Le derivate, massimi minimi e flessi. Problemi svolti

Verifica che la cubica ammette sempre un punto di flesso

N°61È data la cubica: , , , ∈ ∧ 0Verifica che ammette sempre un punto di flesso.a. Determina il valore dei parametri per cui la curva siab. quella rappresentata in figura, in cui il flesso si trova in O.Dopo aver trovato l’equazione della retta t tangentec. nell’origine O, considera una retta passante per O ecompresa tra l’asse x e t. Determina la retta che rendemassima l’area del triangolo APB, dove con P si è indicatoil punto di intersezione tra la retta e la cubica nel primoquadrantea) La funzione ammette un flesso se la derivata seconda si annulla almeno in un punto deldominio, calcoliamola e cerchiamone gli zeri:3 2Derivata prima: 6 2Derivata seconda: 06 01 ⋅30: 1Essendo ∃ ∈ | ⋅3b) Troviamo i parametri a,b,c,d. Imponendo le condizioni ricavabili dal grafico:• la curva passa per l’origine d=0• la funzione ha un masismo in x=2 y’(2)=0;• la funzione ha un flesso in x=0

y''(0)=0 → la funzione assume valore 4 nel punto di massimo y(2)=4 → 0

Scriviamo il sistema risolvente:

12 4 0

2 0 8

4 2 4

Risolviamo il sistema:

0 0 ⎧ 3

1 1 2

4 0 12

→ → →

0 3 3

2 0 0 ⎨ 4

1 8 4

2 4 16

→ → →

4 4 0 ⎩ 4

c) equazione della tangente nell'origine: '0(3/4)

La retta tangente ha equazione: y = 3/4x

Troviamo la retta che rende massima l'area di APB.

Troviamo le coordinate dei vertici A e B che sono due zeri di f(x).

1P è un punto della curva, esprimiamo le sue coordinate: (3/4, f(3/4))

Sia AB la base del triangolo:

AB = 2√3

e l'altezza relativa ad essa, scriviamo la funzione area da ottimizzare:

Area = 1/2 * AB * h

Area = 1/2 * 2√3 * h

Area = √3 * h

Calcoliamo la derivata prima: 3(3/4) 2√3 * h + 3-4

Studiamo segno e zeri:

3(3/4) 2√3 * h + 3-4 ≥ 0

2 ≤ h ≤ 4

Il punto P è nel primo quadrante.

f(x) è massima in x=2

Le coordinate di P: (3/4, 2)

• 4(4:: 2La retta cercata ha equazione:
• N.63La curva rappresentata in figura ha equazione:
• ∈ .con Determina a, b, c, d, tenendo conto che F è una. punto di flesso con tangente t.
• Scrivi l’equazione della parabola, con asse parallelob. =all’asse y, tangente alla curva c nel suo punto B diascissa e con il vertice sull’asse y.
• >Determina il rettangolo inscritto nella parabola,c. individuato dalla retta di equazione edall’asse x, di area massima.
• N° 64 > >Considera il fascio di funzioni omografiche di equazione: >?0'> 1( 1a. Stabilisci se esistono funzioni degeneri.
• b. Mostra che al variare di k tutte le funzioni hanno due punti in comune, di cui si chiedono le;coordinate.
• c. Determina la funzione del fascio il cui centro abbia distanza minima dall’origine.
• d. Inscrivi nella regione finita di piano delimitata dalla curva dall’asse x e dall’asse y il rettangolo,con i lati paralleli agli assi cartesiani, di

area massima.