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Matematica Finanziaria

La matematica finanziaria è una materia che mette in relazione gli importi monetari esigibili in scadenze differenziate.

Sistema Finanziario: insieme di intermediari, cioè di soggetti che operano all'interno del sistema, che ha come scopo primario quello di permettere il passaggio del flusso di denaro da soggetti in surplus a soggetti in deficit.

• Soggetti in surplus: sono coloro che hanno disponibilità finanziare in eccesso
• Soggetti in deficit: sono coloro che per operare hanno bisogno di prendere in prestito del denaro.

Il sistema finanziario che ha come scopo elementare quanto appena descritto, utilizza i contratti finanzari per mettere in atto questi scambi di denaro. Questi contratti fanno riferimento all'operazione finanziaria

• Operazione Finanziaria: scambio monetario tra importi monetari esigibili a scadenze diverse.

Fa riferimento a due elementi:

1. Importi monetari: è un numero che ha un valore diverso a seconda delle data in cui viene esercitato.
2. Date

Le operazioni finanziarie possono essere di due tipi:

1. A) Deterministiche: organizzate in condizioni di certezza
2. B) Aleatorie: non so che cosa succederà al contratto (non si ferma).

Nelle operazioni finanziarie deterministiche le condizioni delle operazioni finanziarie che si mettono in atto vengono fissate oggi (t₀), in t(lato cocente) e tali rim

sono per tutta la durata, quindi, anche se la manifestazione finanziaria si svolge in una data successiva, io so già, da oggi come si sviluppa, il tasso probabil

Le operazioni finanziarie possono essere:

• di PRESTITO

+K = prestito che rappresenta un'entrata

-H = quello che restituisco e che rappresenta un'uscita

data in cui si stipula il contratto

Flusso di cassa per un soggetto in deficit

• di INVESTIMENTO

-K

+M

Flusso di cassa per soggetto in surplus

presto denaro (-k), riceve M, prima ho un'uscita e poi un'entrata

Come valutare questa situazione?

Es. se io conosco M, posso pormi il problema di capire quanto deve essere k

perchè lo scambio sia equo.

Come deve funzionare il contratto in modo che sia il soggetto che prende a prestito

(in deficit) sia il soggetto in surplus siano disposti a farlo? Che quindi sia

equo? In modo che il soggetto che ha prestato senta sia ben ricompensato

e colui che ha preso a prestito paghi il giusto per aver preso il denaro?

Le funzioni finanziarie generali ( = funzione montante = funzione sconto) che

permettono di mettere in relazione finanziaria k con M, quindi di andare

avanti nel tempo (capitalizzando) o di tornare indietro (attualizzando)

Esempio: Apponiamo di conoscere k ed di pormi il problema di M. Vogliamo sapere

quanto deve essere M finanziariamente, perchè convenga acquisire l'operazione finanziaria che

prevede l'entrata di k:

Mi chiedo, prendendo k in t, quanto dovrò versare in T, cioè M. Se invece so quanto

vale M e mi chiedo quanto vale k per avere M, mi pongo un problema inverso cioè lo

voglio scambiare indietro nel tempo = voglio valutare M in t

Come valutare in modo equo gli scambi monetari. Devono valere 3 condizioni:

1. EQUIVALENZA FINANZIARIA: K in t (piccolo t) deve essere equivalente dal punto di
2. vista finanziario a M in T (grande T) per il soggetto deve
3. essere uguale k in t e M in T
4. SCAMBIO EQUO: k in t < M in T deve essere vera l'ipotesi di preferenza
5. temporale degli investitori. Cosa significa? Che k in t è
6. sempre preferito a M in T

Definizioni di V ed m

• V (t, T, δ) = prezzo di un contratto stipulato in t che prevede il pagamento del prezzo V in T per avere una posta monetaria a scadenza.
• m (t, T, δ) = montante di un atto stipulato in t che prevede in T l'incasso di una posta monetaria che produce il montante m (t, T, δ) a scadenza.

Proprietà V (t, T, δ)

1. V (t, T, δ) ≤ δ   ∀ t ≤ T ≤ δ
2. V è crescente rispetto a T

Proprietà m (t, T, δ)

1. m (t, T, δ) ≥ 1   ∀ t ≤ T ≤ δ
2. m è decrescente rispetto a T

∀ t ≤ T₁ ≤ T₂ ≤ δ ⇒ V (t, T₁, δ) ≤ V (t, T₂, δ)

definizione matematica generale

Siccome 2 contratti in (t; δ) il primo prevede il pagamento di V (t, T₁, δ) in T₁ per avere a scadenza una posta monetaria.

In matematica finanziaria contano due elementi: importi e date, e alle date sono connessi le durate.

Durata: la misura dell'intervallo in cui si sviluppa l'operazione.

Matematicamente è la differenza tra l'estremo più grande e quello più piccolo.

Il primo contratto dura più del secondo ⇒ il prezzo del primo < di quello del secondo.

Il primo contratto viene investito per una durata più lunga ⇒ δ- T₁ > δ - T₂, quella posta monetaria ha più tempo per produrre il montante a scadenza e quindi è giusto che sia più grande.

Per semplicità si considerano scadenze equintervallate

va dire che la misura degli intervalli individuati dalle scadenze è sempre 1.

Si fa imponendo che:

1. ∮dt ∮d_t+j
2. ∀j 2 1...n (∀) dovuta...d n) t = 0

si ottiene che t + j = (t + j - 1) = 1

ponendo questa, individuo:

0 -------- 1 ------- 2 -------- 3 ------- n

periodicità: viene specificata di volta in volta (semestre, trimestre ecc...)

→ questi intervalli misurano sempre 1

Cap  semplice

Considero intervallo

0 --- 1 --- 2 --- 3 -------- n

k s

Suppongo k investito in s

suppongo tasso i/s = tasso semplice annuo

Nel momento in cui definisco l'operazione finanziaria e il contesto individuando lo scadenza, ci deve essere omogeneità tra periodicità dei tassi e quello delle scadenze.

Capit. complessa

Individuo

0 --- 1 --- 2 --- 3 -------- n

k M

continua diverso o confronto formule

Si può individuare il tasso composto finanziariamente equivalente a quello semplice?

_{(legato del compito)}

M = k [1 + i_s (T-t)]

Si può determinare i_c (composto) finanziariamente equivalente a i_s? Vuol dire: si può dire i_c composto che, dato lo stesso capitale e la stessa durata, produce lo stesso M?

k [1 + i_s (T+t)] = k (1 + i_c)^(T-t)

Se fosse il contrario? Cioè avessi come condizione noto i_c - ho k, T e i_c, voglio calcolare il tasso semplice finanziariamente equivalente (e che produca lo stesso montante).

Stessa relazione, ma l'incognita è i_s

• Relazione di equivalenza

- Determinare il tasso composto finanziariamente equivalente a quello continuo

Vuol dire che ho un'operazione finanziaria in cui si noto k, T (è durata) e δ; devo calcolare la finanziariamente equivalente

M = ke^δ(T-t) - questo è noto

Per individuare i_c, la condizione da soddisfare è:

ke^δ(T-t) = k (1 + i_c)^(T-t) - δ è l'incognita

• [k k in equip. ficica]

- caso opposto: i_e noto, voglio sapere δ - stessa relazione, ricavo δ ("voglio δ finanziariamente equivalente a i_e"), ricavo δ facendo log.