Matematica 3 - Appunti

LEGGE DI VARIAZIONE DEL MOMENTO AL VARIARE DEL POLO

Sistema di vettori applicati

Risultante del sistema Σ

Momento polare risultante

... partiamo da un polo qualsiasi

Nota:

quindi in questo caso con

abbiamo una coppia

Indipendente dal polo

I^o CRITERIO DI EQUIVALENZA

Due sistemi Σ e Σ' sono equivalenti o riconducibili se e solo se i risultanti sono uguali e esiste almeno un pto nello spazio trid. il momento di Σ rispetto a P sia uguale a qll di Σ'

DIH (da dx a sx)

poiché per ipotesi

II^o CRITERIO DI EQUIVALENZA

Due sistemi Σ e Σ' sono equivalenti se e solo se esistono 3pti nello spazio non allineati, t.c. il momento polare di Σ rispetto a qsti 3pti. siano uguali a quelli di Σ'

DIH (da sx a dx)

devono essere paralleli

Chiamiamo INVARIANTE SCALARE di un sistema Σ di vettori applicati la quantità scalare:

I = ᵣ * H_P

L'invariante scalare non dipende dal punto P rispetto al quale calcoliamo il momento risultante H_P. Infatti se A ∈ E abbiamo:

ᵣ * H_P = ᵣ * (H_P + R x (A - O)) = ᵣ * H_P

CASO A

I = ᵣ * H_P = 0

Σ equivale ad un solo vettore o ad una sola coppia.

distinguoimo 2 casi:

1. 0 = ᵣ = 0
2. 0 = ᵣ ≠ 0

• I) ᵣ = 0

il sistema è equivalente ad una sola COPPIA di momento H_P, poi il momento risultante del sistema Σ:

ᵣ = 0 -> H_P = H_coppia

• II) ᵣ ≠ 0

necessariamente il momento H_P relativo ai punti P dell'asse centrale deve essere nullo, poiché rispetto a tali punti H_P è parallelo a ᵣ o è nullo.

In tal caso il sistema Σ è equivalente ad un solo vettore ᵣ applicato in un punto dell’asse centrale.

ᵣ ≠ 0 -> ∃ a t.c. H_P = 0

CASO B

I = ᵣ * H_P ≠ 0

ogni sistema di vettori applicati Σ è riducibile ad un vettore applicato in un arbitrario punto P, più una coppia.

I ≠ 0 -> ∃ a t.c. H_P / ᵣ

H_O = ∫_P : H_P / ᵣ

ATTO DI MOTO (cinematica dei sistemi)

Dato un sistema discreto

S={P_i, i=1,...N}

si definisce

ATTO DI MOTO di S:

Σ={(P_i, V_i), i=1,...N}

L'atto di moto è quindi il sistema di vettori applicati costitutiti

dalle velocità (istanteanee) dei punti di S.

Se la distanza tra i punti non cambia il sistema S è RIGIDO

In fatti |P(t) - Q(t)|=cost ∀ P,Q ∈ S ∀ t

derivando 2^a (V_P - V_Q) . (P - Q) = 0

⇒(V_P - V_Q) . (P - Q) = 0 da cui si può dedurre che

∃ ω = ω(t) t.c.       V_P = V_Q + ω X (P - Q)       ∀ P,Q ∈ S

FORMULA FONDAMENTALE DELLA CINEMATICA RIGIDA

(atto di moto rigido)

Definiamo l'invariante cinematica ⇒        I_cin ≡ V_P . ω (= V_Q . ω)

L'ATTO DI MOTO RIGIDO PUÒ ESSERE:

1. L'ATTO DI MOTO RIGIDO PUÒ ESSERE:

1) TRASLATORIO

V_P = V_Q ∀ P,Q ∈ S

meglio detto        V_P = χ        ∀ P ∈ S

con ω ≡ 0 e I_cin ≡ 0

2) ROTATORIO

V_Q = ω X V_er        ∀ P,Q ∈ S

r ⇒ ASSE ISTANTANEO DI ROTAZIONE

con I_cin ≡ 0 e ω // v

3) ROTOTRASLATORIO

∃ retta r t.c. V_Q // e = v_er ∀ Q ∈ r

In tal caso

ω X r

⇒

V_P = χ + ω X (P - Q)

∀ P ∈ S

r → ASSE ISTANTANEO DI ROTOTRASLAZIONE

con ω // (χ) e I_cin = λ (rec inserto)

I_cin ≠ 0

BASE e RULLETTA

Def → Il luogo delle posizione occupate da C sul piano fisso dicesi BASE del moto piano (ed è una curva tracciata su π), mentre il luogo delle posizioni occupate da C sul piano mobile dicesi RULLETTA del moto piano (ed è una curva su ρ).

Sono delle TRAIETTORIE piane del moto rigido piano.

La rulletta ROTOLA senza STRISCIARE sulla base

dimostriamo...

...

• sia γ una curva fissa e γ'(t) una curva mobile: se γ e γ'(t) hanno ad ogni istante in comune un punto e la tg nel più: si dice che γ' rotola su γ.
• o meglio considerando v_x(H)=y'(t₁)+v_z(H)

γ(t)

H(_t₁) H(_t₁) H(_t₂)

γ'(t)

γ(t)

γ(t)

x' rotola senza strisciare quando la velocità della cellette elementare (ovvero di x' rispetto a x) è nulla in quell'istante (v_e = 0)

GEOMETRIA DELLE MASSE

...

Sistema di p.ti materiali → S = {(Pₛ, mₛ)}_{ₛ₌₁, ..., ₙ}

∑_ₛ₌₁ = M (massa totale)

BARICENTRO

(G-O)=_ₙ∑_ₛ₌₁ mₛ(Pₛ-O) _M

Proprietà generali

1. Se N = 2 → (m₁ + m₂)(G-O) = m₁(P₁-O)+m₂(P₂-O)
2. Se Pₛ ∈ piano qualsiasi π anche G∈π (al più piccolo poligono convesso contenente Pₛ)
3. Se S passa dei assi di simmetria → G ∈ assi di simmetria
4. Prop. distributiva: Suddividiamo S in 2 sottoinsiemi

con∞

can∞

⊍

⊎

= {(P₁, m₁), ..., (Pᵥ, mᵥ), (Pᵥ₊₁, mᵥ₊₁),... (Pₙ, mₙ ₙ)} = S₁ ∪ S₂ si avrà

...

(H₁ + H₂) (G₁-O) = H₁CG₁ - O + H₂(G₂ -O)

∟

⊍

⊎

(H₁ + H₂) (G₁- O) = H₁ GC₁ ₋ O + H₂ (G₂ ₋ O)

(P.S si può sud÷versene anche in più dei 2 sottoinsiemi)

⊍

TEOREMA FORZE VIVE

mẍ = F(p,ẋ,t) → EQ. FONDAMENTALE

se introduciamo i vincoli:

⁽¹⁾ mẍ = F(p,ẋ,t) + Φ

dove Φ = (Φ_x, Φ_y, Φ_z) = Reaz. vincolare

Moltiplicando scalarmente per dp l'eq. fond. si ottiene il

TEOREMA DELLE FORZE VIVE:

dT = F ∙ dp + Φ ∙ dp = dL^(b) + dL^(v)

NB

se Pe libero dL^(v)=0

Riguardo la QUIETE:

P(t) = Pe = posizione di equilibrio se

• P(t) = Pe
• Ṗ(t) = 0
• Ṗ(t) = Pe
• Ṗ(t) = 0 ∀ t ≥ t_o

sostituiamo nella ⁽¹⁾:

⇒ F(Pe,0,t) + Φ_e = 0_e

EQ. FOND. DELLA STATICA

(reaz.vinc. nello spazio)

moltiplicando scalarmente per dP → T (Pe,0,t)∙dP + Φ_e∙dP = 0

⇒ dT = dL^(b) + dL^(v) = 0 → risulta Pe posizione di equilibrio quindi non solo necessaria ma anche sufficiente

P(t) = Pe ⇔ F(Pe,0,t) + Φ_e = 0_e

CRITERIO DI DIRICHLET:

Pe EQUILIBRIO STABILE ⇔ U ha Pe max relativo isolato

nel nostro caso n = 1 (1 grado di libertà) Dirichlet diventa:

n = 1 :

q_e indica equilibrio stabile

Ű(q_e) < 0

Ü(q_e) = 0

se ≫ ≫ INSTABILE

(qe → coordinata di posizione)

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