Analisi matematica

Massimi e Minimi Vincolati

Consideriamo una funzione definita su tutto ℝ²

T = {x(t)}, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x (chiuso, limitato e compatto)

f_(x,y) = 2x² - xy

Fac. (Teorema di Weierstrass ho che

max f, min f

più in la scopriamo come si calcolano questi punti:

Def: Sia f: ℝ^k x ℝ → ℝ

S ≤ x

1. x_o ∈ S è Punto di Minimo Relativo Vincolato per f_|S

⇔ ∃ r>0, ∀ x ∈ B_r(x_o) ∩ S : f(x_o) ≤ f(x)

2. x_o ∈ S è Punto di Massimo Relativo Vincolato per f_|S

⇔ ∃ r>0, ∀ x ∈ G_r(x_o) ∩ S : f(x_o) ≥ f(x)

Sia f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ. A aperto, f ∈ C(A) → derivate parziali continue esistono 3 tipi di vincoli:

1. Vincolo Cartesiano

(S: è il grafico di una funzione m variabili)

2. Vincolo Parametrico

B ⊆ ℝ^k (k ≤ m-1) e aperto, e B → ℝ^m di classe C¹(B, ℝⁿ)

Ad esempio: c(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2π]

3. Vincolo Implicito

Il vincolo è l'insieme delle soluzioni di un'equazione o di un sistema. Ad esempio: S f(x, 1) ∈ ℝ^r, x² + y² = a²

Teorema Moltiplicatori di Lagrange

Sia A ⊆ ℝⁿ aperto...

Sia: F: A → ℝ di classe C¹(A);...

Sia x₀ ∈ ⪼ estremum relativo...

∇F(x₀) = ∑_i=0^k d_i ∇F_i(x₀)

Dimostrazione

...

Indichiamo con (x,y) un generico punto di A...

... estremum relativo ...

l'ipotesi (iii) dice che le funzioni non dipendono dalla curva

Non è restrittivo considerare A connesso, e quindi anche connesso per archi.

Fissiamo x₀ ∈ A. Sia x ∈ A un punto arbitrario e sia e_x0x: [a,b] → A una curva regolare t.c. e_x0x(a) = x₀ e e_x0x(b) = x.

Definiamo φ(x) = ∫_ex0x ω ∀γ ∈ A. Dall'ipotesi (iii) la definizione di φ non dipende dalla curva esaminata.

Dimostriamo che dφ(x)_x = α_x(x) ∀x

Poiché A è aperto ∃ r > 0 t.c. B_r(x₀) ⊂ A. Per ipotesi ∃ l ch

Consideriamo la curva

x∈[a,b] ⇒ ∃α: [a,b] → A t.c. γ(t) = x + (x₀−x)[t−b]h_ex

consideriamo il rapporto incrementale

f(x + h_ex) − f(x) = ₁/_h [ ∫_x f₀(ω¦−ω) ] ∫_x0x [ (ω) ∫_x f₀ ) l_ex(x) ] − f_ex (ω) ∫_x0x ] _r^a ω

= ₁/_h ∑ ∫_a α_j (x(t)) ∂x_j (t) d t = ₁/_h ∫_x0x ∂x_j (t) d t

Per il teorema della media dell'integrale ∃ξ ∈ [b,x_j(t)] t.c.

= α_x (γ(t)) = Q_ex (t) − Q_ex (x + (r−t−b) ) l_em (x−x) − h → Q_x (ω)

Questo vale ∀x ∈ A, ∀x x: m, dunque f_x una primitiva e ω è esatta

Definizione: Soluzione Globale

Sia A = I × ℝ^m intervallo aperto.

γ: I → ℝ^m è soluzione globale del problema di Cauchy.

Se è soluzione locale e = I

In questo caso il dominio è un dato, che viene dato in importanza al contesto delle alte soluzioni, dove non si

Limite: Equazione di

Una funzione Y: I → ℝ^m di classe C() è soluzione del problema di Cauchy:

• '() = ƒ(, )
• (₀) = ₀

Dimostrazione

Intergando da t₀ a

() = ₀ + ∫_t0^t ƒ(s, ()) ds

Ho che

sup_t∈I ||y_k+1(t) - y_k(t)|| ≤ sup_t∈I (H^k+1 |t-t₀|^k+1 / (k+1)!) (M / (k+1)!)^k+1

dove ∑_k=0^+∞ H^k / k!

Questi sono i termini generali di una serie esponenziale che è convergente. La convergenza totale implica la convergenza uniforme.

Chiamiamo y ∈ C⁰ (I, B_loc(ℝⁿ)) la somma della serie.

y₀ + ∑_k=0^+∞ (y_k+1(t) - y_k(t)) = y(t) → SOLUZIONE

y(t) = lim_n→+∞ (y₀ + ∑_k=0ⁿ (y_k+1(t) - y_k(t))) =

lim_n→+∞ (y₀ + y₁(t) - y₀(t) + ... + y_n+1(t) - y_n(t))

= lim_n→+∞ y_n+1(t) → y_n converge uniformemente

Dunque (y_k) converge uniformemente a y

sup_s∈I ||f(s, y_k(s)) - f(s, y(s))|| ≤ k sup_s∈I ||y_k(s) - y(s)|| → 0

k → +∞

Passando al limite, nello definiamo otteniamo

y(t) = y₀ + ∫₀^t f(s, y(s)) ds ∀t∈I

Allora abbiamo trovato la soluzione del problema di Cauchy.

Per questo, basta osservare che tutte le derivate di v sono nulle,

e che c_i(t₀)=C_iu(t₀) per i=0,...,k-1.

Per provare che v₁,...,v_k sono un sistema di generatori per Y₀,

consideriamo c e Y₀ e mostriamo che esistono costanti

C₁,...,C_k t.c.

u(t)=∑_i=1^kC_iv_i(t).

Fissato allora c e Y₀, poniamo C_iu(0