Massimi e minimi, hessiane, derivate seconde

Massimi e minimi, hessiane, derivate seconde

Il significato geometrico del vettore gradiente (e quindi la nozione di massimo e di minimo) è ricco di teoremi a riguardo. Il primo è appunto il significato geometrico del gradiente, ossia:

Teorema sulle funzioni con gradiente nullo: se una funzione, definita come prima ma con A aperto connesso di R², ha il gradiente della funzione nullo per ogni coppia (x, y), allora la funzione è costante in A.

Derivate parziali seconde

Data una funzione in due variabili f, se è derivabile in un punto, esistono le sue derivate parziali f_x e f_y. A loro volta, se le sue derivate parziali sono derivabili sempre nello stesso punto, allora la funzione si dice che è derivabile due volte in quel determinato punto. Le funzioni che ne verranno fuori, f_xx, f_yy, f_xy, f_yx, sono dette "derivate parziali seconde". Le prime due sono dette pure, mentre le ultime due sono dette miste, in quanto per le prime si ha la derivazione rispetto a una stessa variabile, mentre nelle ultime no.

Teorema di Schwarz: data una funzione derivabile due volte in un intorno del punto (x₀, y₀), se le derivate miste sono continue nel punto (x₀, y₀), allora f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀).

Matrici hessiane

Data una funzione derivabile due volte in un insieme A, si definisce matrice hessiana:

M_f(x, y) =

In modo che venga definito il suo determinante, det M_f = f_xxf_yy - f_xyf_yx. Per il teorema di Schwarz, se le derivate miste sono continue nell’intervallo, è uguale a (f_xxf_yy - f_xy²), come "hessiano" della funzione, indicato come H(x, y).

Dato A aperto di R² (la funzione è derivabile due volte in A e le derivate seconde sono continue), allora per il teorema del differenziale C²(A) ⊂ C¹(A) ⊂ A. Per le derivate k-esime vale il teorema di Schwarz: se una funzione è derivabile tre volte e le derivate terze sono continue, allora le derivate miste sono uguali. Più in generale, se una funzione è derivabile k volte e le derivate k-esime miste sono continue, si hanno k+1 derivate.