Massimi e minimi con le derivate e annessi teoremi

Massimi e minimi con le derivate e annessi teoremi

Definizione di massimo e minimo

La funzione non ha massimi ma ha un minimo per x=1. Tuttavia, se si restringe la funzione ad un intervallo chiuso [0, 2], essa per il teorema di Weierstrass avrà un massimo e un minimo, con x=1 punto di minimo e x=2 punto di massimo.

Estremo relativo

Si definisca a questo punto l’estremo relativo, che nel caso del massimo relativo in un punto x è:

∃ ∈ [x − δ, x + δ] f(x) ≥ f(x₀) per ∀ x ∈ (x₀ − δ, x₀ + δ)

Nel caso del minimo si sostituisce 'maggiore o uguale' con 'minore o uguale', questo vuol dire che esiste un delta tale che nell’intervallo indicato il punto ha funzione massima o minima.

Teorema

Data una funzione in un intervallo chiuso [a, b], continua e derivabile nell’intervallo chiuso (derivabile altrimenti si potrebbe avere un estremo angoloso), se x è un estremo relativo (appartenente all’intervallo aperto di a, b, altrimenti se il punto è di bordo può capitare che esso abbia derivata diversa da 0) allora f'(x₀) = 0.

Dimostrazione: vedi su libretto dimostrazioni.

Teorema di Rolle

Data una funzione continua su [a, b] e derivabile in (a, b), con f(a) = f(b), allora esiste un punto c interno all’intervallo tale che f'(c) = 0.

Teorema di Lagrange

Generalizzazione di Rolle, data f come prima, allora esiste un punto interno ad (a, b) tale che

f'(x₀) = [f(b) − f(a)] / (b − a)

Criterio di monotonia

Per f come prima, se f' è maggiore o uguale a 0 in (a, b), allora f è non decrescente in (a, b). Se la derivata è solo strettamente maggiore di 0, allora è strettamente crescente, ma non vale la proprietà inversa (se è strettamente crescente, allora la sua derivata prima è strettamente maggiore di 0. Un esempio è la curva cubica nel punto 0, nella quale è strettamente crescente ma in quel punto la derivata è 0). Lo stesso discorso vale per decrescenza.

Criterio di monotonia con dimostrazione

Sia f : [a, b] → R continua e derivabile in [a, b], se f' ≥ 0 ↔ f è non decrescente, se f' ≤ 0 ↔ f è non crescente, se f' = 0 → f è strettamente crescente.

La dimostrazione è sul quaderno.

Cercare massimi e minimi