Massimi e minimi relativi, Teorema di Fermat

Massimi e minimi relativi: teorema di Fermat

Definizione di massimo e di minimo relativo

In questo capitolo affronteremo lo studio del grafico di una funzione. Cominciamo col definire i punti di massimo e di minimo relativo. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b], diremo che un punto x_o∈[a,b] è di massimo (relativo) per f, nell'intervallo [a,b], se il valore f(x_o) è più grande dei valori f(x) con x∈[a,b] vicino ad x_o, più precisamente se esiste un numero δ>0 tale che f(x_o)≥f(x), ∀x∈[a,b], |x-x_o| < δ.

Analogamente, un punto x_o è di minimo (relativo) per f nell'intervallo [a, b] se esiste δ>0 per cui f(x_o) ≤ f(x) ∀x∈[a,b], |x-x_o| < δ. Nella figura, i punti x₁, x₃ sono punti di minimo.

Teorema di Fermat

Prima nota de la derivata "in un punto di massimo o minimo interni all'intervallo (a,b)" (un punto "interno all'intervallo" ⇒ x_o∈(a,b) cioè se x_o∈[a,b] x_o ≠ a, x_o ≠ b) tangente orizzontale. Questa proprietà vale per i punti interni all'intervallo di definizione. Non vale però necessariamente nei punti agli estremi dell'intervallo, dove il grafico della funzione può avere la retta tangente non orizzontale.

Una retta è orizzontale se, e solo se ha equazione y = costante e f'(x_o) = 0 (quindi derivata = 0).

Ripetizioni ed osservazioni

Massimi e minimi relativi Teorema di Fermat. In questo capitolo affrontiamo lo studio del grafico di una funzione. Cominciamo col definire i punti di massimo e di minimo relativo. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b], diciamo che un punto x₀∈[a, b] è di massimo (relativo) per f, nell’intervallo [a, b], se il valore f(x₀) è più grande dei valori f(x) con x∈[a, b]. Vicino ad x₀, più precisamente, se esiste un numero δ>0 tale che f(x₀)>f(x), ∀x∈[a, b]: |x-x₀|<δ.

Si noti che non viene richiesto che la proprietà valga per ogni x∈[a, b], ma solo per x vicino ad x₀. Infatti, x₁ e x₄ sono punti di massimo, anche il punto x=a è un punto di massimo relativo. f è più grande dei valori f(x) per x∈[a, b]. x è di massimo assoluto su f nell’intervallo [a, b]. Nella figura, il massimo assoluto è assunto dalla funzione per x=x₂ e vale f(x₂).

Analogamente, x₀ è un punto di minimo (relativo) per f, nell’intervallo [a, b] se esiste δ>0 per cui f(x₀)≤f(x), ∀x∈[a, b]: |x-x₀|<δ. Nella figura, i punti x₁, x₃ sono punti di minimo.

Primo teorema delle derivate. Un punto di massimo o minimo interni all’intervallo [a, b] (un punto “interno” all’intervallo se x₀∈(a, b)) cioè se x₀∈[a, b] x₀≠a, x₀≠b). Riuscita orizzontale. Questa proprietà vale per tutti i punti interni all’intervallo di definizione. Non vale però necessariamente nei punti agli estremi dell’intervallo dove il grafico delle funzioni può avere la retta tangente non orizzontale.

Una retta è orizzontale se e solo se ha equazione y = costante e f’(x₀) = 0 (quindi derivata = 0).