Matematica di Base per Ingegneria OFA [Teoria ed Esercizi Svolti]

Logica Proposizionale Binaria

Proposizione: un enunciato (una frase in cui si afferma qualcosa)

L’enunciato deve essere chiaro e massimo inequivocabile se essa sia VERA O FALSA

es:

1. "2 è un numero pari" V
2. "2 è un numero dispari" F
3. "2 è un numero pari e primo" V

1 sola subproposizione:

• Sono proposizioni semplici ed atomiche

Se a è una proposizione Vera

⌐(a) è una proposizione Falsa

connettivo logico binario

Le Congiunzioni Logiche hanno come simbolo: ∧ (greco et)

• a | b | a ∧ b
• V | V | V
• V | F | F
• F | V | F
• F | F | F

Le Disgiunzioni Inclusive hanno come simbolo: ∨ (vel)

• a | b | a ∨ b
• V | V | V
• V | F | V
• F | V | V
• F | F | F

Implicazione Materiale →

• a | b | a → b
• V | V | V
• V | F | F
• F | V | V
• F | F | V

• la proposizione composta che risulta Falsa solo quando la prima risulta Vera e il secondo Falso

a → b e ¬ b ∨ ¬ a hanno significato logico eq

LEGGI DI DE MORGAN

• ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b
• ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b

stesso significato logico

INSIEMISTICA

Un insieme è una qualunque collezione di oggetti dove è chiaro in maniera inequivocabile quali siano gli oggetti appartenenti all'insieme

A = { 5, 6, 7, 8, 9 } insieme = A

rappresentazione tabulare non conta l'ordine di rappresentazione

a = 5

a ∈ A

A = { x | x ∈ ℕ ∧ 5 ≤ x ≤ 9 }

tale che et (and)

rappresentazione caratteristica

I QUANTIFICATORI

• quantificatore esistenziale ∃
• quantificatore universale ∀

"esiste almeno un ..." "per ogni..."

B = { 3, 5, 11 }

DIAGRAMMI DI EULERO VENN

Utile per insiemi che contengono un numero finito di elementi

Differenza di due insiemi

A-B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B)}

Differenza Simmetrica di due insiemi

A Δ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

outSimbolo di disgiunzione esclusiva

Funzione Proposizionale

A = {1, 5, 21}

x ∈ A

può restituire tre valori:

• Vero (x = 1)
• Falso (se x = 9)
• Indeterminato (x = nave)

Proprietà delle operazioni fra insiemi

Distribuzione dell'intersezione rispetto all'unione

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

De Morgan

Ā = (C

(A ∪ B) = Ā ∩ B

(A ∩ B) = Ā ∪ B

Prodotto Cartesiano di Due Insiemi

A × B

transitivo

A × B = B × A

Il prodotto cartesiano di due insiemi è per definizione un insieme i cui elementi sono nella forma (a,b) dove "a"

(appartiene) al primo insieme e b al B, e quindi l'insieme di tutte le possibili (copyce) ordinato di elementi dei 2 insiemi.

Isomorfismo (uguale forma):

I Numeri t.e. numeri naturali e gli interi positivi

I numeri naturali sono un insieme isomorfo ai sotto insiemi in ℤ

L'insieme dei razionali

Simbolo → "ℚ"

m, n, p, q ∈ ℕ ∧ n, q ≠ 0

(_m/_n) (_p/_q) m q = n p

m/n = n/q

Dimostrazione della frazione per cui "m↔q non è possile":

∂/_q = X = ⁰X = ⁰

X indeterminato

∄(_q) impossibile

Vi sono infinite frazioni suddivise in diverse classi di equivalenza costituite da frazioni equivalenti tra loro

Un numero razionale è intantillo che un elemento dell'insieme quoziente

Frazione ridotta ai minimi termini: Frazione dove denominatore e numeratore sono primi tra loro

I numeri razionali sono numeri decimali eventualmente con periodo e →

⁵/₇ = il periodo ha massimo 7 cifre decimali

Non sono un insieme discreto ma un insieme denso

Vale dire tra due elementi trova sempre uno

Tra due frazioni quanti ve ne sono infinite altre

Anche l'insieme dei razionali è un insieme numerabile esattamente come i naturali e gli interi*

R= A(1) = -1 -3 + 4 +12 ≠ 0

R= A(2) = ∅

x³-3x²-4x+12 = (x-2) (x²-x-6)

e così via...

es. 21

(2 x - 3)

(3 x - 1) = 10x - 12x - 15x

+ 3 = 10x - (7x+3)

Scomporre:

+ 3

-------- + 2 --------- + 6

| |

------- 10 possibili

TEOREMA DI RUFFINI

α è soluzione ⇔ P(x) è divisibile per (x - α)

P(α) = ∅

Altre Scomposizioni

semplici

Prodotto notevole

A² + B² = (A + B) (A - B)

Cubo somma

A³ + B³ = (A + B) (A² - AB + B²)

(A + B) = (A²

(A + B) = (A² + 2AB + B²

così composti: se neganti

A² + 2AB + B² - C = (A - B) - C = (A+B,C) (A,B,C)

Cubo di binomio

A³ ∓ 3 A² B ∓ 3 AB² + B³ = (A ∓ B)³

Prodotto distanza

(x - x) (x - b)

x² - bx - ha + hb

x accorgimento particolare x

uso normale

x³ -3x² -4x +12 = (x-2)(x-3)-4

(x-3) = (x3) (x4)

La soluzione si può anche esprimere come:

\((-\infty, -5) \cup \{0\}\)

Es:

\(\frac{x+3}{2x+5} \le 0 \quad \frac{x-2}{2x+5} \ge 0

\({\frac{x+2}{2x+5} \le 0}\)

\(\frac{-5}{2} < x \le -2\)

Implicazioni delle disequazioni nelle:

Equazioni irrazionali

\(\sqrt{x-2} = 3 - 2x\)

Devo aggiungere le condizioni:

\(x-2 \ge 0\)

Condizione di esistenza dell'elemento al quadrato

Il segno di entrambi i membri deve essere uguale

\(3-2 \ge 0\)

A e B hanno lo stesso segno

AB ≥ 0

\(\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 3-2 \ge 0 \end{cases} \quad \begin{cases} x \ge 2 \\ x \le -3/2 \end{cases}\)

È impossibile

Es:

\((x-2) = 3 - x\)

\(\begin{cases} x ≥ 2 \\ x < 3 \end{cases} \text{pesso elevatore}\)

\((x-2) = 9 - 6x + x^2\)

x^2 - 7x + 11 = 0

\((x-2) = 9 - 6x + x^2\)

Risolvila con la formula

l'epi.

1. ha sol. |x| = 25/8

2. ha sol. ∈ ℝ

3. ha sol. x = 4

Impianto e condizioni di esistenza ed elevamento

x - 9 > 0

x

x ≥ 4

{

x ≤ -3 ∨ x ≥ 3

x² = 9 = x² - 8x + 16

8

NON HA SOLUZIONI REALI

esecizio

Data la legge:

ad indicato con D il consgettro dominio

la funzione f: D → ℝ⁺

x² - q ≥ 0

D = [-2, 2]

f(2) = f(-2) = 0 quindi non è iniettivo

Per vedere se è suriettivo bisogna ragionare:

"è vero che ∀y trovo un x?"

y = √x² - q

lo è, quindi è suriettivo

es:

C(1,-1) R=√2

Calcolare l'equazione

(x-1)²+(y+1)²=2

x²-2x+y²+2y-1=0

es:

√x+2 ≥ x-1

Risolvere col metodo geometrico

y= x-1

Retta

y= √x+2

x ≥ -2

y ≥ 0

y²= x+2

y=±√x-2

Parabola

x+2=a(y-0)²

V(-2,0)

Dato y≥0 diventa meta' parabola

La retta interseca la semiparabola in un punto

√x+2 ≥ x-1

x ≥ -2

x ≥ 1

x ≥ 4

x+2 = x²-2x+1

x₁ ≈ 3

x ≈3±√13/2

Solo +√13 è accettabile

Soluzione della disequazione

[-2, 3+√13/2 ]

es:

2x – y > 3

y < 2x – 3

y= 2x-3

E' una retta

quindi y < 2x – 3 è un semipiano

ossia tutti i punti che sono al di sotto della retta

es:

f: R → R

F(x) = { x³ se x < 0

x – 1 se x ≥ 0

1. suriettiva ma non iniettiva

2. né suriettiva né iniettiva

3. iniettiva ma non suriettiva

4. biunivoca