria è una disciplina propedeutica per poter affrontare lo studio sia dell'estimo sia dell'economia in generale. Gli obiettivi sono due:

• Di poter trasferire nel tempo un certo importo monetario. Ovvero considerando il tempo presente cioè un istante iniziale che chiameremo T =0 possiamo trasferire un certo importo monetario dal presente al passato e viceversa, così come è possibile trasferire lo stesso importo monetario dal presente al futuro e viceversa. Tutto ciò lo si fa attraverso due operatori:

  • Il calcolo del montante. Attraverso il montante posso trasferire una certa cifra, un certo quantitativo di moneta dal presente al futuro.
  • Il calcolo del valore attuale o attualizzato o capitale iniziale: posso trasferire un importo monetario dal presente (o da un tempo futuro) al passato.

• Ci permette di poter effettuare operazioni matematiche su importi monetari che sono riferiti a distanti temporali differenti. Ad esempio ho un importo monetario riferito ad un dato anno e questo posso sommarlo ad altri importi ciascuno dei quali sono riferiti ad altri anni. Questa somma poi posso trasferirla in un tempo futuro o in un tempo passato. Tutto ciò può essere fatto attraverso la così detta:

  Accumulazione finanziaria

Esempi di utilizzo della matematica finanziaria

Mutui

Supponiamo di volere acquistare qualsiasi bene, sia esso un bene mobile o immobile. Supponiamo sia un bene immobile, ad esempio un appartamento che costi 100 mila euro, e nel nostro conto in banca non abbiamo soldi a sufficienza e quindi chiediamo un mutuo alla banca. La banca prima di darci il mutuo verifica quello che è il nostro stato patrimoniale (beni da noi posseduti, accumulati nel tempo durante gli anni: appartamenti, automobili ecc.), quello che è il nostro conto economico (reddito annuo: importi monetari positivi caratterizzati dal fatto di essere flussi di entrata, quello che è frutto del nostro lavoro), cioè verifica che possiamo garantire delle congrue garanzie finanziarie, in modo che in caso di mancato pagamento possa scattare subito il pignoramento di un bene. La banca vuole assicurarsi che dopo un numero di anni noi siamo in grado di restituirgli il denaro con degli interessi. Supponiamo che il mutuo duri 10 anni e alla fine di ogni anno restituiremo alla banca 10 mila euro + gli interessi.

L'interesse è il costo monetario per il soggetto che prende in prestito il capitale. Ovvero per il soggetto debitore l'interesse è il costo del denaro che ci è stato dato in prestito. Viceversa per la banca l'interesse è un compenso (una sorta di paga). Perché però esiste questo compenso? Innanzitutto la banca non può disporre di quei 100 mila euro durante i 10 anni e quindi non può utilizzare quei soldi in investimenti alternativi e quindi si trova in una situazione di svantaggio. Inoltre si assume anche un rischio ossia che i 100 mila euro non gli vengano restituiti perché può darsi che il soggetto in questione nel frattempo perde il lavoro, ha dei debiti presso altri soggetti e quindi nel frattempo gli pignorano i propri beni. Nonostante le verifiche iniziali non è detto che i 100 mila euro gli vengano restituiti. Quindi l'interesse non è altro che il compenso che viene pagato alla banca o a qualunque altro soggetto debitore per il fatto che ci ha prestato dei soldi, per il fatto che non può disporre di quella cifra per un numero di anni e per il fatto che si assume un rischio di non ricevere più il capitale di prestito.

Pagamento rateale

Supponiamo questa volta di comprare una TV dal costo di 1000 euro e mi rivolgo ad un rivenditore che mi chiede se lo voglio pagare in una soluzione o tramite un pagamento rateale. Ci viene proposto di pagarlo all'inizio di ogni mese (non alla fine del periodo come per i mutui). Anche in questo caso entreranno in gioco gli interessi per gli stessi motivi del caso precedente.

Ammortamento

Mettiamoci nei panni di un imprenditore che decide di aprire un'impresa. Ha bisogno di un macchinario, lo acquista e lo paga una certa cifra (100 mila euro), tuttavia col passare degli anni subirà una certa obsolescenza tecnica cioè a causa dell'usura produrrà sempre di meno fino a quando il macchinario non funzionerà più. Quindi per sopperire a questa mancanza, nel momento dell'acquisto può decidere di mettere da parte una certa somma anche per gli anni successivi, in modo che quando il macchinario è diventato obsoleto può acquistare un nuovo macchinario con caratteristiche similari a quelle di partenza. Questo è l'esempio di un ammortamento che si applica nel caso di svalutazione di un capitale iniziale. In questo caso però facciamo un ragionamento a priori dei casi precedenti. Consideriamo gli interessi perché gli importi monetari non hanno gli stessi valori da un anno all'altro.

Definizioni

Capitale

Si definisce capitale una qualsiasi ricchezza (patrimonio o reddito) prodotta da un individuo ma sottratta al consumo (momentaneamente accantonata) per essere destinata a nuova produzione. Un esempio lampante sono le materie prime che non vengono utilizzate direttamente in un suo bisogno ma si immagazzinano e all'occorrenza le usa per produrre nuovi beni e nuovi servizi.

• Ricchezza: Somma di tutti i beni posseduti da un individuo, un'impresa uno stato, ossia da un soggetto economico. E possono esserci due tipi di ricchezza:
  • Patrimonio: è la somma di tutti i beni e tra questi includiamo anche la moneta accumulati nel tempo da un certo soggetto economico ed accumulati considerando anche gli anni precedenti da quello attuale. È una grandezza fondo ("stock").
  • Reddito: quanti beni inclusi la moneta abbiamo accumulato nell'anno preso in considerazione (netti). È una grandezza flusso.
• Fisico. Si riferisce a beni tangibili (un auto, un immobile). Capitale C o K [euro]
• Finanziario (indifferenziato). La moneta che è il bene di scambio per eccellenza.

Interesse I

Si definisce interesse il prezzo d'uso del capitale. È il costo del denaro di chi prende in prestito un certo capitale, ma è anche un compenso per chi dà in prestito del denaro. Quindi da soggetto debitore è vista come una voce di costo, un prezzo d'uso. Invece per il soggetto creditore è assimilato come compenso. L'unità di misura è l'euro. Può essere di vari tipi:

• Semplice. Si dice semplice quando una volta che è maturato sul capitale iniziale non si somma ad esso per divenire fruttifero di nuovi interessi.
• Composto. Si dice composto quando una volta maturato sul capitale iniziale si somma ad esso per divenire fruttifero di nuovi interessi. Questo può essere:
  • Continuo. Quando il capitale viene convertito in interessi istantaneamente. Cioè ho una cifra e su quella cifra maturano degli interessi ogni istante.
  • Discontinuo. Quando matura sul capitale iniziale soltanto in certi periodi (ogni trimestre, ogni anno). Può essere a sua volta:
    • Annuo. Una volta all'anno.
    • Frazionato. Quando gli interessi sono riferiti al capitale iniziale per periodi differenti dall'anno (mese, trimestre, semestre).

Saggio o tasso di interesse r o i

È l'unità di misura dell'interesse, è il prezzo d'uso dell'unità di capitale nell'unità di tempo. L'unità di misura dovrebbe essere [1 euro/1 anno], ma solitamente è espresso come [%, decimale].

Binomio di interesse q

È pari alla somma del capitale unitario + il saggio di interesse. q = 1 + r

Come si calcola il montante

Si definisce montante l'equivalente monetario di un capitale disponibile oggi e trasferito nel futuro. Il suo opposto è il valore attuale.

Valore attuale (capitale iniziale) Co

Si definisce montante l'equivalente monetario di un capitale disponibile nel futuro e trasferito nell'attualità.

Interesse semplice

Interesse = capitale iniziale x saggio di interesse x numero di anni

Vogliamo calcolare il montante all'anno n. Consideriamo un asse di riferimento con i vari anni, ogni anno è pari ad un segmento. Calcolare un montante significa che nell'istante iniziale ho un certo capitale iniziale C: voglio sapere qual è l'equivalente monetario all'anno n (quindi voglio andare da 0 ad n). Ad n avrò un montante Mn e viceversa dato un montante alla fine dell'ultimo anno posso tramite il calcolo del valore attuale trovare il valore del capitale iniziale all'istante 0. (I )2)1+nr= coefficiente di posticipazione. Mi serve per calcolare il montante all'anno n andando da 0 a r. Per calcolare il valore attuale devo fare la formula: 1/(1+nr)= coefficiente di anticipazione. Serve per calcolare il valore attuale dato il montante.

Interesse composto

Ricordiamo che un interesse si dice composto quando una volta maturato il capitale iniziale viene sommato ad esso per divenire fruttifero per un nuovo interesse. Il montante quindi lo si calcola come: (I) =(1+r)ⁿ=qⁿ (binomio di interesse) = coefficiente di posticipazione. Ci permette, noto il capitale iniziale, di andare da 0 a n. Per calcolare il valore attuale: 1/qⁿ = coefficiente di anticipazione. Noto il montante ci permette di conoscere il valore monetario all'istante 0, cioè il valore attuale. Consideriamo sempre un interesse composto, ma vogliamo valutare il montante ad un tempo n+f ovvero un anno + una frazione di anno. con 1<m<12 e 0<g<30 con 360 pari all'anno commerciale.

Esempi

Supponiamo di avere degli importi e li vogliamo investire in buoni ordinari del tesoro BOT (Titoli di Stato). I titoli di stato sono delle obbligazioni ovvero dei particolari strumenti finanziari. L'obbligazione è uno stratagemma finanziario che disciplina la modalità di prestito tra due soggetti, un soggetto creditore e uno debitore. Nel caso dei titoli di Stato, il soggetto debitore è lo stato, il soggetto creditore è il cittadino che acquista titoli di stato. Perché lo Stato vende titoli di Stato o meglio perché lo Stato è il soggetto debitore? Perché lo Stato prende in prestito dei soldi dei cittadini per coprire quello che è il debito pubblico e la spesa pubblica. La spesa pubblica è la sommatoria di tutte le voci di costo relative dello Stato per i cittadini (per i servizi di base, per la difesa, per l'istruzione ecc.).

Debito pubblico non è altro che il debito che ha lo Stato nei confronti di altri soggetti che possono essere individui, imprese o altri Stati esteri. Quindi per coprire parte di queste due aliquote lo Stato vende titoli di Stato, cioè il cittadino finanzia lo Stato dopodiché lo Stato restituisce quota parte di quei soldi + gli interessi. Meccanismo inverso tra noi e le banche. I buoni ordinari del tesoro sono particolari titoli di Stato con scadenza o mensile, trimestrale, semestrale o annuale. Esistono altri titoli come il CCT che hanno scadenza pluriennale.

R=1% che è basso rispetto a 10 anni fa (r=10%) ma alto rispetto al saggio di interesse attuale (r=0,1%). È un interesse che viene stabilito dal Ministero dell'Economia e delle Finanze e regola il prestito di capitali tra il cittadino e lo Stato. Però esistono altre tipologie di saggi di interesse, quello ad esempio della Banca Centrale Europea (r=0%, =0 interessi) che regola il prestito di capitali tra le banche e la banca centrale. Il saggio di interesse interbancario è il saggio di interesse che regola gli scambi di importi monetari tra più banche e varia a seconda delle banche. Poi ci sono i saggi di interesse propriamente detti che sono quelli che regolano gli scambi di moneta tra le banche ed i cittadini e la banca sceglie r ma non in maniera arbitraria perché esistono dei minimi di legge che vengono stabiliti dal Ministero e che viene stabilito ogni trimestre e se si supera questo interesse si va incontro al fenomeno dell'usura: cioè si chiede al cittadino un r troppo alto.

n=10

• Interesse semplice: 101000 euro 102000 euro
• Interesse composto: 101000 euro 102010 euro

Accumulo finanziario

Serve per dare una risposta a quello che è il secondo problema della matematica finanziaria, cioè il problema relativo alla somma dei capitali ognuno dei quali è riferito ad un diverso istante temporale andando a considerare anche quelli che sono gli interessi che nel frattempo sono maturati per ciascun anno. Alla fine questa somma la possiamo trasferire nel tempo ad un certo anno che può essere di un anno iniziale, finale o intermedio. In particolare la distinguiamo in:

• Accumulazione iniziale quando tutti i capitali sommati tra di loro con i relativi interessi sono trasferiti all'anno iniziale cioè l'anno 0.
• Accumulazione finale quando tutti i capitali sommati tra di loro con i relativi interessi sono trasferiti all'anno finale cioè l'anno n.
• Accumulazione intermedia quando tutti i capitali sommati tra di loro con i relativi interessi sono trasferiti ad un generico anno m dove 0<m<n.

Generalmente i capitali (importi monetari) possono essere divisi in due gruppi:

• Annualità quando questo importo viene pagato o dato in prestito in un determinato anno.
• Periodicità quando ci riferiamo ad un periodo diverso dall'anno.

Sia le annualità che le periodicità possono essere:

• Posticipata quando è riferita alla fine dell'anno di riferimento.
• Scadenza anticipata quando è riferita all'inizio dell'anno di riferimento.
• Limitata considero un intervallo di tempo finito.
• Durata illimitata quando considero un asse temporale che va da 0 a +infinito.
• Costanti
• Entità variabili

Possiamo avere diverse combinazioni di queste caratteristiche e possiamo ricavare le accumulazioni.

1. Annualità variabili posticipate limitate

Avremo un istante iniziale, intermedi e finale. Questi punti sono rappresentativi degli anni (Segmento 0-1 ecc.). Le annualità sono variabili quindi:

Sono posticipate perché la scadenza avviene alla fine dell'anno per cui la prima annualità l'avrò in corrispondenza dell'1, la seconda del 2 e così via. E limitate per cui l'intervallo va da 0 a n.

Per A dobbiamo sommare tra di loro le varie annualità, calcolarci sopra i rispettivi interessi e trasferire tutto all'anno finale. Possiamo partire sia dall'inizio che dall'ultima annualità (partendo dall'ultima ho il vantaggio di non doverla trasferire, non moltiplico per il coefficiente di posticipazione, perché la tengo già all'anno finale).

Regola: L'esponente è pari alla differenza tra l'anno finale e quello di partenza

Per calcolare A devo moltiplicare l'annualità per il coefficiente di anticipazione, rispettando sempre la regola dell'esponente:

2. Annualità costanti posticipate limitate

Poiché le annualità sono costanti avremo che:

Sono sempre posticipate quindi ciascuna di esse le mettiamo in corrispondenza della fine di ogni anno e sono sempre limitate quindi consideriamo un tempo finito da 0 a n.

Serie geometrica di ragione q

Ragione – termine più piccolo

Per calcolare A devo moltiplicare l'annualità per il coefficiente di anticipazione, rispettando sempre la regola dell'esponente:

Se già conosco A posso calcolare A scontando l'accumulazione finale all'attualità, cioè moltiplico per il coefficiente di anticipazione, quindi:

Per l'intermedia posso seguire due strade:

3. Annualità costanti posticipate illimitate

Le attualità illimitate hanno un intervallo temporale infinito, per cui andiamo da 0 a +inf.

Per cui non ha senso calcolare:

Questo lo posso calcolare se introduco il concetto di limite:

formula di capitalizzazione con =1 limite notevole

Questa formula ci consente di calcolare qual è il valore più probabile di mercato di un bene immobile:

4. Annualità costanti anticipate limitate

Sono limitate quindi l'intervallo temporale finito, mentre la scadenza avviene all'inizio dell'anno: ciò significa che l'annualità al primo anno la tengo a 0, quella al secondo anno la tengo a 1 e così via.

In questo caso l'annualità finale la tengo all'inizio e quindi devo moltiplicarla per il coefficiente di posticipazione, la differenza sta nel fatto che ora parto da

Voglio trasformare questa annualità che sono anticipate in posticipate, cioè voglio ritornare al caso precedente, per cui considero ciascuna annualità e la posticipo di un anno, in modo da avere una nuova annualità pari ad

dalle annualità posticipate

5. Annualità costanti posticipate limitate

t(periodo), p(periodicità)

Quota di reintegra

È quella somma monetaria messa da parte annualmente per rinnovare, ossia per reintegrare un capitale posseduto all'anno iniziale ma per rinnovarlo all'ennesimo anno (finale). Ritorniamo all'esempio della lezione precedente: l'imprenditore che acquista un macchinario per produrre un certo bene, lo acquista nel momento in cui apre l'impresa e spende una certa cifra. Tuttavia fa una previsione in merito all'utilizzo e alla vita utile del macchinario. E si rende conto che la sua vita utile è limitata poiché dopo un certo numero di anni è soggetto ad un'obsolescenza tecnica. Quindi mette da parte una certa somma ogni anno in modo che dopo un tot di anni può acquistare un macchinario che ha le stesse prestazioni e funzioni, o spendere i soldi per manutenzione sul macchinario esistente.