Matematica 3

GLI INSIEMI DI NUMERI :

• -NATURALI "N" : insieme discreto ed infinito {1, 2, 3... ad ogni precedente aggiungo un'unità.

• -INTERI RELATIVI "Z" : come i naturali con lo 0 {-2, -1, 0, 1, 2...} e con numeri negativi. N ⊂ Z e N ⊂ N proposizione logica N incluso appartiene logica

  \( x \in N \Rightarrow x \in Z \) - implicazione logica ↔ se è un numero naturale allora è anche un numero intero. - Se la prima proposizione è vera allora è vera anche la 2°. - l'essere N implica che sia anche un Z. \((x \in N \Rightarrow x \in Z)\) \((1 \in Z \Leftrightarrow 1 \in N)\)

  L'essere Z è condizione necessaria essere N. L'essere N è condizione sufficiente ma non necessaria per Z.

  A ⇒ B A è condizione sufficiente per B, e B è condizione necessaria ma non sufficiente per A.

• -RAZIONALI "Q" : \(\{x \in \mathbb{Z} \mid x = \frac{m}{n}\} \, con \, m \neq 0 \; m, m \in \mathbb{Z}\)

  L'insieme dei num. razionali è costituito da tutti i num. dell'universo dei num. tali da avere la caratteristica di essere il risultato di un rapporto tra due num. interi (relativi). n ed m a condizione che quello al denominatore sia diverso da 0”. \( \frac{m}{n} \neq \mathbb{Z} \; con \; decimale \; finito\) es. -\(\frac{2}{4}\); \(\frac{2}{4} = 0.5\) \(\frac{3}{9} = 0.333...\)

  N ⊂ Z ⊂ Q

  o si dice avere potenza del numero numerabile

• -IRRAZIONALI (I)

  L'insieme dei num. irrazionali è costituito da tutti i num. dell'universo dei num. ed è composto da num. decimali non periodici. es. π = 3, 14...; \( \sqrt{2} \); N. AUREO.

  I ⫙ disgiunto da Q \(\Rightarrow I \cap Q = \varnothing\) insieme vuoto

  \((x \in I) \land (x \in Q) \Rightarrow \varnothing \) proposizione sempre falsa \( C \cap I \; \Rightarrow \; (x \in Q)\)

• -REALI (R):

  L'insieme dei reali (R) corrisponde all'unione di razionali (Q) e irraz. (I):

  \( R = \{ x \in \mathbb{Z} \mid ((x \in Q) \lor ( x \in I)) \} R = Q \cup I \)

  se a ∈ R allora a ∈ R - dimostrato da

GLI INSIEMI DI NUMERI:

• NATURALI "N": insieme discreto ed infinito {1, 2, 3...}

ad ogni precedente aggiungo un'unità.

• INTERI RELATIVI "Z": come i naturali con lo 0 {-2, -1, 0, 1, 2...}

e con numeri negativi.

N ⊂ Z, N ⊂ I

proposizione logica

l ∈ N → l ∈ Z, l ∈ N → l ∈ Z (logica ∈ N) implica (incluso appartiene a) implica ∈ Z

l'essere N implica che sia anche un Z.

l'essere Z è condizione necessaria essere N.

l'essere N è condizione sufficiente ma non necessaria per Z.

A → B A è condizione sufficiente per B, B è condizione necessaria ma non sufficiente per A.

- RAZIONALI "Q"

{ x ∈ N : x = m/n con m, n ∈ Z }

l'insieme dei m. razionali è costituito da tutti i m. dell'universo dei m. tali da avere la caratteristica di essere il risultato di un rapporto tra due m. interi (relativi) m/n con la condizione che quello al denominatore sia diverso da 0: n ≠ 0.

es. -2/4 = -0,5 ; 1/2 = 0,5 ; 1/3 = 0,333....

N ⊂ Z ⊂ Q

o si dice avere potenza del m. numerabile.

- IRRAZIONALI (I)

L'insieme di m. irrazionali è costituito da tutti i m. dell'universo dei n.

ed è composto da m. decimali non periodici.

es. π = 3,14... ; e (n. di nepero) = 2,23 ; √2 ; N. AUREO.

e/∧ → ∧

I è disgiunto da Q ⇒ I ∩ Q = ∅ (insieme vuoto)

x ∈ I ∩ ( x ∈ Q ) ⇒ ∅ proposizione sempre falsa

x ∉ I ⟺ (x ∈ Q)

- REALI (R)

L'insieme dei reali (R) corrisponde all'unione di razionali (Q) e irraz. (I)

R = { x ∈ N : (x ∈ Q) ⊍ (x ∈ I) }

{ R = Q ∪ I }

se a ∈ R allora

⇒ a ∈ R -donosto dia

a ∈ R

1/a ∈ R

L'insieme dei m.r. ℜ è una corrispondenza biunivoca con l'insieme dei punti di una retta orientata sulla quale sia stata identificata un'origine ed un'unità di misura.

Ad ogni m.r corrisponde un ben preciso punto della retta orientata e viceversa, ad ogni punto corrisponde un solo m.r

Complessi coniugati (c.c)

c={x ∈ ℂ : x = a+ib con a, b ∈ ℝ

es.

a = 1

b = -2 ∈ ℝ

x∉ℂ, a+ib

es. x = 2 + 3i ∈ ℂ

x = 2 - 3i ∈ ℂ

x·x̄ = (a+ib)·(a-ib) = a² - ai + ai + b² = a² + b² ∈ ℝ

Vettori

Vettore a m componenti:

vettore

a = [1° 2° 3° ··· m°]

es.

[5 ; 4 ; 7 ; 3]

q=

4 componenti

q=