Massimi e minimi relativi, Teorema di Fermat

Massimi e Minimi Relativi. Teorema di Fermat

In questo capitolo affrontiamo lo studio del grafico di una funzione. Cominciamo col definire i punti di massimo e di minimo relativo.

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b], diremo che un punto x₀ ∈ ]a, b[ è di massimo (relativo) per f, nell'intervallo [a, b], se il valore f(x₀) è più grande dei valori f(x) con x ∈ [a, b]. Viciamo ad x₀ più precisamente se esiste un numero δ > 0 tale che f(x₀) ≥ f(x), ∀x ∈ [a, b] : |x - x₀| < δ.

Si noti che non viene richiesto che la proprietà valga per ogni x ∈ [a, b], ma solo per x vicino ad x₀.

Infatti, x₁ e x₄ sono punti di massimo, anche il punto x = a è un punto di massimo relativo. È più grande dei valori f(x) per x ∈ [a, b] : diciamo massimo assoluto di f nell'intervallo [a, b]. Nella figura, il massimo assoluto è assunto dalla funzione per x = x₂ e vale f(x₂).

Analogamente, x₀ è un punto di minimo (relativo) per la funzione f, nell'intervallo [a, b] se esiste δ > 0 per cui f(x₀) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b] : |x - x₀| < δ.

Nelle figure, i punti x₁, x₃ sono punti di minimo.

Prima nota: Se la derivata in un punto di massimo o minimo è in un intervallo [a, b] un punto x₀ "interno" all'intervallo se x₀ ∈ (a, b) cioè se x₀ ∈ [a, b] e x₀ ≠ a, x₀ ≠ b) risulta orizzontale. Questa proprietà vale per tutti i punti interni all'intervallo di definizione. Non vale però necessariamente nei punti agli estremi dell'intervallo, dove il grafico delle funzione può avere la retta tangente non orizzontale.

Una retta è orizzontale se e solo se ha equazione y = costante e f'(x₀) = 0 (quindi derivata = 0)