Massimi e minimi con le derivate e annessi teoremi

MASSIMI E MINIMI CON LE DERIVATE CON ANNESSI

TEOREMI 3

Si ricordi la definizione di massimo e di minimo. La funzione non ha

¿ −1∨¿

x

massimi ma ha minimo per x=1, ma se si restringe la funzione ad un intervallo

chiuso [0, 2], essa per il teorema di Weierstrass avrà un massimo ed un

minimo, con x=1 punto di minimo e x=2 punto di massimo.

Si definisca a questo punto l’estremo relativo, che nel caso del massimo

relativo in un punto x è:

0

( ) ( ) ∃ ∈[x −δ + ]

f x ≥ f x se δ :∀ x ; x δ

0 0 0

Nel caso del minimo si sostituisce maggiore o uguale con minore o uguale,

questo vuol dire che esiste un delta tale che nell’intervallo indicato il punto ha

funzione massima o minima.

TEOREMA: data una funzione in un intervallo chiuso [a, b], continua e derivabile

nell’intervallo chiuso (derivabile altrimenti si potrebbe avere un estremo

angoloso), se x è un estremo relativo (appartenente all’intervallo aperto di a,

0

b, altrimenti se il punto è di bordo può capitare che esso abbia derivata diversa

da 0) allora f ’(x ) = 0.

0

Dimostrazione: vedi su libretto dimostrazioni.

TEOREMA DI ROLLE : data una funzione continua su [a, b] e derivabile in (a,

b), con f(a) = f(b) allora esiste un punto c interno all’intervallo tale che f ‘(c) =

0

TEOREMA DI LAGRANGE: (generalizzazione di Rolle), data f come prima, allora

[ ]

( )−f ( )

f b a

esiste un punto interno ad (a, b) tale che f ’(x ) =

0 b−a

CRITERIO DI MONOTONIA: f come prima, f ‘ maggiore o uguale di 0 in (a, b),

allora f è non decrescente in (a, b), se la derivata è solo strettamente maggiore

di 0, allora è strettamente crescente, ma non vale la proprietà inversa (se è

strettamente crescente, allora la sua derivata prima è strettamente maggiore

di 0, un esempio è la curva cubica nel punto 0, nella quale è strettamente

crescente ma in quel punto la derivata è 0.). Stesso discorso per decrescenza.

CRITERIO DI MONOTONIA CON DIMOSTRAZIONE: Sia

[ ] ' ' '

( ) >

f : a , b → R continua e derivabile∈ a , b , se f ≥ 0 ↔ f è non decrescente , se f ≤ 0↔ f non crescente, f 0→ f stre

.

La dimostrazione è sul quaderno.

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