matematica finanziaria

Appunti di matematica finanziaria

Il problema base della matematica finanziaria

La matematica finanziaria si occupa dello studio delle operazioni finanziarie, ovvero di operazioni di scambio di somme di denaro (importi) disponibili in epoche diverse (scadenze). Possiamo distinguere fra operazioni finanziarie certe, quelle in cui gli importi si rendono disponibili a determinate scadenze con certezza, e operazioni finanziarie aleatorie, quelle in cui gli importi si rendono disponibili solo se si verificano eventi aleatori.

La matematica finanziaria classica è quella che si occupa delle operazioni finanziarie certe (che analizzeremo in questo corso), mentre la matematica finanziaria moderna è quella che si occupa delle operazioni finanziarie aleatorie.

Nella vita reale sono molteplici i casi in cui possiamo avere a che fare con situazioni finanziarie, come per esempio:

• L'accensione di un conto corrente bancario con cui si scambia il versamento di una somma di denaro contro il prelevamento futuro di denaro e interessi.
• La stipula di un contratto di mutuo con cui si scambia un certo capitale C ricevuto alla data di stipula del contratto con il versamento di rate.
• La stipula di un contratto per il pagamento rateale di un bene, con cui si scambia una somma di denaro equivalente al valore del bene ricevuto con il pagamento delle rate future.

Ognuna di queste situazioni, che rappresentano esempi di operazioni finanziarie certe, implica delle valutazioni sulla base delle quali operare delle scelte. Per esempio, nell'accensione di un conto corrente si tiene conto del tasso di interesse garantito, di eventuali spese annuali e ci si chiede quale sarà il valore del conto a fine anno e come potrà crescere nel corso del tempo. Se decidiamo di pagare un bene ratealmente teniamo conto della presenza di un eventuale tasso di interesse applicato o di eventuali spese accessorie, in maniera tale da capire quanto possa incidere tutto ciò sul costo finale del bene e quanto convenga o meno pagarlo ratealmente.

La matematica finanziaria, nei limiti del possibile, fornisce degli strumenti per la formalizzazione matematica delle situazioni finanziarie che si possono incontrare nella vita reale e aiuta a dare delle risposte alle domande derivanti dalle stesse.

Le principali grandezze finanziarie

Interesse e montante

Diamo prima di tutto una definizione di operazione finanziaria.

Definizione 2.1. Un'operazione finanziaria è un insieme di pagamenti S₁, S₂, ..., S_n in entrata o in uscita, ognuno dei quali caratterizzato dalla data della propria esigibilità, t₁, t₂, ..., t_n.

Una generica operazione finanziaria può essere rappresentata come insieme di coppie importo/tempo:

{(S₁, t₁), (S₂, t₂), ..., (S_n, t_n)}

Un'operazione finanziaria caratterizzata da due soli pagamenti S₁, S₂ è detta operazione finanziaria semplice o elementare. Osserviamo che due elementi che caratterizzano le operazioni finanziarie sono gli importi e i tempi: in matematica finanziaria non si può definire un criterio di scelta se non vengono specificati questi due elementi. Possiamo affermare infatti che molti preferirebbero 80,000 euro subito invece di 800,000 euro fra quaranta anni!

Definizione 2.2. Un'operazione di investimento semplice è un'operazione finanziaria in cui un soggetto (creditore) rinuncia al tempo iniziale t₀ alla disponibilità di un capitale C e recupera in un tempo successivo t₁ una somma M, in genere diversa da C: M è detto montante al tempo t₁ del capitale C impiegato al tempo t₀.

Definizione 2.2'. Un'operazione di finanziamento semplice è un'operazione finanziaria in cui un soggetto (debitore) riceve al tempo iniziale t₀ un capitale C e rende in un tempo successivo t₁ una somma M, in genere diversa da C.

Le definizioni 2.2 e 2.2' sono speculari: infatti un'operazione di investimento, vista dal lato del debitore, diventa un'operazione di finanziamento. Possiamo rappresentare le operazioni finanziarie sull'asse importo/tempo come coppie importo/tempo {($C, t₀), ($M, t₁)}. Le somme monetarie in uscita vengono indicate con il segno meno.

Definizione 2.3. Si definisce interesse di un'operazione finanziaria prodotto in un certo arco temporale, la differenza fra il montante ed il capitale. Posto I l'interesse abbiamo:

I = M - C

L'interesse I è l'incremento assoluto di capitale a seguito di un'operazione finanziaria, e rappresenta per il debitore un costo e per il creditore un guadagno.

Esempio 1. Investiamo oggi 5000 euro, ottenendo fra tre anni un montante di 6100 euro.

-5000 6100

I = 6100 - 5000 = 1100

Nel nostro caso, I è l'interesse maturato nel corso dei 3 anni. Osserviamo che:

M > C → I > 0, M = C → I = 0, M < C → I < 0.

Fattore di capitalizzazione e tasso di interesse

Quando I < 0, diciamo che l'investimento è in perdita.

Definizione 2.4. Si definisce fattore di capitalizzazione e si indica con r il rapporto fra il montante M ed il capitale iniziale C:

r = M / C

Se r = M / C allora M = C * r: r ha il significato di montante per unità di capitale investita.

Nel precedente esempio abbiamo:

r = 6100 / 5000 = 1.22

dove r nel caso specifico è fattore di capitalizzazione triennale (perché relativo ad un'operazione finanziaria che dura tre anni) e ci dice che ogni euro investito oggi produrrà fra tre anni un montante di 1 euro e 22 centesimi. Il fattore di capitalizzazione r permette di effettuare operazioni di capitalizzazione ovvero, dato un capitale C disponibile al tempo t₀, r permette di determinare il suo valore futuro M al tempo t₁, con t₁ > t₀.

Definizione 2.5. Si definisce tasso di interesse e si indica con i il rapporto fra l'interesse I e il capitale C:

i = I / C

Se i = I / C allora:

i = I / C

I = C * i

i ha il significato di interesse per unità di capitale investita e si indica in termini percentuali. Nel precedente esempio abbiamo:

i = 1100 / 5000 = 0.22

ovvero i = 22%. i è un tasso di interesse triennale e ci dice che ogni euro investito oggi produrrà fra tre anni un interesse pari a 22 centesimi.

Relazione fra tasso di interesse e fattore di capitalizzazione

Sostituendo in I = M - C le relazioni M = C * r e I = C * i otteniamo:

C * i = C * r - C → C * i = C * (r - 1) → i = r - 1

Inoltre:

i = r - 1 → r = i + 1

Tasso di sconto e fattore di attualizzazione

Definizione 2.6. Un'operazione di sconto è un'operazione finanziaria in cui un soggetto rinuncia ad una parte di un capitale K, che gli è dovuto in un'epoca futura t₁, pur di entrarne anticipatamente in possesso, e riceve in t₀ un capitale P.

Un'operazione di sconto viene detta anche di anticipazione o di attualizzazione. P è detto valore attuale, valore anticipato o valore scontato ed è la somma percepita anticipatamente in t₀.

Definizione 2.7. Si definisce sconto D la differenza fra il capitale K disponibile a scadenza e la somma P il cui possesso immediato si scambia con quello futuro di K:

D = K - P → K = D + P → P = K - D

Esempio 2. Un anno fa abbiamo prestato ad un amico un capitale C, e lui si è impegnato a restituire dopo tre anni una somma pari a 2000 euro. Oggi decidiamo però di entrare anticipatamente in possesso di tale somma scontandola di 300 euro.

Nell'operazione di sconto i 2000 euro hanno segno negativo perché rappresentano la somma futura a cui stiamo rinunciando, mentre 1700 euro rappresentano il valore anticipato (1700 è il valore attuale di 2000 euro esigibili fra 2 anni).

Definizione 2.8. Si definisce tasso di sconto e si denomina con d il rapporto fra lo sconto D e il capitale a scadenza K, cioè:

d = D / K

D = K * d

d ha il significato di sconto per unità di capitale e si indica in termini percentuali.

Definizione 2.9. Si definisce fattore di attualizzazione e si denomina con v il rapporto fra il valore attuale P e il capitale a scadenza K, cioè:

v = P / K

P = K * v

v rappresenta il valore attuale al tempo t₀ di un'unità monetaria disponibile in un tempo futuro t₁. Il fattore di attualizzazione v permette di effettuare operazioni di attualizzazione (o di anticipazione o di sconto), ovvero dato un capitale futuro K esigibile in un'epoca t₁, v permette di determinare il suo valore attuale P al tempo t₀, con t₁ > t₀.

Nel precedente esempio abbiamo:

d = 300 / 2000 = 15%

e ci dice che ogni euro disponibile fra 2 anni viene scontato di 15 centesimi, mentre:

v = 1700 / 2000 = 0.85

e ci dice che ogni euro disponibile fra 2 anni oggi vale 85 centesimi.

Relazione fra tasso di sconto e fattore di attualizzazione

Sostituendo in D = K - P le relazioni D = K * d e P = K * v otteniamo:

K * d = K - K * v → K * d = K * (1 - v) → d = 1 - v

Inoltre:

Relazione fra fattore di attualizzazione e fattore di capitalizzazione

Nell'operazione di sconto abbiamo definito v come:

v = P / K

ovvero come il rapporto fra la posta monetaria P relativa al tempo t₀ e la posta monetaria K relativa al tempo t₁. Seguendo la stessa logica, è possibile definire il fattore di attualizzazione di un'operazione di investimento come il rapporto fra il capitale C investito in t₀ e il montante M riscuotibile in t₁:

v = C / M

Se M è il valore che assumerà in un'epoca futura t₁ un capitale C investito in t₀, allora C è il valore attuale in t₀ di un capitale M esigibile in t₁. Dalla relazione:

v = C / M

segue che:

C = M * v

Osserviamo inoltre che se v = C / M e r = M / C allora:

v = 1 / r

ovvero v e r sono l'uno il reciproco dell'altro.

Analogamente, nell'operazione di investimento abbiamo definito r come il rapporto fra il montante M relativo al tempo t₁ e il capitale C relativo al tempo t₀. Con lo stesso criterio, è possibile definire il fattore di capitalizzazione r relativo ad un'operazione di sconto:

r = K / P

Se P è il valore attuale in t₀ di una somma K esigibile in un'epoca futura t₁, allora K è il valore che avrebbe assunto in t₁ un capitale che in t₀ vale P.

Concludiamo che data una generica operazione finanziaria elementare, composta da due somme relative ad istanti temporali diversi, siamo in grado di individuare i corrispondenti fattori di capitalizzazione e di attualizzazione che determinano una relazione di equivalenza fra le due somme.

Esempio 1 (operazione di investimento)

Investiamo oggi 2000 euro, ottenendo fra 3 anni un montante di 2200. Determiniamo le corrispondenti grandezze finanziarie:

I = 2200 - 2000 = 200, dove I è interesse triennale.

i = 200 / 2000 = 10%, dove i è tasso di interesse triennale; un euro investito oggi produrrà fra tre anni un interesse di 10 centesimi.

r = 2200 / 2000 = 1.1; un euro investito oggi produrrà fra tre anni un montante di un euro e 10 centesimi.

v = 2000 / 2200 = 0.9; investendo oggi 90 centesimi, fra tre anni otterremo un euro, o analogamente 90 centesimi investiti oggi fra tre anni varranno un euro, o ancora 90 centesimi è il valore attuale di un euro esigibile fra tre anni.

Noto v è possibile determinare il corrispondente tasso di sconto d dalla relazione d = 1 - v e quindi:

d = 1 - 0.9 = 9%; un euro esigibile fra tre anni oggi vale circa 9 centesimi in meno.

Esempio 2 (operazione di sconto)

Decidiamo di entrare anticipatamente in possesso di 3000 euro, che avremmo dovuto riscuotere fra 2 anni, scontandoli di 150 euro. Determiniamo le corrispondenti grandezze finanziarie:

D = 3000 - 2850 = 150, dove D è lo sconto biennale.

d = 150 / 3000 = 5%, dove d è tasso di sconto biennale; un euro esigibile fra due anni oggi viene scontato di 5 centesimi.

v = 2850 / 3000 = 0.95; un euro esigibile fra due anni oggi vale 95 centesimi.

r = 3000 / 2850 = 1.053; un euro riscosso oggi, avrebbe avuto fra due anni un valore di un euro e 53 centesimi circa.

Anche in questo caso, noto r possiamo ricavare i dalla relazione i = r - 1:

i = 1.053 - 1 = 0.053

Relazioni fra le grandezze finanziarie fondamentali

Data una generica operazione finanziaria elementare possiamo individuare i fattori v, r ed i tassi d, i associati all'operazione considerando le relazioni che legano fra loro le quattro grandezze.

Alcune di queste relazioni sono già state dimostrate precedentemente.

Dimostriamo che i = 1 - v:

Sostituendo in i = r - 1 la relazione r = 1 / v otteniamo:

i = 1 / v - 1 = 1 - v

Dimostriamo che r = 1 / (1 - d):

Sostituendo in r = 1 / v la relazione v = 1 - d otteniamo:

r = 1 / (1 - d)

Dimostriamo che d = r - 1:

Sostituendo in d = 1 - v la relazione v = 1 / r otteniamo:

d = 1 - (1 / r) = r - 1

Dimostriamo che d = i / (1 + i):

Sostituendo in d = r - 1 la relazione r = 1 + i otteniamo:

d = (1 + i) - 1 = i / (1 + i)

Dimostrare le restanti relazioni.

Leggi ad una variabile

Sino ad ora negli esempi considerati non abbiamo tenuto conto della variabile tempo. Nella realtà spesso le operazioni di capitalizzazione e di attualizzazione sono regolate da fattori che dipendono dal tempo secondo alcune formule matematiche. Queste formule, in linguaggio finanziario, si chiamano regimi finanziari (di capitalizzazione o di attualizzazione) e contengono non solo il tempo, ma anche un parametro che generalmente coincide con il tasso di interesse o di sconto (periodale), e consentono di capitalizzare o di attualizzare univocamente una somma, qualunque sia la scadenza.

Le grandezze finanziarie definite rispetto al tempo diventano perciò:

• i → i(t)
• d → d(t)
• r → r(t)
• v → v(t)

mentre la Tabella 1 dove abbiamo riportato le grandezze finanziarie diventa:

Analogamente abbiamo:

C = M(t) * v(t) dove C è il capitale che dobbiamo investire per ottenere dopo t periodi un montante M(t),

M(t) = C * r(t) = C * (1 + i(t)) dove M(t) è il montante prodotto in t periodi da un capitale C,

I(t) = C * i(t) dove I(t) è l'interesse prodotto in t periodi da un capitale C.

Inoltre:

P(t) = K * v(t)

D(t) = K * d(t)

P(t) = K - D(t)

Conoscere una delle quattro funzioni i(t), d(t), r(t), v(t) permette di determinare una legge finanziaria. L'unità temporale espressa da t è per ipotesi una variabile non negativa e può misurare anni, trimestri, bimestri, ecc.

Osserviamo inoltre che la funzione r(t) permette di determinare il montante prodotto da un'unità monetaria dopo t periodi, la funzione i(t) permette di determinare l'interesse prodotto da un'unità monetaria dopo t periodi.

Nota una delle quattro grandezze, possiamo determinare le altre grandezze utilizzando le relazioni riportate nella Tabella 2.

Esempio. Ipotizziamo che il fattore di capitalizzazione r(t) sia espresso dalla seguente funzione:

r(t) = 1 + 0.15 * t

Determiniamo le funzioni che definiscono i(t), v(t) e d(t).

i(t) = r(t) - 1 = 1 + 0.15 * t - 1 = 0.15 * t

v(t) = 1 / r(t) = 1 / (1 + 0.15 * t)

d(t) = 1 - v(t) = 1 - (1 / (1 + 0.15 * t))

Nota una legge finanziaria e dato un capitale C relativo ad un certo istante temporale, siamo in grado di determinare il valore di C relativo a qualsiasi altro intervallo temporale.

Esempio. Consideriamo nuovamente la legge:

r(t) = 1 + 0.15 * t e ipotizziamo che t misuri semestri.

1. Vogliamo sapere quanto varrà fra un anno e mezzo un capitale che oggi vale 500 euro. Un anno e mezzo corrisponde a tre semestri e quindi a tre unità temporali. Abbiamo perciò:

M(3) = C * r(3) = 500 * r(3) = 500 * (1 + 0.15 * 3) = 725

Osserviamo che anche in questo caso vale una delle prime relazioni che abbiamo individuato, ovvero r = M / C, con la differenza che questa volta sia r sia M dipendono dal tempo e che r potrà essere determinato anche direttamente dalla funzione r(t):

r(3) = M(3) / C = 725 / 500 = 1.45

r(3) = 1 + 0.15 * 3 = 1. 45

2. Vogliamo sapere quanto vale oggi un capitale C che fra 3 anni varrà 3,500 euro. Tre anni corrispondono a 6 semestri. Dobbiamo attualizzare 3,500 euro utilizzando il fattore di attualizzazione v(6):

C = 3500 * v(6) = 3500 * (1 / (1 + 0.15 * 6)) = 1842.10

3. Vogliamo determinare l'interesse prodotto da un capitale di 2000 euro nel corso di 5 anni. Questa volta dobbiamo considerare i(10):

I(10) = 2000 * i(10) = 2000 * 0.15 * 10 = 3000

Non tutte le funzioni possono definire un fattore di capitalizzazione in quanto r(t) deve soddisfare le seguenti proprietà:

• r(0) = 1, poiché nell'immediatezza, rappresentata da t = 0, un'unità monetaria non produce interesse.
• r(t) ≥ 1 per t ≥ 0.
• r(t₂) ≥ r(t₁) per t₂ ≥ t₁, ovvero r(t) è una funzione non decrescente.

Il fattore di attualizzazione v(t) soddisfa, invece, le seguenti proprietà:

• v(0) = 1.
• 0 ≤ v(t) ≤ 1 per t ≥ 0.
• v(t₂) ≤ v(t₁) per t₂ ≥ t₁, ovvero v(t) è una funzione decrescente.