matematica finanziaria

D =C%

k

dove le quote C della sommatoria sono le quote capitali pagate sino all'epoca k: Il debito

j

residuo D si pu?o calcolare anche come diJerenza fra il debito relativo alla penultima

k

scadenza D e la quota capitale C cio?e

k!1 k

D = D % C : Vale inoltre che D = 0 cio?e nell'ultima scadenza il debitore deve

k k!1 k n

estinguere il suo debito

e

D =0=)D =D %C =0=)D =C :

n n n!1 n n!1 n

Una proprieta? importante del debito residuo ?e che il debito D relativo all'epoca t Se pari

t

al valore attuale delle rate relative alle epoche k successive a t, calcolato nel regime

dell'interesse composto e al tasso di remunerazione i, ovvero

X n k>t

10.2 Ammortamento di un prestito con quote capitali costanti(am-

mortamento italiano)

La caratteristica di questo ammortamento ?e che viene restituita in ogni periodo k una

quota capitale costante C pari a . Si genera la seguente rendita:

C

n

D =

t

Q (1 + i) : .

k t!k

X n j=k+1

D = dove le quote C della sommatoria sono le quote capitali che verranno pagate nelle

k j

epoche

j=1

C ;

j

C ;

j

54

lOMoARcPSD|2968689

In questo caso, la formula del debito residuo

diventa

in quanto sino all'epoca k sono state pagate k quote capitali tutte di valore , mentre la

n C

D = C % D = C % k (

k k C

X k j=1

C j

formula

diventa

n

D = D % C D = D % :

k k!1 k k k!1 C

n

Percompletareilpianodiammortamento,determiniamoC dallarelazioneC,poiidebiti residui,

relativi alle diverse epoche k, dalla relazione n

D =C%k(C (oppureD =D %C) e successivamente procediamo nel seguente modo

k k k!1

I =D (i(sipartedaI =C(i) Q = I + C

k k!1 1 k k

ovvero determiniamo prima la quota interesse I e poi la rata Q sommando a I la quota

k k k

capitale costante C. Esempio 1 (Ammortamento Italiano) Chiediamo un 3nanziamento di

360000 euro e stipuliamo un contratto di ammortamento a quote capitali costanti, nel

quale la restituzione del capitale ?e prevista in 12 rate annuali, a un tasso di

remunerazione del 7% annuo.

Soluzione.

Determiniamo la quota capitale costante C

55

C = = = 30000:

C 360000 n 12

Compiliamo la colonna relativa ai debiti residui: D =C%C=360000%30000=330000 D

1 2

=D %C=330000%30000=300000(oppureD =C%2(30000) D

1 2 3

=D %C=300000%30000(oppureD =C%3(30000)ecc... Per completare il piano di

2 2

ammortamento, procediamo nel seguente modo: I =C(i=360000(0:07=25200 Q =C+I

1 1 1

=30000+25200=55200 I =D (i=330000(0:07=23100 Q =C+I =30000+23100=53100ecc...

2 1 2 2

Il piano di ammortamento completo risulta:

lOMoARcPSD|2968689

anno quota capitale C quota interesse I annualita? Q debito residuo D

k k k k

1 30000 25200 55200 330000

2 30000 23100 53100 300000

3 30000 21000 51000 270000

4 30000 18900 48960 240000

5 30000 16800 46800 210000

6 30000 14700 44700 180000

7 30000 12600 42600 150000

8 30000 10500 40500 120000

9 30000 8400 38400 90000

10 30000 6300 36300 60000

11 30000 4200 34200 30000

12 30000 2100 32100 0

.

10.3 Ammortamento di un prestito con rate costanti(ammor- tamento

francese)

La caratteristica di questo ammortamento ?e che viene restituita in ogni periodo k una rata

di rimborso costante Q. In questo caso, l'operazione di 3nanziamento origina una rendita

periodica posticipata con rata costante, ovvero:

QQQ Q

LL Abbiamo gi?a visto nel paragrafo sulle rendite che il valore attuale P di una rendita

0123 n

di

questo tipo si determina dalla formula

56

da cui esplicitando Q otteniamo Q = C ( :

i "n

lOMoARcPSD|2968689

P = Q ( .

1!(1+i) i

"n

Inoltre, poich?e in un'operazione di 3nanziamento il valore attuale delle rate deve essere

pari al valore del capitale prestato C, allora

C = Q ( 1!(1+i) i

"n

Poich?e in questo caso, noto il capitale C; ?e possibile determinare da subito la rata

1!(1+i)

Q, per

completare il piano di ammortamento, procediamo in ogni epoca k, nel seguente modo

I = D ( i

k k!1

C =Q%I D = D % C :

k k k k!1 k

ovvero determiniamo prima la quota interesse I e successivamente determiniamo la quota

k

C come diJerenza fra Q e I . Esempio 2 (Ammortamento Francese) Una banca 3nanzia

k k

l'acquisto di un immobile del valore di 150000 euro. L'ammortamento ?e previsto in 10

anni, a rate posticipate costanti con periodicita? mensile, al tasso i del 4% annuo.

Compilare il piano di ammortamento sino alla decima mensilit?a.

Soluzione. Si tratta di un ammortamento francese in cui dobbiamo calcolare le 120 rate

costanti mensili Q al tasso mensile i tale che:

1

12

1

i =(1+0:04) %1:

1 12 12

La rata Q la determiniamo dalla formula:

i 111 = 150000 = 1513:58:

% (1+0:04) !1 & (1+0:04) !1 1!(1+0:04)

12 12 1 "120 "10

* C = Q % I = 1513:58 % 491:06 = 1022:52

1 1

12 12

= 150000

Q = 150000 Per compilare il piano di ammortamento, procediamo nel seguente modo:

# $ 1+i

12 1

"120

1!

1+(1+0:04) !1

12

I =C(i =150000(i *=491:06

1! 1 1 1

12

D = C % C = 150000 % 1022:52 *= 148977:4768 I =D (i =148977:4768(i *=487:713

1 1 2 1 1 1

C = Q % I = 1513:58 % 487:713 = 1025*:87 D = D % C = 148977:4768 % 1025:87 =

2 2 2 1 2

147951:6062 ecc.. Il piano di ammortamento sino alla decima mensilit?a risulta:

57

12 12

lOMoARcPSD|2968689

mese quota capitale C quota interesse I mensilit?a Q debito residuo D

k k k

1 1022,52 491,06 1513,58415 148977,48

2 1025,87 487,71 1513,58415 147951,61

3 1029,23 484,36 1513,58415 146922,38

4 1032,60 480,99 1513,58415 145889,78

5 1035,98 477,61 1513,58415 144853,80

6 1039,37 474,21 1513,58415 143814,43

7 1042,77 470,81 1513,58415 142771,66

8 1046,19 467,40 1513,58415 141725,47

9 1049,61 463,97 1513,58415 140675,86

10 1053,05 460,54 1513,58415 139622,81

10.4 Ammortamento di un prestito con quote di accumulazione

(ammortamento americano)

L'ammortamento americano, detto anche a due tassi, si diJerenzia dagli altri piani di

ammortamento in quanto coinvolge due operazioni, una di 3nanziamento e una di inves-

timento. Dalla prima operazione si genera un piano di ammortamento con restituzione del

capitale C alla scadenza al tasso di remunerazione i. Poich?e il capitale ?e restituito alla

scadenza, ogni quota capitale C , per k = 1; : : : ; n % 1, sara? nulla mentre l'ultima quota

k

capitale C sara? pari all'intero capitale C. Per lo stesso motivo, il debito residuo D per k =

n k

1; : : : ; n% 1, sar?a pari a C, mentre D = 0. Il debitore paghera? in ogni epoca k = 1;:::;n %

n

1 solo la quota interesse I pari a C ( i, mentre pagher?a C ( i + C alla scadenza n. Si

k

genera la seguente rendita

CiCiCi CiCi+C

LL il cui corrispondente piano di ammortamento ?e

0 1 2 3 n-1 n

periodo k Quota capitale C Quota interesse I Rata Q Debito residuo D

k k k k

1 0 C(i C(i C

2 0 C(i C(i C

3 0 C(i C(i C

. . . . .

n C C(i C(i+C 0

.

La seconda operazione consiste nel versamento di m quote costanti e periodiche R, dette

quote di accumulazione, su un apposito fondo che capitalizza ad un tasso j, detto di

accumulazione, e non necessariamente uguale al tasso i, in modo tale che il montante a

scadenza sia pari al capitale C, cio?e

58

mentre

S =R+Q =R+C(i perk=1;:::;n%1 S =R+Q =R+(C(i+C):

k k n n

lOMoARcPSD|2968689

C = R = Rs :

(1+j) !1 mej j

m

Questo tipo di ammortamento prevede perci?o per il debitore un doppio impegno. Oltre a

pagare la quota di rimborso Q al creditore, il debitore deve versare su un fondo la quota

k

R: il versamento di tale rata costituisce per il creditore una garanzia circa la solvibilita? a

scadenza del debitore, in quanto il capitale che si genera su tale fondo ?e il capitale che il

debitore restituira? al creditore alla scadenza.

Se la periodicit?a con cui viene versata la rata R sul fondo coincide con la periodicita? con

cui viene pagata al creditore la quota di rimborso Q , allora ogni periodo k il debitore paga

k

una quota S tale che:

k

Esempio 3 (Ammortamento Americano)

Viene chiesto un 3nanziamento pari a C. L'ammortamento ?e previsto in 5 anni con rim-

borso del capitale a scadenza, a un tasso i del 5% annuo (regime di interesse composto),

e con rate Q annuali. Si supponga, inoltre, che nel corso dei 5 anni sia investita

k

quadrimes- tralmente (e posticipatamente) una quota R di 390 euro, in un fondo che rende

(in regime di interesse composto) al tasso annuo j del 10%: tale investimento dovr?a

produrre, alla 3ne dei 5 anni, un capitale pari all'entit?a del prestito C. Determinare

l'ammontare del capitale C e compilare il piano di ammortamento.

Soluzione.

Poich?e C dovra? essere pari al montante 3nale del fondo, allora:

# $ % & 1+j !1 1+(1+j) !1 !1

15 1 15 1 3 5

Per quanto riguarda il piano di ammortamento, i primi 4 anni pagheremo

(1+j) !1 (1+0:1) !1

3 3

solo una quota

interesse I pari a

I =737650:05=368:8 mentre l'ultimo anno pagheremo I e restituiremo il capitale.

Il piano di ammortamento perci?o ?e il seguente:

C=3905 =3905 =3905 '7376:

(1+0:1) !1 j

3 111

3

anno Quota capitale C Quota interesse I AnnualitSa Q Debito residuo D

k k k k

1 0 368: 8 368: 8 7376

2 0 368: 8 368: 8 7376

3 0 368: 8 368: 8 7376

4 0 368: 8 368: 8 7376

5 7376 368: 8 7744:8 0

59

Il termine

X A(t;j)=

n

k>t

Q (1+j) =

t!k k

X n k>t

Q 1 k (1+j) k"t

lOMoARcPSD|2968689

10.5 La valutazione dei prestiti indivisi (valutazione prospet- tiva)

I prestiti a cui abbiamo fatto riferimento sino ad ora, sono detti indivisi, perch?e relativi a

contratti fra due operatori economici (al contrario sono divisi, per esempio, quelli in cui il

singolo prestito viene 3nanziato da piu? soggetti, come le obbligazioni). Tali prestiti

durante il periodo di ammortamento possono essere rinegoziati, in quanto potrebbe

succedere che il debitore decida di estinguere anticipatamente il debito, oppure potrebbe

essere il creditore a richiederne una liquidazione anticipata.

In caso di rinegoziazione il prestito deve essere rivalutato. Esiste un criterio di valu-

tazione retrospettiva in cui si fa riferimento alla storia passata del prestito (ovvero si fa

riferimento alle quote Q gia? pagate), e un criterio di valutazione prospettiva in cui si tiene

k

conto della storia futura del prestito ed ?e il criterio che andiamo ad illustrare. De6nizione

10.2. Si de+nisce valore del prestito al tempo t e secondo il tasso di valu- tazione j la

somma A(t;j) dei valori attuali itndi tutti i pagamenti previ sti dal pi ano di ammortamento e

non ancora e@ettuati:

dove la di@erenza t%k rappresenta lo scarto temporale fra l'epoca di valutazione t e<