Macchine M - Domande e Risposte

Equazioni di Moto dei Fluidi per Condotti Fissi. Grandezze Totali. Velocità del Suono. Regimi di Moto. Efflusso di Fluido Comprimibile da Ambiente con Stato Fisico Noto

Equazioni Generali del Moto dei Fluidi

dR + cde + gdz = dg1 - dL → eq. moto dei fluidi in forma termica

cde + gdz + vdp + dR - vdl → eq. moto dei fluidi in forma meccanica

• dove lo scambio energetico fra fluido e macchina avviene come trasfurmazione adiabatica.

- eq. moto dei fluidi in forma termica.

Nel tratto di condotto non vi è scambio con l'esterno.

Grandezze Totali

Ipotesi: per lo studio della fluidodinamica nei condotti è possibile trascurare l'energia potenziale gravitazionale (gdz ≈ 0).

Considero un condotto adiabatato attraversato da un fluido stazionario Co. Il condotto è trasporto con l'esterno tots ' Co, il fluido si impegna contro azzezione la media V0.

Considero l'eq. dell'energia in forma termica:

dR + cde + gdz = ₀

Interno l'equazione dell'energia così trovata fra Co e O.

In generale definiamo:

Def. Grandezze Termo-

Dinamic Totali

Sotto le ipotesi di gas ideale avremo:

Tot

Sotto le ipotesi di trasformazione isentropica

(p^k) _k = cost

I rapporti fra potenza aggregata saranno:

Fino a velocità nulla

Equazioni di Moto dei Fluidi per Condotti Fissi

Equazioni generali del moto dei fluidi:

dR + c de + gdz = dgₛ - dL → eq. moto dei fluidi in forma termica

[cdg + gdz + ρ dv] + dR - vdL → eq. moto dei fluidi in forma meccanica

Ipotesi: Conduzione di calore nulla

Grandezze Totali

Ipotesi: per lo studio della fluidodinamica nei condotti è possibile trascurare l’energia potenziale gravitazionale (gdz ≈ 0).

Considero un condotto adiabatico attraversato da un fluido ideale a velocità c_o. Se il condotto è tarato con l’esterno, il flusso si interrompe contro azzerando la velocità.

Considero il caso dell’energia in forma termica:

ρo + ½c_o² / 2 = h_o

In generale:

Definizione grandezza termodinamiche totali → Grandezze in cui l'energia cinetica (velocità) assume se lo si assorbe decelerando dallo stato fisico in cui si trova fino a velocità nulla secondo una trasformazione isentropica.

Sotto le ipotesi di gas ideali avremo:

h_rot = h_o + c_o² / 2

Tot = c_p T_o + c_o² / 2 c_p

Sotto le ipotesi di trasformazione isentropica:

pυ^k = cost. → p_o = RT

Rapporti fra pressione e densità all'esterno della trasformazione adiabatica sono:

• p_o / p = (T_o / T)^{k / k-1}
• ρ_o / ρ = (T_o / T)^{1 / k-1}

Velocità del Suono e Regimi di Moto

Considero un condotto cilindrico a sezione costante inizialmente colmato da fluido in quiete, caratterizzato dalle grandezze ρ, p, T. Si immagini di imprimere un impulso da parte di un pistone posto sulla estremità sinistra: esso si propagherà se al fluido viaggia con una onda che si propaga con velocità c_s.

Sia il fluido in moto di uscita che segue si caratterizza per le grandezze ρ + dρ, p + dp, T + dT, dc.

Determinazione Analitica di c_s

Un osservatore solidale all'onda vedrà una portata di fluido apparentemente data da:

Ċ = ρ c_sA differenza dm = ρ c_sA + pdcA + dρcA = 0

Divido per ρcA → dp/dc + dρ/ρ + dc/c - dp/c → (1)

Valuto il bilancio energetico attraverso la legge fondamentale della meccanica dei fluidi in forma meccanica:

c dc + gz/ρ + dp/ρ = 0

c dc - dp/ρ = f(x) → -dp - ρ dp = 0

c + s/dc dρ = 0 → divido per c₃ → (2)

messo a sistema (1) e (2)

• dp = 0
• dp = c_s

Per portata di gas perfetto ρ e p sono legate da:

• p / ρ = RT
• dp / ρ = kRT
• c_s = √kRT

Regimi di Moto

Si può associare ad un fluido in moto una grandezza adimensionale che ne identifica il regime di moto.

• Def: Numero di Mach → rapporto fra velocità del fluido in un punto e velocità del suono. Se non è aerodinamico,
• M = v/c_s

Se M > 1 → regine di moto subsonico

Se M < 1 → regime di moto transonico (o subonico)

Efflusso da ambiente a stato fisico noto di un fluido comprimibile

Suppongo di avere un ambiente esteso all’infinito (ambiente a P₀, T₀ costanti in tutto il dominio). Si identifica una linea di corrente su due punti di efflusso di un flusso e le conseguenze delle diverse condizioni che si assestano alle P, ρ, T.

Individuata una linea di corrente e due punti di essa (P-P₀), si verific