Matematica finanziaria

Soluzione esercizio 1

Una rendita posticipata di otto rate ha valore attuale di 21656,09. Sapendo che le prime cinque rate sono di 3000 e che il tasso applicato è il 7%, calcolare l'importo delle altre tre rate costanti.

Valore attuale rendita posticipata:

\( n_1 \times (1 + i)^e = R \)

a = 21656.09

\( n_1 \), \( n_i \) 3000 3000 3000 3000 3000

21656.09 = \( \left( \frac{3000}{(1 + 0.07)^1} + \frac{3000}{(1 + 0.07)^2} + \frac{3000}{(1 + 0.07)^3} + \frac{3000}{(1 + 0.07)^4} + \frac{3000}{(1 + 0.07)^5} \right) + R \left( \frac{1}{(1 + 0.07)^6} + \frac{1}{(1 + 0.07)^7} + \frac{1}{(1 + 0.07)^8} \right) \)

\( 3000 + 3000 + 3000 + 3000 + 3000 \left( \frac{1}{(1 + 0.07)^2} + \frac{1}{(1 + 0.07)^3} + \frac{1}{(1 + 0.07)^4} + \frac{1}{(1 + 0.07)^5} \right) = 12301 \)

\( 1.871 + R \left( \frac{1}{(1 + 0.07)^6} + \frac{1}{(1 + 0.07)^7} + \frac{1}{(1 + 0.07)^8} \right) = 1.871 \)

3000 e 12301 = 0.07

\( 2 \times 31 \times (1 + 0.07) \)

R \(\times (1 + 0.07)^1 = R \times 1.871 \times 0.07 \)

21656.09 - 12301 = R × (1.871 - 1)

9355.1 = R = 81.8711

5000R = R

Soluzione esercizio 2

Un individuo si accorda per restituire in 15 anni un importo di 60000 con il metodo italiano al tasso del 5%. Dopo le prime 8 rate versate regolarmente, il debitore incontra un periodo di difficoltà finanziarie nel quale sospende i pagamenti per 2 anni. A questo punto si accorda per restituire il prestito nei tempi previsti, versando rate semestrali di un nuovo ammortamento francese condotto sul debito residuo al tasso del 9%. Calcolare l'importo delle nuove rate.

A = 60000

C = 4000

Dopo 8 anni di versamenti regolari, il debito estinto è:

D = 8 × 4000 = 32000

Il debito residuo è la differenza sull’intero importo:

60000 - 32000 = 28000

Per 2 anni non ci sono più versamenti e quindi, al tempo 8, il debito residuo è:

28000 × (1 + 0.05) = 30870

Riscrivendo la relazione di cui sopra otteniamo l’importo della rata al tempo 10 costante:

Si ha 15-10=5 anni in rate semestrali il periodo diventa 10 ed i diventa \( i = \frac{(1 + 0.09)}{1} = 0.04403122 \)

\( R = \frac{30870}{(1+i)^10 - 1} = 3882.71 \)

Soluzione esercizio 3

Stendere il piano di ammortamento, a rata costante semestrale posticipata, di 200000 in 2 anni, al tasso del 8,2%.

Soluzione esercizio 4

Data la seguente rendita irregolare \( f3000; 5500; 4800g \) \( f0.5; 2.5; 4g \), determinare la rata trimestrale costante che fornisce lo stesso montante (tasso 8% annuo).

Tasso trimestrale:

\( (4 \times 0.5) \), \( (4 \times 2.5) \), \( (4 \times 4) \)

M = R (1 + i) + R (1 + i) + R (1 + i)

\( 3.5 (1.5) 0 \)

M = 3000(1 + 0.08) + 5500(1 + 0.08) + 4800(1 + 0.08) = 14900\)

M = 14900

\( i = (1 + 0.08) - 1 = 0.019444 \)

M = \( \frac{14900}{s_{n}^{ji}} \)

\( R = \frac{14900}{18.553} = 803.1 \)

\( s_{n}^{ji} = \frac{(1 + 0.0194)^{16} - 1}{0.0194} \)

Soluzione esercizio 5

La forza di interesse di un regime finanziario è pari a 0,10 per i primi due anni e mezzo e 0,26 per altri due anni e mezzo. Calcolare il montante di 3000 dopo 5 anni.

Tasso trimestrale:

Dati: \( \delta t \int s ds \)

\( r(t) = R(t) \)

\( M = e^{0.9 \times R} \)

\( \int_{2.5}^{5} 0.10 dt + \int_{0}^{2.5} 0.26 dt \)

\( M = 3000e^{0.9} = 7378.8 \)

Soluzione esercizio 6

Calcolare il TIR del titolo che scade tra 2 anni, paga una cedola annuale pari a 10, rimborsa 110 alla scadenza e costa oggi 85.

\( 85 = \frac{10}{(1 + i)} + \frac{120}{(1 + i)^2} \)

\( 285.x + 10x + 120 = 0 \)

Solve: \( f85.x + 10x + 120 = 0g \)

\( x = 1.248455789 \)