Matematica 3

GLI INSIEMI DI NUMERI

• NATURALI "N": insieme discreto ed infinito {1, 2, 3...} ad ogni precedente aggiungo un'unità.
• INTERI RELATIVI "Z": come i naturali con lo 0 {-2, -1, 0, 1, 2...}
  • Con numeri negativi.
  • N ⊂ Z
  • Implica: se n ∈ N allora n ∈ Z.
  L'essere N condizione sufficiente ma non necessaria per Z.
• RAZIONALI "Q": {x ∈ n : x = m/n con m, n ∈ Z }
  • L'insieme dei numeri razionali è costituito da tutti i numeri dell'universo dei numeri tali da avere la caratteristica di essere il risultato di un rapporto tra due numeri interi relativi, "m" ed "n" a condizione che quello al denominatore sia diverso da 0.
  • Con decimale finito.
  • N ⊂ Z ⊂ Q
• IRRAZIONALI (I)
  • L'insieme dei numeri irrazionali è costituito da tutti i numeri dell'universo dei numeri ed è composto da numeri decimali non periodici.
  • es. π = 3,4...; √2
  I è disgiunto da Q → I ∩ Q = ∅
• REALI (R): L'insieme dei reali (R) corrisponde all'unione di razionali (Q) e irrazionali (I).
  • R = {x ∈ n : (x ∈ Q) ∨ (x ∈ I)}
  se a ∈ R allora -a ∈ R

1 _a ∈ R → reciproco di a (a ≠ 0)

|a| ∈ R → modulo di a → se a è negativo diventa positivo → |5| = 5

L'insieme dei n. R è una corrispondenza biunivoca con l'insieme dei punti di una retta orientata sulla quale sia stata identificata un'origine ed un'unità di misura.

COMPLESSI CONIUGATI (c.c.)

C = {x ∈ ℂ : x = a + ib con a, b ∈ R}

es. 4 - 2i

- se a = 0 e b ≠ 0 → x = 0 ± m.i

- se a = 0 e b = 0 → x = 0 ± ib = i (IMMAGINARIO PURO)

x ∈ ℂ ; ā + ib

es. x = 2 + 3i ∈ ℂ

ā - ib

Vettori

Vettore a m componenti: m – PLA (n – TUPLA)

VETTORE

es. _{1° 2° 3°} COMPONENTE DEL VETTORE

emmesima componente

es. a = [-5 ; 4 ; π ; 3]

VETTORE RIGA

es.

es. a = [-5 ; 4 ; π ; 3] ≠ b = [-5 ; π ; 3 ; 4]

a = [2 ; 3 ; 5] ≠ b = [2 ; 2 ; 5]

Dipendenti fra loro

a₁: [2; 3]

a₂: [-1; 4]

a₃: [0; j]

a₄: [j; 1]

4 vettori ℝ₂

Es. 4 a₁, a₂, a₃, a₄ ∈ ℝ₄

• a₁: [1, 0, 1, 2] ∈ ℝ₄
• a₂: [2, 1, 3, 7] ∈ ℝ₄
• a₃: [-3, -1, -2, -5] ∈ ℝ₄
• a₄: [1/2, 2/3, 4/3, 17/6] ∈ ℝ₄

b₁ = 0 Σbi = 0

Per il teorema fondamenti, il rango sarà nullo solo se l'insieme dei vettori è composto da tutti vettori nulli.

Rango di un insieme di vettori:

• Il massimo numero di vettori linearmente indipendenti estraibile dall'insieme dati.

Rango Max: 4 (ℝ₄)

Rango: 4

Es. 2

• a₁: [2, 3, 7] ∈ ℝ₄
• a₂: [1, 0, 2] ∈ ℝ₄
• a₃: [1, 2, 2] ∈ ℝ₄

• a₁ = 2a₂
• a₂ = 1/2 a₄
• a₄ = -3a₁

Prodotto scalare di 2 vettori: Appartenenti allo stesso spazio vettoriale

Data:

c, a, b ∈ ℝₘ

a