Analisi Matematica

Teoria degli insiemi

Insieme si definisce tale quando diversi oggetti di qualunque natura hanno proprietà in comune.

• ⊆ = è incluso
• ∈ = appartiene
• ∩ = intersezione
• ∪ = unione

A ∩ B comprende tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A e in B.

A ∪ B comprende tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A o in B.

es. T = {triangoli di un piano}
R = {triangoli rettangoli}
I = {triangoli isosceli}
E = {triangoli equilateri}

R ⊆ T
E ⊆ T
I ⊆ T
T ∩ R

∅ = insieme vuoto: si può pensare che tale insieme sia contenuto in qualsiasi (privo di elementi).

∅ ⊆ B       es. E ∩ R = ∅

Differenza A - B

Tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A ma non in B.

Prodotto cartesiano A × B

A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B}

_{oppure  Primi 2}

A × B ≠ B × A

Teoria degli insiemi

Insieme si definisce tale quando diversi oggetti di qualunque natura hanno proprietà in comune.

• ⊆ = è incluso
• ∈ = appartiene
• ∩ = intersezione
• ∪ = unione

A ∩ B comprende tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A e in B.

A ∪ B comprende tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A o in B.

es. T = {triangoli di un piano}
R = {triangoli rettangoli}
I = {triangoli isosceli}
E = {triangoli equilateri}

R ⊆ T
E ⊆ T
I ⊆ T
T ∩ R

∅ = insieme vuoto; si può pensare che tale insieme sia contenuto in qualsiasi (privo di elementi).

∅ ⊆ B

es. E ∩ R = ∅

Differenza A-B

Tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A ma non in B.

Prodotto cartesiano A×B

A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B}

A × B ≠ B × A

Logica matematica

⇒ : implicazione

P: premessa
Q: conseguenza

Sostituisce il "se... allora..."

P ⇒ Q Teorema

Ipotesi tesi dimostrazione

P rappresenta una condizione sufficiente per ottenere Q.

Q è condizione necessaria per P.

Il teorema sintetizza una dimostrazione.

Equivalenza logica

P ⇔ Q

⇔ : sostituisce il "se e solo se".

In questo caso P è condizione necessaria e sufficiente per Q.

Quantificatori

Quantificatore universale: ∀

Quantificatore esistenziale: ∃

I quantificatori si usano quando si ha a che fare quando si hanno soluzioni da quantificare.

∀ si utilizza quando vogliamo affermare che una certa proprietà si verifica per tutti gli elementi dell'insieme.

∀ x ∈ P x è promossa.

Con ∃ si afferma che almeno un elemento soddisfa la condizione imposta.

∃ x ∈ P x è promossa.

V ed ∃ sono indispensabili per quantificare determinate variabili.

es. ∃x x²+5x+1=0

∃x x²

∀x: x²≥0

∀ scelta arbitraria (per ogni)

∃ scelta opportuna (esiste)

L'Analisi matematica

È lo studio delle funzioni, variabili e reali.

Concetti principali:

• Funzioni
• Numeri

I numeri

Numeri naturali ℕ

I numeri naturali sono di utilizzo quotidiano.

Tali numeri sono sempre o positivi o uguali a zero.

ℕ: {0,1,2,3...}

I numeri, pur essendo naturali e astratti, costituiscono un insieme.

n₁: n₂ (n-1) (n-2) ... n:! Fattoriale

Coefficiente binomiale

(_m^k) = m! / k!(m-k)!

K≤m

(x+y)^m= (_m⁰) x^m + (_m¹) x^n-1y + (_m² x^n-2y²) + ...

Numeri reali ℝ

Costituisce un insieme numerico più ampio in cui sono presenti i numeri negativi.

ℝ comprende:

• Una struttura algebrica
• Una struttura di ordine
• La capacità di esprimere qualunque misura lineare

ℝ soddisfa le 3 condizioni ed è l'insieme dei numeri reali. Si può pensare di identificare ℝ su una retta.

-3-20123

Origine

Numeri interi

ℕ ⊂ ℤ

In ℤ si possono fare calcoli che in ℕ non è possibile immaginare.

^p/_q q≠0 (p,q∈ℤ)

Numeri razionali

ℚ ℕ⊂ℤ⊂ℚ

Con i numeri razionali è possibile ampliare il numero di multipli e sottomultipli.

Esistono inoltre i numeri irrazionali, i quali non possono essere espressi in frazione.

es. π ed e sono irrazionali

e ^lim_h→∞ (1+¹/_m)ⁿ

Algoritmo

L’algoritmo si utilizza per trovare la soluzione della radice quadrata.