Matematica finanziaria

f30000; 19500; 14000g = f0; 3; 6g

f20:000; 15:000; 8:500g = f0; 2; 4g

0.0.1 Soluzione:Esercizio 1) e

Una rendita posticipata di otto rate, ha valore attuale 21656,09: sapendo che le

e

prime cinque rate sono di 3.000 e che il tasso applicato è il 7%, calcolare l’importo

delle altre tre rate costanti.

Valore attuale rendita posticipata

n

1 (1 + i) e

a = R a = 21656:09

n n

i 3000 3000 3000 3000 3000

e21656:09 = ( + + + + )

2 3 4 5

(1 + 0:07) (1 + 0:07) (1 + 0:07) (1 + 0:07) (1 + 0:07)

1 1 1

+R( + + )=

6 7 8

(1 + 0:07) (1 + 0:07) (1 + 0:07)

: 3000 3000 3000 3000 3000

( + + + + = 12301:

2 3 4 5

(1 + 0:07) (1 + 0:07) (1 + 0:07) (1 + 0:07) (1 + 0:07)

1 1

1

( + + ) = 1: 871 1

6 7 8

(1 + 0:07) (1 + 0:07) (1 + 0:07)

5

1 (1 + 0:07)

e3000 e12301:

=

0:07 2

3

1 (1 + 0:07) 5

R (1 + 0:07) = R1: 871 1

0:07

: 21656:09e 12301:e = R(e1: 871 1)

9355: 1

e e4999:

= R = 8

1: 871 1 e5000

R = R =

0.0.2 Soluzione:Esercizio 2) e

Un individuo si accorda per restituire in 15 anni un importo di 60.000 con il metodo

italiano al tasso del 5%. Dopo le prime 8 rate versate regolarmente il debitore incontra

un periodo di di¢ coltà …nanziarie nel quale sospende i pagamenti per 2 anni; a questo

punto si accorda per restituire il prestito nei tempi previsti, versando rate semestrali di

un nuovo ammortamento francese condotto sul debito residuo al tasso del 9%. Calcolare

l’importo delle nuove rate.

A 60:000

C = = = 4000e

n 15

Dopo 8 anni di versamenti regolari, il debito estinto è

D = 8(4000) = 32 000e

e

8 3

e il debito residuo è la di¤erenza sull’intero importo

e60000:0 e

D = A D = 32 000:0e = : 28000:0

r e

Per 2 anni non ci sono più versamenti e quindi, al tempo 8, il debito residuo è:

e28000:0

D =

8 2

e28000:0(1

D = + i) =

10 2

e28000:0(1

= + 0:05) = 30870:0

Riscrivendo la relazione di cui sopra otteniamo l’importo della rata al tempo 10

costante. Si ha 15-10=5 anni in rate semestrali il periodo diventa 10 ed i diventa i

2

1

( )

i = (1 + 0:09) 1 = 0:044031

2

2 D D D

D 30870:0

10 10 10

10 = = =

R = = = 3882: 7

10 10

1 (1+i ) 1 (1+0:044031)

a a a 2

(n k) 2ji 5 2ji 10ji

2 2 2 i 0:044031

2

0.0.3 Soluzione:Esercizio 3) e

Stendere il piano di ammortamento, a rata costante semestrale posticipata, di

200.000 in 2 anni, al tasso del 8,2%.

Anno Rata Q: capitale Q: interesse D: estinto D: residuo

0 0 0 0 0 200:000; 00

0:5 55:122; 98 47:084; 52 8:038; 46 47:084; 52 152:915; 48

1 55:122; 98 48:976; 96 6:146; 02 96:061; 48 103:938; 52

1:5 55:122; 98 50:945; 45 4:177; 53 147:006; 93 52:993; 07

2 55:122; 98 52:993; 07 2:129; 91 200:000; 00 0

4

0.0.4 Soluzione:Esercizio 4)

Data la seguente rendita irregolare

f3000; 5500; 4800g f0:5; 2:5; 4g

determinare la rata trimestrale costante che fornisce lo stesso montante (tasso 8%

annuo).

Tasso trimestrale (4 0:5) (4 2:5) (4 4)

M = R (1 + i) + R (1 + i) + R (1 + i)

1 2 3

3:5 (1:5) 0

M = 3000(1 + 0:08) + 5500(1 + 0:08) + 4800(1 + 0:08) = 14900:0:

:: M = 14900: 1

( )

i = (1 + 0:08) 1 = 0: 019 4

4

4

: M = Rs

nji

M 14900:

R = = = 803: 1

s 18: 553

ji

16 4

16

(1 + 0: 019 4) 1 = 18: 553

0: 019 4

Soluzione:Esercizio 5) 5

+

0 , 25 0 , 65

e

La forza di interesse di un regime …nanziario è pari a 0,10 per i primi due anni e

mezzo e 0,26 per altri due anni e mezzo. Calcolare il montante di 3000 dopo 5 anni.

Tasso trimestrale

Dati: δ

t

∫ s ds

( )

= 0

r t e

( ) R t (s)ds

M = e 0 R R

2;5 5

0:10dt+ 0:26dt (0:9)

M = 3000e = 3000e = 7378: 8

0 2;5

: (0:25+0:65)

e

Soluzione:Esercizio 6)‘Calcolare il TIR del titolo che scade tra 2 anni, paga una

cedola annuale pari a 10, rimborsa 110 alla scadenza e costa oggi 85,0.

0 1 2

85:0 (1 + i) + 10 (1 + i) + 120 (1 + i) =0

2

85:0 x + 10 x + 120 = 0;

2

85:0x 10x 120 = 0

2

solve(f85:0 x 10 x 120 = 0g; [x]);

[[x = 1:248455789]; Ok 6