Matematica 3 - Appunti

Legge di variazione del momento al variare del polo

Σ = {A_i, X_i}, i = 1,...,N_Σ Sistema di vettori applicati

Risultante del sistema Σ

R_Σ = ∑_i=1^N X_i

Momento polare risultante

M_o = ∑_i=1^N (A_i - O) × X_i

...portiamo da un H_P qualsiasi

H_aM_P = ∑_i=1^N (A_i - P) × X_i e supp. e sotto.

Q = ∑_i=1^N(A_i - Q) × X_i + ∑_i=1^N (Q-P) × X_i == H_a + (Q-P) × R_Σ =H_P = H_Q + R × (P-Q)

Nota:

H_Q - H_P = R_Σ = 0

quindi in questo caso con

A(t) x [lt x ltlR = 0

H = (A₁ - A₂) × X

Indipendente dal polo

1^o criterio di equivalenza

Σ ≈ Σ'

R_Σ = R'

∃P :H_P = H'_P

Due sistemi Σ e Σ' sono equivalenti o riconducibili se e solo se i risultanti sono uguali e esiste almeno un punto nello spazio t.e. il momento di Σ rispetto a P sia uguale a quello di Σ'.

DIH (da dx a sx) per Σ

∑H_a = H_a + R × (P-Q)

per Σ' H_P = H_P + R' × (P-Q)

perché per ipotesi H_P = H'_P anche R = R' di conseguenza H_P = H_Q

2^o criterio di equivalenza

Σ ≈ Σ' ⇔ ∃ tre punti P₁, P₂, P₃ non allineati t.c. che

H_Pi = H'_Pi ∀i = 1, 2, 3

Due sistemi Σ e Σ' sono equivalenti se e solo se esistono 3 pt. nello spazio non allineati t.c. il momento polare di Σ rispetto a quei 3 pti. sono uguali a quello di Σ'.

DIH (da sx a dx)

Σ ∑H_P1[H_P2] + R × (P₁ - P₃)

Σ' = H'_P3= R × (P₁ - P₃) = 0 = (R - R') × (P₁ - P₃) = 0

uguale per ipotesi:

(R - R') = 0 ⇒ R = R'

Legge di variazione del momento al variare del polo

Σ = {A_i, X_i}, i = 1,...,N Sistema di vettori applicati

{ R = ∑_i=1^N X_i M_o = ∑_i=1^N (A_i-O) x X_i RISULTANTE del sistema ΣMOMENTO POLARE RISULTANTE

M_p = ∑_i=1^N (A_i-P) x X_i = ∑_i=1^N (A_i-Q+Q-P) x X_i = M_a + (Q-P) x R => M_P = M_a + R x (P-Q)

NOTA: H = M_P = H_P ∀ P,Q R = 0 quindi in questo caso con H = (A₁-A₂) x X INDIPENDENTE DAL POLO

1^o criterio di equivalenza

Σ ≈ Σ′ ⇔ {R = R′ ∃P : H_P = H_P′}

DIH (da dx a sx) per ∑′M_P = H_a + R x (P-Q)

DIH (da sx a dx) per ∑′M_P′ = H_a + R′ x (P-Q)

2^o criterio di equivalenza

Σ ≈ Σ′ ⇔ (∃ tre punti P₁, P₂, P₃ {tal che M_Pi = M′_Pi ∀ i=1,2,3}

DIH (da sx a dx) Σ = [H_Pi M_Pi]+R x (P_i−P₃)= (R − R′) x (P_i − P₃) = 0 = devono essere PARALLELI

Invariante scalare di un sistema Σ di vettori applicati

Chiamiamo invariante scalare di un sistema Σ di vettori applicati la quantità scalare:

I = _R→ · _H→_p(_P ∈ Ε spazio tridimensionale)

L'invariante scalare non dipende dal punto P rispetto al quale calcoliamo il momento risultante _H→_p. Infatti se _A ∈ Ε abbiamo

I = _R→ · _H→_A = _R→ · (_H→_p + _R→ × (_A - _O)) = _R→ · _H→_p

Caso a: I = _R→ · _H→_p = 0

⇒ Σ equivale ad un solo vettore o ad una sola coppia.

Distinguishiamo 2 casi:

• ∅ è _R→ = 0 (1)
• ∅ è _R→ ≠ 0 (2)

(1) _R→ = 0 il sistema è equivalente ad una sola coppia di momento _H→_p pari al momento risultante del sistema Σ.