Analisi Matematica

Teoria degli insiemi

Insieme si definisce tale quando diversi oggettidi qualunque natura hanno proprietà in comune.

• ⊆ = è incluso
• ∈ = appartiene
• ∩ = intersezione
• ∪ = unione

A ∩ B comprende tutti gli elementi che hannodiritto di stare in A e in BA ∪ B comprende tutti gli elementi che hannodiritto di stare in A o in B

es.T = {triangoli di un piano}R = {triangoli rettangoli}I = {triangoli isosceli}E = {triangoli equilateri}

• R ⊆ T
• E ⊆ T
• I ⊆ T
• T ∩ R

∅ = insieme vuoto: si può pensare chetale insieme sia contenuto in quelsiasi (privo di elementi)

∅ ⊆ B      es. E ∩ R = ∅

Differenza A - BTutti gli elementi che hanno diritto di stare inA ma non in B

Prodotto cartesiano A × B

A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B}_{oppure  PRIMI 2}

A × B ≠ B × A

Teoria degli insiemi

Insieme si definisce tale quando diversi oggetti di qualunque natura hanno proprietà in comune.

• ⊆ = è incluso
• ∈ = appartiene
• ∩ = intersezione
• ∪ = unione

A∩B comprende tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A e in B

A∪B comprende tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A o in B

es. T = {triangoli di un piano}

• R = {triangoli rettangoli}
• I = {triangoli isosceli}
• E = {triangoli equilateri}

R⊆T

E⊆T

I⊆T

T∩R

∅ = insieme vuoto; si può pensare che tale insieme sia contenuto in qualsiasi (privo di elementi)

∅⊆B

es. E∩R=∅

Differenza A-B

Tutti gli elementi che hanno diritto di stare in A ma non in B

Prodotto cartesiano A×B

A×B = {(a, b) a∈A, b∈B}

A×B≠B×A

Logica matematica

⇒ : implicazione

P: premessa

Q: conseguenza

sostituisce il "se... allora..."

P ⇒ Q Teorema

ipotesi tesi dimostrazione

P rappresenta una condizione sufficiente per ottenere Q

Q è condizione necessaria per P

Il teorema sintetizza una dimostrazione

Equivalenza logica

P ⇔ Q

⇔ : sostituisce il "se e solo se"

In questo caso P è condizione necessaria e sufficiente per Q

Quantificatore universale: ∀

Quantificatore esistenziale: ∃

I quantificatori si usano quando si ha a che fare quando si hanno soluzioni da quantificare.

∀ si utilizza quando vogliamo affermare che una certa proprietà si verifica per tutti gli elementi dell'insieme

∀ x ∈ P x è promossa

Con ∃ si afferma che almeno un elemento soddisfa la condizione imposta

∃ x ∈ P x è promossa

V ed ∃ sono indispensabili per quantificare determinate variabili.

es. ∃x x²+5x+1=0

∃x x²

∀x: x²≥0

∀ scelta arbitraria (per ogni)

∃ scelta opportuna (esiste)

L'Analisi matematica

è lo studio delle funzioni, variabili e reali.

concetti principali: -funzioni -numeri

I Numeri

Numeri naturali ℕ

I numeri naturali sono di utilizzo quotidiano.

Tali numeri sono sempre o positivi o uguali a zero

ℕ: {0,1,2,3...}

I numeri pur essendo naturali e astratti costituisco

un insieme

n₁: n₂ (n-1) (n-2) ... n:! Fattoriale

Coefficiente binomiale

(_m^k) = m! / k!(m-k)!

K≤m

(x+y)^m= (_m⁰) x^m + (_m¹) x^n-1y + (_m² x^n-2y²) + ...

Numeri reali ℝ

Costituisce un insieme numerico più ampio in

cui sono presenti i numeri negativi

ℝ comprende:

• una struttura algebrica
• una struttura di ordine
• la capacità di esprimere qualunque misura lineare

ℝ soddisfa le 3 condizioni ed è l'insieme dei numeri reali. Si può pensare di identificare ℝ su una retta

• -3
• -2
• 0
• 1
• 2
• 3

Origine

Numeri interi

ℕ⊂ℤ

In ℤ si possono fare calcoli che in ℕ non è possibile immaginare

• ^p/_q q≠0 (p,q∈ℤ)

Numeri razionali

ℚ ℕ⊂ℤ⊂ℚ

Con i numeri razionali è possibile ampliare il numero di multipli e sottomultipli.

Esistono inoltre i numeri irrazionali, i quali non possono essere espressi in frazione.

es. π ed e sono irrazionali

e ^lim_h→∞ (1+¹/_m)ⁿ

Algoritmo

L’algoritmo si utilizza per trovare la soluzione della radice quadrata

es