L'oligopolio: il modello di Cournot, Bertrand e Stackelberg

IGURA

Questo grafico mostra il processo di aggiustamento verso l’equilibrio che si realizza

attraverso l’interazione strategica che le imprese conducono modificando le quantità

prodotte, al fine di massimizzare il profitto, tenendo conto delle rispettive strategie. Infatti

supponendo che la quantità prodotta dall’impresa 2 sia pari a ̅ q allora l’impresa 1

2

risponderà producendo q a cui corrisponde il punto a sulla funzione di reazione

1

dell'impresa 1. Successivamente visto che l’impresa 1 produce q allora la rivale

1

risponderà con una nuova quantità q a cui corrisponderà il punto b sulla propria funzione

di reazione. Mediante questo processo di azione e reazione si giungerà nei punti c, d ed e

che rappresentano soluzioni statiche in quanto ci dicono qual è la quantità ottima che

l’impresa dovrebbe produrre in seguito alla scelta quantitativa della rivale. Solo quando

si giungerà nel punto N, di coordinate q^ e q^ , allora si otterrà un equilibrio stabile in

1 2 6

quanto alle imprese non converrà modificare la propria strategia ai fini della

massimizzazione del profitto. Il punto N (q^ , q^ ) rappresenta la soluzione del modello

1 2

di Cournot e viene anche considerato come un equilibrio di Nash in quanto tali quantità

Quest’ultimo aspetto

5

rappresentano le soluzioni ottime per entrambe le imprese .

dimostra il fatto che Cournot abbia anticipato la moderna teoria dei giochi ed il concetto

di equilibrio sviluppato da Nash. Ulteriore elemento da evidenziare si sostanzia nella

considerazione che l’equilibrio N si raggiunge dinamicamente attraverso una

determinazione simultanea delle quantità ottime da produrre. Tale soluzione di equilibrio

si ottiene nel punto in cui le due funzioni di reazione si intersecano e analiticamente è

possibile determinare, date le nostre ipotesi di base, queste quantità di equilibrio

risolvendo il seguente sistema:

– – →

q = a c / 2b ½ q funzione di reazione impresa 1

1 2

– – →

q = a c / 2b ½ q funzione di reazione impresa 2

2 1

risolviamo il sistema sostituendo nella prima funzione la seconda, cioè in q della prima

2

sostituiamo la finzione q .

2 – –

q = a c / 2b ½ q

1 2

– – – –

q = a c / 2b ½ (a c / 2b ½ q )

1 1

Svolgiamo il prodotto, dopo il mcm sarà pari a 4b e successivamente semplifichiamo.

– – –

q = a c / 2b a c / 4b + 1/4q

1 1

– – –

4bq = 2 (a c) (a c) + bq

1 1

–

4bq = (a c) + bq

1 1

–

4bq - bq = a c

1 1 –

3bq = a c

1

– → → – c / b) →

q^ = a c / 3b oppure q^ = 1/3 *(a quantità q^ di equilibrio

1 2 1

appena individuata nella funzione di reazione dell’impresa

Ora sostituendo la quantità q^ 1

2 otteniamo la quantità di equilibrio q^ :

2 – –

q = a c / 2b ½ q

2 1

– – – → mcm 6b

q = a c / 2b ½ (a c / 3b)

2 – – –

6bq = 3 (a c) (a c)

2 –

6bq = 2 (a c)

2

→ q^ rappresenta la soluzione ottima per l’impresa 2 per massimizzare il profitto. Al

5 Infatti dato q^ 1 2

→ q^ rappresenta la soluzione ottima per l’impresa 1 al fine di massimizzare il profitto.

contempo dato q^ 2 1 7

–

3bq = a c

2

– → → – c / b) →quantità

q^ = a c / 3b oppure q^ = 1/3 * (a q^ di equilibrio

2 2 2

Se i costi marginali fossero nulli allora le quantità di equilibrio q^ e q^ sarebbero pari

1 2

ad a / 3b. Da ciò possiamo determinare la quantità totale di output prodotta nel duopolio

di Cournot sapendo che q = q^ + q^ allora:

1 2

– → Quantità totale di equilibrio in Cournot

q = 2/3 * (a c / b)

Come si evince la quantità totale prodotta dalle due imprese nel modello di Cournot

rappresenta i 2/3 di quella prodotta in concorrenza perfetta. Inoltre nel caso in cui i costi

marginali fossero nulli tale quantità totale sarebbe pari a 2a / 3b.

Si noti che il punto N (q^ , q^ ) pur essendo un equilibrio di Nash e la soluzione del

1 2

modello di Cournot non rappresenta la situazione in cui le imprese massimizzano il

profitto congiunto. Infatti le due imprese massimizzerebbero il profitto congiunto soltanto

–

se producessero la quantità di monopolio q = a c / 2b dove mediante un accordo

m –

collusivo si dividerebbero il mercato e i profitti, per cui q = q = a c / 4b (quantità

1 2

prodotta dalla singola impresa). Risulta evidente che la quantità totale del duopolio di

Cournot è maggiore della quantità totale prodotta in monopolio o nel caso di collusione

– – ma al contempo l’equilibrio di monopolio o collusione non

(2/3 * (a c / b) > a c / 2b)

è stabile in quanto le imprese sono incentivate a violare l’accordo al fine di appropriarsi

del mercato totale. Altro elemento interessante da trattare riguarda la generalizzazione del

modello di Cournot: – –

q = (n / n+1) * (a c /b) dove ogni impresa produce q = (1/n+1) * (a c / b)

n i

se il numero delle imprese “n” tende all’infinito allora:

∞/∞ = lim ∞/∞ = 1/1

lim n / n +1 = = 1

n → ∞

Quindi la quantità di equilibrio diventa:

– – →

q = (n / n+1) * (a c /b) = a c / b quantità di concorrenza perfetta.

n

Quindi potremmo dire che la concorrenza perfetta è un caso particolare dell’oligopolio di

Cournot che si ottiene quando il numero delle imprese tende all’infinito. 8

Il modello di Bertrand. 6

Il matematico francese Joseph Bertrand nel 1883 recensì , a circa cinquanta anni dalla

sua pubblicazione, il modello standard del duopolio di Cournot basato sulla

determinazione simultanea delle quantità prodotte. Bertrand criticava l’applicazione dei

modelli matematici in economia e per dimostrare la sua tesi analizzò il modello di

Cournot in termini di prezzi piuttosto che in quantità. Tale modello considera due imprese

che producono un bene identico e che competono in base al prezzo. Ciò significa che le

imprese definiscono il prezzo del bene in maniera simultanea ed il mercato determina le

quantità corrispondenti. Quando un’impresa determina il prezzo a cui collocare il bene

deve anche prevedere la strategia di prezzo della rivale tenendo conto che l’obiettivo

perseguito è la massimizzazione del profitto. Per dimostrare il modello supponiamo che

nel mercato operano due imprese (impresa 1 e impresa 2) con la stessa struttura dei costi

dove i costi marginali sono costanti (MC = c) e che il punto di partenza sia l’equilibrio di

come “collusione”. Quindi almeno inizialmente le

monopolio che in tal caso si configura

imprese colludendo si divideranno il mercato e le quantità da produrre in maniera equa al

fine di massimizzare il profitto. Tale punto C ha come coordinate di prezzo e quantità

̅ ̅

rispettivamente p e q , che nella sostanza corrispondono al prezzo (p ) ed alla quantità di

m

Dato l’accordo iniziale ogni impresa produrrà la metà delle quantità

monopolio (a-c/2b).

totali collocate sul mercato:

impresa 1 produrrà → (a-c/2b) /2 → q = (a-c/4b)

1

impresa 2 produrrà → /2 → q

(a-c/2b) = (a-c/4b)

2

→ ̅

dove q = q + q

1 2

Visto che nel punto C il prezzo è maggiore del costo marginale esistono dei profitti

positivi che le due imprese si dividono in tal modo:

π ̅ ̅ – → ( ̅ – ̅

= [ p * ( q / 2) c *(̅ q / 2)] p c) * q / 2

1

π ̅ ̅ – → ( ̅ – ̅

= [ p * ( q / 2) c *(̅ q / 2)] p c) * q / 2

2

Questa situazione non rappresenta un equilibrio stabile in quanto entrambe le imprese

sono incentivate ad abbassare il prezzo al fine di accaparrarsi l'’intera domanda di mercato

e quindi ottenere un profitto maggiore rispetto al punto di collusione. Supponendo che sia

l'’impresa 1 a fare la prima mossa che si concretizza con la riduzione del prezzo di una

“Théorie des Richesses: Revue de Théories Mathématiques de la Richesse Sociale

6 BERTRAND J.L.F.,

par Léon Walras et Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses par Augustin

Cournot”, Journal des Savants, 67(9), 499-508, 1883. 9

ɛ, ̅ ɛ

quantità pari a allora il nuovo prezzo sarà p - e quindi il mercato domanderà una

ս e l'’impresa produrrà l’intera quantità ̅

quantità maggiore di output pari a q + u.

ɛ

Considerando che e u rappresentando delle variazioni infinitesimali, quindi quasi

con

impercettibili, le possiamo fare tendere a zero in modo da dimostrare che l’impresa

tale strategia ottiene un profitto maggiore di quello ottenuto in collusione:

π ̅ ɛ) ̅ – ̅

= ( p - * ( q + u) c * ( q + u)

1 ɛ ս → 0

se

allora → π ̅ ɛ) ̅ – ̅

= ( p - * ( q + u) c * ( q + u)

1

quindi → π ̅ – ̅

= ( p c) * q

1

→ ̅ ̅

dove q > q / 2

Inoltre possiamo esprimere lo stesso concetto ricorrendo ad un esempio elementare.

Ipotizziamo che il prezzo di collusione sia pari a 100€ e la quantità a 5, i costi marginali

sono invece pari a 2€. In collusione le due imprese realizzano un profitto pari a 245€

–

ciascuna ottenuto in tal modo: (100*5/2) (2*5/2). Nel caso in cui l’impresa 1 decida di

abbassare il prezzo di 1€ facendolo passare da 100 a 99€ allora aumenterà di 1 unità la

questa circostanza l’impresa 1

quantità prodotta e quella totale sarà pari a 6 unità. In

servirà tutta la domanda ed il profitto ottenuto sarà maggiore e pari a 582€ [(99*6) –

prezzo praticata dall’impresa 1

(2*6)]. Di contro l'impresa 2 reagirà alla riduzione di

attraverso una strategia di riduzione ulteriore del prezzo in quanto, per i principi appena

esposti, conseguirà un profitto positivo e maggiore della situazione precedente. Ecco

strategica che si sviluppa attraverso una competizione di prezzo

allora che l’interazione

terminerà nel momento in cui i profitti saranno nulli e quindi nel punto in cui si realizza

tra prezzo e costo marginale.

l’uguaglianza Il modello di Bertrand parte dalla condizione

di collusione e dimostra che le imprese competendo sul prezzo giungono ad una