Analisi Matematica

Teoria degli insiemi

Insieme si definisce tale quando diversi oggetti di qualunque natura hanno proprietà in comune.

• ⊆ = è incluso
• ∈ = appartiene
• ∩ = intersezione
• ∪ = unione

A∩B comprende tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A e in B

A∪B comprende tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A o in B

es. T = {triangoli di un piano}R = {triangoli rettangoli}I = {triangoli isosceli}E = {triangoli equilateri}

• R⊆T
• E⊆T
• I⊆T
• T∩R

∅ = insieme vuoto: si può pensare che tale insieme sia contenuto in quel qualsiasi (privo di elementi)

∅⊆B

es. E∩R = ∅

Differenza A∖B

Tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A ma non in B

Prodotto cartesiano A × B

A × B = { (a, b) a∈A, b∈B }a, b OFOFPIMZ

A × B ≠ B × A

Logica matematica

= implicazione

sostituisce il "se... allora..."

P: premessa

Q: conseguenza

P → Q teorema

ipotesi → tesidimostrazione

P rappresenta una condizione sufficiente per ottenere QQ è condizione necessaria per P

Il teorema sintetizza una dimostrazione

Equivalenza logica

P ⇔ Q

⇔ = sostituisce il "se e solo se"

Quantificatore universale: ∀

Quantificatore esistenziale: ∃

I quantificatori si usano quando si ha a che fare quando si hanno soluzioni da quantificare.

∀ si utilizza quando vogliamo affermare che una certe proprietà si verifica per tutti gli elementi dell'insieme

∀x ∈ P x è promesso

Con ∃ si afferma che almeno un elemento soddisfa la condizione imposta

∃x ∈ P x è promesso

∀ ed ∃ sono indispensabili per quantificare determinate variabili

Collegando il procedimento tra la struttura algebrica, di ordine e la completezza si formano ℝ

(ℕ⊂ℤ⊂ℚ)⊂ℝ

Irrazionali: ℂ/ℝ

Esempio: π, 3,14, 4,532...

Il numero irrazionale è un'espressione e una successione di numeri razionali e reali

Struttura algebrica

a: può assumere qualunque valore di caso in caso

Proprietà associativa

• (a+b)+c = a+(b+c)
• (a+b)c = a(b+c)

Proprietà commutativa

• a+b = b+a
• a·b = b·a

Proprietà distributiva

• (a+b)·c = ab+bc
• (a+b)(c+d) = ac+bc+ad+bd

I numeri 0 ed 1 godono di proprietà algebriche

0: elemento neutro nella somma

1: elemento neutro nella moltiplicazione

• a+b=0
• a+(−1)a: a·(1+(−1)=0
• b=(−1)a=−a

Il teorema di Ruffini dice che se conosco la radice di un polinomio allora conosco il valore esatto per formare il binomio x - λ.

Se prendiamo il quoziente Q(x) e proviamo a dividervi per x - λ noteremo che risulterà a volte esatto e a volte no.

Se è divisibile per x - λ si dirà che x - λ ha una molteplicità:

P_(x) = Q_(x)(x - λ) + Q_(x)(x - λ)²

Continuando il ragionamento si giungerà alla definizione:

Se λ è una radice di P_(x) dire che μ∈ℕ è la molteplicità di λ se P_(x) è esattamente divisibile per (x - λ)^μ ma non per (x - λ)^μ+1.

Vuol dire che:

P_(x) = Q_(x)(x - λ)^μ

Q_(x)^{μ = m}

m - μ = grado di Q_(x)

Q_(x) = Q_(x) + R se R ≠ 0

Un polinomio lo si fattorizza in fattori elementari trovando le radici

P_(x) = 0 EQUAZIONE ALGEBRICA

Per trovare tutte le x presenti in un polinomio in x∈ℝ.

Lo si pone uguale a 0, così la P_(x) diventa un problema e la x l’incognita.

(x + 1)² = x² + 2x + 2

∀x∈ℝ identità

Zⁿ = Rⁿ (cos (nΘ) + i sin (nΘ))

Rⁿ (cos (nΘ) + i sin (nΘ)) = r (cos φ + i sin φ)

Rⁿ = r R = ⁿ√r

nΘ = φ

nΘ = φ + 2Kπ

periodicità

Θ = _{φ + 2Kπ}/_n K ϵ Z

Θ

angolo iniziale Θ = _{φ + 2Θ}/n /_n

L'insieme |Re| è caratterizzato inoltre dalla completezza cioè la rappresentazione in una geometria certa ξ non esiste nessuna struttura di ordine analo gabile in |R

Teorema fondamentale dell’algebra (D’Alembert)

Consideriamo un polinomio,

P(x) = ∑_{i = 0}ⁿ a_i xⁱ

dove a₀ ... a_n ϵ 4 anfo

e grado n > 1.

Si ammettono un numero k di soluzioni distinte λ₁ ... λ_k

ϵ ϕ, 1 ϵ k ϵ n

Detto μ₁ ... μ_k le rispettive molteplicitá (μ_ι > 4), μ_ι, ..., μ_k = 1

Se P(x) e i coefficienti reali, si può dire che se λ è una radice di molteplicità μ allora è ancora una radice di molteplicità μ.

y = f₁(x)

y = [f₁; g₁](x) = (f · g)(x)

y² = g₁(x)

La funzione reciproca

y = f(x)

y = ¹/_f(x)

f_rc = 1

Quando f_rc raggiunge valore 0 il reciproco non esiste

dom f = R

dom ¹/_f = dom f ∩ {x | f(x) ≠ 0}

y = f(x) a ∈ R

y = g_(x) = f(x − a)

Per calcolare la nuova funzione f(x − a) bisogna sottrarre a alla x e poi calcolare f(x). Così, f(x − a) viene traslato a destra o a sinistra.

y = f(x)

y = g_(x) = f(x + a)

Con la funzione f(x + a) viene traslata la funzione originale f(x) verso l'alto o verso il basso

La funzione ribaltamento

y = f(x)

y = g_(x) = f( − x)

La funzione f( − x) viene specchiata rispetto all'asse delle y

y = f(x)

y = g_(x) = − f(x)

La funzione f( − x) viene specchiata rispetto all'asse delle x

Cambiamento di scala

y = f(x) a > 0 → assolutamente

y=arctg x

domℝ

Lim: [^π/₂, ^π/₂]

y=sin x

Limitata? si

-1 < sin x < 1

f:ℝ→ℝ

dom f: A

X_o∈A

Y_o=f(X_o)

si dice punto di massimo assoluto per f

se f(x_o) > f(x) ∀x∈A

si dice valore massimo assoluto (se c’è e è unico)

si dice punto di minimo assoluto per f

se f(x_o) < f(x) ∀x∈A

si dice valore minimo assoluto (se c’è e è unico)

f(x)=x⁴-x²=x²(x-1)²=x(x-1)(x+1)

f_x=0

se -1 < x < 1 ⇒ f(x) < 0

A condizione che x venga scelta nell’intervallo ed il f_ox<0

X_o=0 MASSIMI O MINIMI RELATIVI O LOCALI

quando x→+∞

f_x convergenti.

y=f(x) dom f non limitato superiormente

si dice che una funzione converge a l per x che tende a +∞ o f(x) ammette limite l per x che tende a +∞

lim f(x) = l x→+∞

Definizione:

∀ε>0 ∃K>0 : ∀x ∈ dom f x>K ⇒ |f(x)-l|<ε

g(x)-l

lim f(x) = l ⇔ lim g(x) = 0x→+∞ x→+∞

Se f_x→l è positivo f(x)-l ε

−ε< f(x)-l<ε

Se: lim f(x)=l x→+∞

Si dice che la retta orizzontale di equazione y=l è un asintoto orizzontale (destro)

Se lim f(x)=l x→−∞

Si dice che la retta orizzontale di equazione y=l è un asintoto orizzontale (sinistro)

CASI PARTICOLARI

y=sen x   y=cos x

lim senx = non esiste   lim cosx = non esiste x→+∞