Massimi e minimi, hessiane, derivate seconde

MASSIMI E MINIMI, HESSIANE, DERIVATE SECONDE

Il significato geometrico del vettore gradiente (e quindi la nozione di massimo e

di minimo) è ricco di teoremi a riguardo, il primo è appunto il significato

geometrico del gradiente, ossia:

2 ( ) ( ) ( ) ( )

∈ ∇ ∇

f : A → R , A aperto di R , x , y A , f differenziabile∈ x , y , f x , y ≠0 → f x , y fornisce direzione e

0 0 0 0 0 0 0 0

Teorema sulle funzioni con gradiente nullo: se una funzione, definita come

2

prima ma con A aperto connesso di , con il gradiente della funzione nullo

R

per ogni coppia , allora la funzione è costante in A.

(x ) f

, y

DERIVATE PARZIALI SECONDE

Data una funzione in due variabili , se è derivabile in un punto esistono le

f

f f

sue derivate parziali e . A loro volta se le sue derivate parziali sono

x y

derivabili sempre nello stesso punto allora la funzione si dice che è derivabile

due volte in quel determinato punto, le funzioni che ne verranno fuori:

f , f , f , f

xx yy xy yx

Sono dette “derivate parziali seconde”, le prime due sono dette pure, mentre le

ultime due sono dette miste, in quanto per le prime si ha la derivazione rispetto

ad una stessa variabile, mentre nelle ultime no.

TEOREMA (di Schwarz): data una funzione derivabile due volte in un

f

(x )

, y

intorno del punto , se le derivate miste sono continue nel punto

0 0

( ) =f ( )

f x , y x , y

(x )

, y allora .

0 0 xy 0 0 yx 0 0

MATRICI HESSIANE

Data una funzione derivabile 2 volte in un insieme A, si definisce matrice

f

hessiana:

[ ]

(x ( )

f , y) f x , y

= xx xy

M f ( ) ( )

f x , y f x , y

yx yy ( )

=f −f

det M f f

In modo che venga definito il suo determinante , che per

f xx yy xy yx

il teorema di Schwarz, se le derivate miste sono continue nell’intervallo, è

2

( )

−

uguale a , come “hessiano” della funzione, indicato come

f f f

xx yy xy

.

( )

H x , y 2 2

Dato A aperto di (la funzione è derivabile due volte in A e le

∈C (

R , f A)

derivate seconde sono continue), allora per il teorema del differenziale

2 1 k k−1

, e più in generale .

⊂C ⊂C

( ( ( (

C A) A) C A) A)

Per le derivate k-esime vale il teorema di Schwarz: se una funzione è derivabile

3 volte e le derivate terze sono continue allora le derivate miste sono uguali,

più in generale se una funzione è derivabile k volte e le derivate k-esime miste

sono continue, si hanno k+1 derivate.

2 ( ) ( )

⊆ ∈

Data è un punto di minimo relativo per se

f

f : X → R , X R , x , y X , x , y

0 0 0 0

e solo se: ( )

( )

∃ ∀ ∈ ( )

I ∩ X : x , y I , f x , y ≤ f x , y

x , y 0 0

0 0

La definizione è simmetrica per il punto di massimo relativo, solo che

( ) ( )

f x , y ≥ f x , y .

0 0

Esiste un teorema, detto “condizione necessaria del primo ordine” che dice che

data una funzione definita in un insieme con un determinato punto

X

(x )

, y interno all’insieme ed esiste il gradiente della funzione nel punto,

X

0 0

allora se il punto è di estremo relativo, il suo gradiente corrisponde al vettore

nullo.

Tuttavia, il teorema esprime una condizione necessaria ma non sufficiente, in

quanto può capitare che il gradiente di una funzione sia nullo, ma non vi sia né

un punto di massimo né un punto di minimo. Un esempio è la funzione

( )=(

( ) ∇ )

=xy , in cui , nell’origine il gradiente è nullo ma in esso

f x , y y , x

f x , y

cadono sia valori maggiori che minori di 0, non risulta essere né un punto di

massimo né di minimo, in questo caso si parla di “punti di sella”.

Un punto in cui il vettore gradiente è nullo è detto “punto critico”.

TEOREMA (condizione necessaria del secondo ordine): data una funzione

( ) [ ]

2 2 ( ) ( )

⊆ ∈C ∈ ,

f : X → R , X R , f X́ insieme X senza frontiera ,interno , x , y X́ punto interno

0 0

allora:

Se è un punto di massimo relativo per :

( )

 x , y f

0 0

{ ( )

∇ =0

f x , y

0 0

( )

H x , y ≥ 0 .

0 0

( ) ( )

f x , y ≤ 0, f x , y ≤0

xx 0 0 yy 0 0

Se è un punto di minimo relativo per :

( )

 x , y f

0 0

{ ( )

∇ =0

f x , y

0 0

( )

H x , y ≥ 0 .

0 0

( ) ( )

f x , y ≥ 0, f x , y ≥0

xx 0 0 yy 0 0

Esiste anche il teorema inverso (condizione sufficiente o test delle derivate

( )

2 2 ( )

⊆ ∈C ∈

seconde): data una funzione , allora:

f : X → R , X R , f X́ , x , y X́

0 0

{ ( )

∇ =0

f x , y

0 0 ( )

→ x , y è un punto di minimo relativo .

( ) >0

 H x , y 0 0

0 0

( ) ( )

[f ]>0

f x , y x , y

xx 0 0 yy 0 0

{ ( )

∇ =0

f x , y

0 0 ( )

→ x , y è un punto dimassimo relativo .

( ) >0

 H x , y 0 0

0 0

( ) ( )

[f ]<0

f x , y x , y

xx 0 0 yy 0 0

{ ( )

∇ =0

f x , y ( )

0 0 → x , y non è un puntodi estremo relativo .

 0 0

( ) <

H x , y 0

0 0 2

Dato che per ipotesi la funzione è di classe , basta vedere soltanto il segno

C

di una pura per determinare l’esito (ecco perché l’altra pura sta fra le parentesi

quadre).

Il caso particolare si ha se l’hessiano della funzione è nullo, in quel caso si

(x )

f , y

studia il valore intorno a . Se le derivate miste sono continue, dovrà

0 0

risultare: 2

[ ]

( )=f ( ) ( ) ( )

− >

H x , y x , y f x , y f x , y 0

xx yy xy

Quindi il prodotto delle derivate parziali seconde pure deve essere per forza

maggiore di 0.

ESERCIZI ( ) =xy (x−1)

È data la funzione , calcolarne massimi e minimi. Le derivate

f x , y 2

−

parziali rispetto a e sono rispettivamente e , quindi il

x y 2 xy y −x

x

vettore gradiente si annulla (aiutandosi col grafico e trovando le intersezioni)

nei punti (0, 0) e (1, 0). Quindi le derivate parziali seconde pure sono −1

rispettivamente e , mentre le miste, uguali, sono uguali a , si

2 y 0 2 x

1

x=

avrà che l’Hessiano sarà negativo tranne che per , che non è compreso

2

nei punti critici, quindi i punti critici sono necessariamente punti di sella.

3 3 2

( )

È data la funzione , calcolarne massimi e minimi. Le

=2 + −3 −3

f x , y x y x y 2

derivate parziali rispetto a e sono rispettivamente e

x y −6

6 x x

2 , quindi il vettore gradiente si annulla nei punti (0, 1), (0, -1), (1, 1), (1,

−3

3 y

-1). L’hessiano nel primo punto è negativo, quindi è di sella, quello nel secondo

punto è positivo e la derivata seconda pura è negativa, quindi è un punto di

massimo relativo, nel terzo punto l’hessiano è sempre positivo e la derivata

parziale è positiva, quindi il punto è di minimo relativo, mentre nell’ultimo

punto l’hessiano è negativo, quindi è un punto di sella.

2

( )

È data la funzione , calcolarne massimi e minimi. Le derivate

=x

f x , y y 2

parziali rispetto a e sono rispettivamente e , il vettore

x y 2 xy x

gradiente si annulla nei punti del tipo (0, ), inoltre l’hessiano è nullo in tutti

y

i punti critici, quindi va studiato il segno intorno ai punti critici (ossia i quattro

quadranti). Si avrà questa situazione, andando ad analizzare la situazione: