Limiti notevoli con dimostrazione, Analisi matematica

Lezione 15

Limiti notevoli riscritti in termini di "o piccolo"

Limite notevole del seno

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1\) ⇔ \(\frac{\sin x}{x} = 1 + o(1)\), per \(x \to 0\).

\(\lim_{{x \to 0}} \left( \frac{\sin x}{x} \right) + o(1),\) per \(x \to 0\).

\(\sin x = x + o(x),\) per \(x \to 0\).

Osservazioni

Nel secondo passaggio abbiamo moltiplicato i membri dell'equazione per \(x\) in modo da eliminare la \(x\) presente a denominatore (nel primo passaggio). Il prodotto tra \(x\) (che è un valore che tende a 0) e \(o(1)\) (che è un altro valore che tende a 0, ma meno velocemente rispetto a \(x\)), otteniamo \(o(x)\) che va a 0 più velocemente rispetto a \(x\).

Limite notevole del coseno

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} + o(1),\) per \(x \to 0\).

\(1 - \cos x = \frac{x^2}{2} + o(x^2),\) per \(x \to 0\).

\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2),\) per \(x \to 0\).

Limite notevole della tangente

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\tan x}{x} = 1 + o(1),\) per \(x \to 0\).

\(\tan x = x + o(x),\) per \(x \to 0\).

Nota

Inoltre, questi limiti notevoli possono essere riscritti in termini di asintotici come segue:

• Sin x: \(x\), per \(x \to 0\)
• Cos x: \(1 - \frac{x^2}{2}\), per \(x \to 0\)
• Tan x: \(x\), per \(x \to 0\)

Limite notevole dell'arcoseno

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\arcsin x}{x} = 1\)

Dimostrazione

Anche per il calcolo di questo limite che, come gli altri, dà luogo ad una forma indeterminata, ci ricondurremo al limite del seno. Adoperiamo un cambio di variabile: \(y = \arcsin x\) e quindi, dato che quest'ultima è la funzione inversa del seno, otterremo \(\sin y = x\). Se quindi \(x \to 0\), \(y = \arcsin x \to 0\), \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\arcsin x}{x} = \lim_{{y \to 0}} \frac{y}{\sin y} = 1\).

Limite notevole dell'arcotangente

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\arctan x}{x} = 1\)

Dimostrazione

Adoperiamo un cambio di variabile: \(y = \arctan x\) e \(\tan y = x\). Se quindi \(x \to 0\), \(y = \arctan x \to 0\), \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{{y \to 0}} \frac{y}{\tan y} = 1\).

Nota

Anche questi limiti possono essere riscritti in termini di "o piccoli" e gli asintotici:

• Arcsin x: \(x + o(x)\), per \(x \to 0\)
• Arctan x: \(x + o(x)\), per \(x \to 0\)
• Arcsin x: \(x\), per \(x \to 0\)
• Arctan x: \(x\), per \(x \to 0\)

Limite notevole

\(\lim_{{x \to +\infty}} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \infty\)

Dimostrazione

Per la dimostrazione di questo limite, dobbiamo anticipare un risultato che riguarda le successioni. Supponiamo di avere dimostrato che:

• \(\lim_{{n \to +\infty}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\)