Matematica finanziaria e attuariale

MATEMATICA FINANZIARIA E ATTUARIALE

OFS di capitalizzazione

C - M(t)

tasso di interesse

LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE

(riassume tutte le SFE M(t))

M = F(C, t₀, t)

proprietà:

• monotona non negativa
• definita ∀C >= 0 e ∀ 0 anticipata o posticipata
• decorrenza -> immediata o differita

Tipologie principali

1) Immediata e posticipata e temporaneo

W(0) = RV + RV2 + ... + RVm = RV   1-Vm 1-V = R ani a

V = ₁¹⁺ⁱ

ani = 1-(1+i)-mi

W(m) = RUm-1 + RUm-2 + R = R   1-Vm1-V = R Sni = R ani(1+i)m

U = (1+i)

S_ni = _(1+i)^m-1ⁱ

2) Perpetuo immediata e posticipata

Wo(o) = Rm = Rm R anii = Rm R 1 - (1+i)∞i = 0 = Ri = R aii

3) Temporaneo posticipato e differita

REA(i) > 0 se il valore attuale degli entrambi i segni cambia in base ai:

se REA(i1) = REA(i2)

Limite, la scelta di è soggettiva. IRR cambia in base ai:

_TIR = (TI - R)

con TIR = i* nel caso di scelta fra OFC di investimento

TIR = -Lx* nel caso di OFC di finanziamento

OFC di investimento

• se Lx* > Ly* x > y

OFC di finanziamento

• se Lx* < Ly* x > y

Le i è tasso di interesse del tanzón. REA(λL) = 0

Condizioni sufficienti ed importanti con l'esistenza di Lx* > 0

1. Investimenti in senso stretto / Finanziamenti in senso stretto

W2(x)

1. W2(x) = Σ xL (1+l)^ -t*L funzione decrescente e convessa
2. se, g(x) asintoto aumentato, per l > 0
3. M+ investimenti in senso stretto λx* ≤ xk
4. SUM se di somma, elevate parole è > 0. Nyfe lemma elementi in senso stretto se di somma delle parole è > 0

Teorema di Nörstrom

Sia data x σ {xL(x+ j), k = 0, ..., m} 1j generica OFC e si definisca 1σ sa led è 0

Dati di pausa Sx = Σ xJ, k = 0, ..., m se assetto di sola DTM = Lo m < m

Redditività Ex Ante

P(X_t)

• Lasso cedolare
• CED - cedola/costo zero
• TIR

TIR

• Due ipotesi:
1. Scadenza in t cappuccio ri incasso invece di rimborso
2. In t cappuccio cedola reinvestite alle t_w stesso

P(X_t) = ∑_w=0^m x_w (1 + i)^t-t_w

P(X_t, (1+i)^-t) = ∑(x_w(1+i)^t-t_w)

P(X_t)(1+i)^t = ∑_wx_w(1+i)^t-t

P(X_t)(1+i)^t = ∑_wx_w(1+i)^t-t_w

= V(X, t cappuccio)

- Contrasta come metodo di redditività ex post

Struttura per scadenza dei prezzi o dei tassi

- Sottonsieme degli ZCB con scadenza massima intra lue scadenze r₁, r_h-1... m

Purzi dati ZCB sono V(t, t_n) i β= a ... m

i            i            i

t   t₁   t₂   t_m

V(t, t₁)     V(t, t₂)     V(t, t_m)

1 e l'ampiezza classi.

2) _mL_x = numero di morti fra la età x ed x + m

  _mL_x = L_x - L_{x + m}

3) _mp_x = tasso annuo di sopravvivenza.

  _mp_x = ^{L_{x + 1}}/_Lx

4) q_x = tasso annuo di mortalità.

  q_x = ^{L_x - L_{x + 1}}/_Lx

5) mpx = probabilità di essere in vita m anni dopo l'età x

  mpx = ^{L_{x + m}}/_Lx

FORZA DI MORTALITA'

si considera la probabilità di morte di un individuo entro Δx anni

Δ/Δx q_x = ^{L_x - L(x + Δx)}/_Lx - ^{L(x + Δx) - L_x}/_Lx

  = -¹/_Lx(L'_x Δx + o Δx)   Δx → 0

   = ^e'l(x)/_l(x) Δx - o ^(Δx)/_lx   Δx → 0

   = e'l(x)/L_x Δx + o Δx   Δx → 0

   = ^{C' _x}/_Cx Δx = μ_x Δx

  μ_x = - ^e'l(x)/_e(x)    → FORZA DI MORTALITA'

La probabilità di morire Δx anni per un individuo di età x è proporzionale a meno di un infinitesimo al ordine superiore a Δx, a Δx stesso col il fattore di proporzionalità e μ_x