Matematica - esami di stato 2008/2009

Questionario

1. Si trovi la funzione f(x) la cui derivata è sen x e il cui grafico passa per il punto (0, 2).
2. Sono dati gli insiemi A = { , 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Tra le possibili applicazioni (o funzioni) di A in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive?
3. Per quale o quali valori di k la curva d'equazione y = x^3 + kx^2 + 3x - 4 ha una sola tangente orizzontale?
4. "Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni". Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.
5. Si considerino le seguenti espressioni: 0^0, 1^0, 0^1, 0^0. A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta. x^2 + 1
6. Si calcoli: lim(x->-∞) (x^n - k)
7. Si dimostri l'identità k + 1 = k^k + 1 con n e k naturali e n > k.
8. Si provi che l'equazione: x^2009 + 2009x + 1 = 0 ha una sola radice compresa fra -1 e 0.

Nei "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze", Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri, che la scodella ha volume pari al cono di vertice V in figura. 10. Si determini il periodo della funzione f(x) = cos 5x. Quesito 1: L'INTEGRALE DI sen x = -cos. La funzione è allora y = -cos(x) + costante. Imponendo il passaggio per il punto (0,2) si ha 2 = -cos(0) + costante, ovvero costante = 2. La funzione è allora y = 3 - cos(x). Quesito 2: Poiché gli elementi del dominio (di A) sono maggiori di quelli del codominio di B, non possono esistere funzioni iniettive e neanche biettive quindi. Tutte le funzioni saranno dunque suriettive. Quesito 3: La curva ha tangente orizzontale quando la derivata prima si.annulla.f(x)=x^3+kx^2+3x-4
La derivata prima sarà –>3x^2+2kx+3=0
Per trovare il punto in cui si annulla calcoliamo il discriminante che sarà: 4k^2-36=0
Quindi k=più o meno 3

Quesito 4:
Falso. Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari; infatti in un vertice di un poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stiano sullo stesso piano; quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360°.

Quesito 50/1 fa zero, perché non è una forma indeterminata.

Quesito 62√(x + 1)lim ———-x→-∞ x risultato -11/0 fa infinito, perché il numeratore esiste ed il denominatore è zero. Le altre due forme sono indeterminate.

Quesito 8:
CALCOLATE LA DERIVATA PRIMA 2009XALLA2008+2009 è SEMPRE CRESCENTE
f(-1)=-1-2009+1<0
f(0)=1>0
Per il teorema di Weistrass esiste un punto p tra -1 e 0 che annulla la funzione.

Quesito 10:
La funzione cos5x ha periodo

2πGRECO/5. I maturandi avranno 6 ore di tempo per svolgere due problemi e dieci quesiti. Potranno avvalersi dell'aiuto di una calcolatrice non programmabile e non potranno consegnare prima che siano trascorse tre ore.

PROBLEMA

11) L'area cercata è la differenza tra l'area del settore circolare e quella del triangolo ABO.

L'area del settore circolare, dal momento che l'area del cerchio è la metà dell'angolo giro, si ricava, ad esempio, attraverso la proporzione:

Area settore circolare = (angolo/360) * π * r^2

Del triangolo si sa che tale poligono è isoscele (due lati sono r).

Per trovare l'area ci occorre la lunghezza del segmento AB e la relativa altezza.

Il segmento AB è dato, per il teorema di Carnot, da:

AB = 2r * cos(angolo/2)

L'altezza del triangolo sarà, per il teorema di Pitagora, utilizzando il triangolo rettangolo metà del triangolo isoscele con base pari a metà di AB:

altezza = √(r^2 - (AB/2)^2)

L'area del triangolo, quindi, sarà:

Area triangolo = (AB * altezza)/2

che per la relazione fondamentale della geometria sarà:

Area triangolo = (r * AB * √(r^2 - (AB/2)^2))/2

Trattandosi di un triangolo, x sarà senz'altro compresa tra e pertanto la semplificazione di radice non necessiterà del valore assoluto. Pertanto l'area S compresa tra l'arco e la corda sarà. (Altro modo per risolvere l'area del triangolo poteva essere, più semplicemente, valutare l'altezza relativa ad un lato del triangolo pari al raggio. L'altezza relativa a tale lato, era, per la definizione di seno, data da: dal momento che il seno, per definizione, è il rapporto tra il cateto non adiacente l'angolo x e l'ipotenusa e quindi) 2) Studio della funzione Intersezione con gli assi Dal momento che la funzione non esisteranno altri punti di intersezione con l'asse x. Segno della funzione La funzione è limitata e definita su tutto il dominio, pertanto non esistono limiti. Studio della derivata prima: Pertanto è sempre crescente. Dal momento che la funzione è ristretta ed è sempre crescente.

in avremo un minimo assoluto di coordinatee in un punto di massimo assoluto

Studio della derivata seconda

Da cuie pertanto

Concluderemo quindi che nell'intervallo la funzione avrà concavita verso l'alto, nell'intervallo verso ilbasso e nei punti punti di flesso.