Matematica 1

MATEMATICA I

10 settembre 2018

TEORIA DEGLI INSIEMI

Gli insiemi sono gruppi di elementi.

Gli insiemi sono indicati con una lettera maiuscola.

Gli elementi si indicano con le lettere minuscola.

Esempio:

X = {a, b, c, d}

oppure

A = {1, 2, 3}

Possono anche esistere gruppi (insiemi) formati da elementi che verificano una determina proprietà.

B = {x : x verifica una proprietà}

Esempio:

B = {m ∈ N : m non è divisibile per 2}

(dunque B è l’insieme dei numeri dispari)

• E = appartiene
• ∉ = non appartiene
• ∃ = esiste
• ∄ = non esiste
• ∀ = per ogni

INSIEME DELLE PARTI

Dato un insieme A l’insieme di tutti i sottoinsiemi di A detto insieme delle parti di A si indica con P(A)

Esempio: A = {a, b}

P(A) = {∅, {a}, {b}, A}

B = {1, 2, 3}

P(B) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }

∅ = insieme vuoto – per convenzione è sempre un sotto insieme.

È un’insieme in cui una proprietà non è mai verificata.

Es. Numeri dispari divisibili per 2.

Gli insiemi che contengono un solo elemento si chiamano singoletto.

Numero di sottoinsiemi...

Se m = numero degli elementi di X, allora 2^m = numero degli elementi di P(x)

Implicazione

Definizione: Siano P₁ e P₂ due proprietà. P₁ ⟹ P₂ Si dice che S verifica P₁ allora S verifica anche P₂.

Esempio: n > 1 n è divisibile per 2

Proprietà equivalent:

Si dice che P₁ è equivalente a P₂ (P₁ ⇔ P₂) se P₁ ⟹ P₂ e P₂ ⟹ P₁

Osservazione: Se P₁ ⟹ P₂ allora ¬P₂ ⟹ ¬P₁

Esempio: X è nato a New York X è americano

Operazioni con gli insiemi

• Unione: Si indica con U. Sia X l'insieme di partenza, siamo A e B sottoinsiemi di X (A ⊆ X, B ⊆ X)

Esempio: A = {1, 2} B = {2, 3, 4}

• Intersezione: Si indica con ∩ A ∩ B = {x ∈ ℕ: x ∈ A e x ∈ B}

Esempio: A = {1, 2} B = {2, 3, 4}

A ∩ B = {2}

Esempi:

A = {¹/m, m ∈ ℕ-{0}}

sup A = 1

1 ∈ A

inf A = 0

0 ∉ A

A = {x ∈ ℝ, √2 < x < 2} = {x ∈ ℝ, √2 < x < √2

sup A = √2

√2 ∉ A

inf A = -√2

-√2 ∉ A

Proprietà

Sia A limitato superiormente.

M = sup A ⇔

1. M ≥ a, ∀ a ∈ A
2. ∀ ε > 0, ∃ b ∈ A / M - ε < b ≤ M

Vuol dire che M è il maggiorante più piccolo perché se togliamo un numero qualunque positivo ad M otteniamo un numero che appartiene all’insieme A.

Sia A limitato inferiormente.

m = inf A ⇔

1. m ≤ a, ∀ a ∈ A
2. ∀ ε > 0, ∃ b ∈ A / m ≤ b < m + ε

Vuol dire che m è il più grande dei minoranti perché aggiungendo un numero qualunque positivo ad m otteniamo un numero che appartiene all’insieme A.

b dipende da ε

I PUNTI DI UN INSIEME

Punti interni.

L'insieme dei punti interni di A si dice intorno di A e si indica con A˚

Esempio, A = {X ∈ ℝ: 0 < X < 2}

A˚ = {X ∈ ℝ: 0 < X < 2}

1, 2 mm è interno.

Punti di frontiera.

Se un punto X non è né interno né esterno ad A, si dice che X è un punto di frontiera o punto di vuoto di A.

L’insieme di tali punti si dice bordo o frontiera di A e si indica con ∂A

Esempio, A = {X ∈ ℝ: 0 < X < 2}

∂A = {0 ; 2}

FRONTIERE

Osservazione

Identifichiamo R con l'insieme { (a,0); a ∈ R }

(a,b): (a,0) + (0,b)

∀ (a,b) ∈ C

b ∉ R perché appartiene all'asse Y

Ripartiamo da (a,b) = (a,0) + (0,b)

Dobiamo dare un significato a (0,1):

(0,1) (0,1) = (-1,0) = -1

Forma Algebrica

Un numero complesso z ∈ C scritta in forma algebrica z = a + ib

dove i è il numero immaginario che verifica i² = -1

Moltiplicazione

(a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc + (ib)(id) = (ac - bd) + i(ad + bc)

=> (ac - bd, ad + bc)

Sia z ∈ C, z = a+ib

• a si chiama parte reale di z ( = Re(z))
• b si chiama parte immaginaria di z ( = Im(z))

^* ℤ = a - ib si chiama coniugato di z = a + ib

ℤ ∙ z = (a - ib)(a + ib) = a² + b²

Re(z) = (z + ℤ) / 2

Im(z) = (z - ℤ) / 2i

Definizione

f si dice periodica con periodo T > 0 se ∀ x < D_f, x+T ∈ D_f e f(x+T) = f(x).

Esempi.

• f(x) = Cos x
• D_f = ℝ
• Cos(x + 2π) = Cos x   ∀ x ∈ ℝ
• T = 2π

Definizione

f: D_f → ℝ

f si dice crescente se ∀ x, y ∈ D_f   x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)

f si dice decrescente se ∀ x, y ∈ D_f   x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)

f si dice monotona se è sia crescente che decrescente

Definizione

Siano g: D_g → ℝ due funzioni,

La funzione composta è (g ⚬ f)(x) = g(f(x))   ∀ x ∈ D_{g ⚬ f}, x ∈ D_f, f(x) ∈ D_g

27 Settembre 2018

Definizione

• Sia f: A → ℝ una funzione, f si dice iniettiva se ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A. f(x) = y ⇔ x = y
• Sia f: A → B una funzione. f si dice biettiva se f è sia iniettiva e suriettiva
• ∀ y ∈ B, ∃! x ∈ A f(x) = y
• f (ℝ): l'immagine di ℝ
• Sia f: A → B biettiva. Allora si definisce la funzione inversa f^-1: B → A
• f^-1(f(x)) = x   ∀ x ∈ A e f(f^-1(y)) = y   ∀ y ∈ B

Definizione

Sia f: A → B una funzione.

f(A) = {y ∈ B: ∃ x ∈ A, f(x) = y } ⊆ B  Si chiama immagine di A

• Sia C ⊆ B l'insieme f^-1(C) = {x ∈ A | f(x) ∈ C} ⊆ A
• Si chiama anti - immagine (o contro immagine) di C

Quando c'è convergenza si dice che E è arbitrariamente piccolo.

Si prenda un E molto grande, posso dire che c'è un limite della funzione, ma per esistere realmente il limite tale caratteristica deve essere valida per ogni valore di E.

∃ lim am = ad (la successione positivamente divergente) se:

∀H∈R{1} ∃ am > H, ∀n > ϑ

H t positivo e arbitrariamente grande.

∃ lim am = ad (la successione negativamente divergente) se:

∀H∈R{1} ∃ am< -H, ∀n > ϑ

• Le successioni che ammettono un limite (convergente ad a o divergente ± ad) sono dette regolari.
• Le successioni che non ammettono limiti (non esiste) sono dette non regolari (Es: 1).
• Una successione può ammettere al più un unico limite.
• Una successione è se ha un limite, questo è unico.
• Una successione convergente non può ammettere limiti distinti.

UNICITÀ DEL LIMITE

Ipotesi:

am -> a, a ∈ R

Impostiamo un ragionamento per assurdo:

• am -> a, a ∈ R ∀ε∈R_+
• am -> b, b ∈ R ∀ε∈R_+
• Poniamo E = |a-b| per entrambe le definizioni.
• Stimiamo la differenza tra i limiti in valore assoluto: |a-b|
• |a-b| ≤ |a-am| + |am-b|
• Per le proprietà del valore assoluto se: |a-am| + |am-b| ≤ |a-am| + |am-b|
• quindi: |a-b| ≤ |am-a| + |am-b| ≤ E ε _{H}

Siamo giunti ad un assurdo.

Una quantità non può essere strettamente minore di se stessa.