Limiti

LIMITI

SUCCESSIONI

Si dice successione una funzione

Notazione

an∈ ℕ Im(an) = [0 ; 1 , 2, ... ] ⊂ ℕ

an = 1/n Im(an) = [1 ; 1/2 ; 1/3 ....] ⊂ ℕ

LIMITI

lim an = 0 con an = 1/n |an - 0| < ε per n grande → |an - 0| per n > N con N finito

∀ ε ∃nε ∈ ℕ t.c. |an - 0 | < ε ∀ n > nε

Quando ci si avvicina all'inizio si produce un derivato grande.

INTORNO SFERICO

Def siano x∈ℝ, ε∈ℝ⁺chiamiamo intorno sferico di centro x e raggio ε l'insieme

B_ε(x) := {y∈ℝ : |y-x| < ε}

TOPOLOGIA EUCLIDEA

1. Se U è un intorno di x → x ∈ U
2. Se U e V sono intorni di x → U ∩ V è intorno di x
3. Se U è un intorno di x e y ∈ U → ∃ W intorno di y t.c. W ⊆ U
4. x ≠ y allora ∃ U intorno di x e V intorno di y t.c. U ∩ V = ∅

Intorno Sferico di ±∞

R̅ := ℝ ∪ {±∞}

Sono x racchiudere ±∞ dentro un intorno.

Chiamiamo intorno sferico di +∞/-∞ un qualunque intervallo del tipo (a,+∞)/(-∞,b).

lim_x→x₀ f(x) = ℓ

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x 0<|x-x₀|<δ

Punto di Accumulazione e

Def sia E ⊆ R̅

Un punto x ∈ R̅ si dice di accumulazione per E se ogni intorno di x contiene almeno un punto di E diverso da x.

∀U (intorno di x) - U\{x} ∩ E ≠ ∅

|x-x₀| E' non vuoto

Punto Isolato

Sia E ⊆ R̅ un punto x ∈ E che non è di accumulazione per E si dice isolato.

Non quando ci sono questi incisi. ... Uscire questo di ac e E o

es I E := {1/n | n ∈ ℕ\{0}} 0 è di accumulazione per E \{0, E o}

[1,2] e fatto tutto da punti di acc. ... Usi anche per [1,2], E o

Def

Sia (... Def sup 2)

Si dice che f soddisfa una certa proprietà D definitivamente per x che tende ad x₀.

∃U (intorno di x₀) P valida ∀x ∈ U ∖{x₀} f soddisfa P

es f(x) := x²

Vale che f(x)>0 definitivamente per x→0?

x₀ = 0 di accumulazione

P è f(x) > 0

P se vogli mettere (f intorno, 0 - x₀)

∃ U intorno di x. t.c. f(x) > 0 ∀x ∈ U∖{0}?

Teorema limitatezza di convergenti

I se ℓ ∈ ℝ - ∞ < ℓ < +∞

∀ M ∈ ℝ ∃ δ (ℓ - M < δ) ⟹ f(x) ∈ definizione per x → x₀

b) è superiormente limitato

II se ℓ = +∞ (o ℓ = -∞)

b) è superiormente limitato

Corollario limitatezza da funzioni convergenti

nell'ipotesi del teorema precedente se ℓ ∈ ℝ (ℓ ≠ +∞)

f è limitata definitivamente per x → x₀

Limite unilatero

f: X ⊆ ℝ → ℝ, X₀ di acc per x ∈ N (x₀ + ⊲ da destra sinistra)

diremo che ℓ ∈ ℝ è limite destro (sinistro) di f per x → x₀ da dx (rsp. da sin) se

f|_{X ∩ (x0, x0 + ⊲)} → ℓ

se f|_{X ∩ (x0, x0 + ⊲)} → ℓ

Notazione

lim_x→x0^- f(x) = ℓ

lim_x→x0⁺ f(x) = ℓ

Oss. caratterizzazione del limite

sia x₀ ∈ ℝ di acc per X sia finito che destro

lim_{x → x0^-} f(x) = lim_{x → x0^-} f(x_n) = lim_{x → x0⁺} f(x)

Importante per non esistenza del limite

es segno(x) = { -1 x < x₀

lim_x→0 f(x) ≠ lim_x→0 f(x)

1 ≠ -1

RIASSUNTO

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₀ x⁰ con a_n ≠ 0, b_m ≠ 0

b_mx^m + b_m-1x^m-1 + ... + b₀

allora lim_{x → ±∞} =

• 0 se n < m
• a_n/b_m se n = m ∧ a_n/b_m > 0
• ∞ se n > m ∧ a_n/b_m > 0
• ∞ se n = m

DIM f(x) =

xⁿ (a_n + a_n-1/x + ... + a₀/xⁿ) x^m (b_m + b_m-1/x + ... + b₀/x^m) → x^n-m

(a_n + a_n-1/x + ... + a₀/xⁿ) (b_m + b_m-1/x + ... + b₀/x^m)

III

_{x → + ∞} lim ^{arcsec x} = 1

DIM

arcsec_nx = x _→ ^{arcun(sin(t))1 = t sin(t)}

IV

_{x → 0⁺} lim ^{arc tg(x) / log(x)} = 1

DIM

tanx = x _{log t} = cos_t t

V

_{x → + ∞} lim ^{(1 + x_(1/x))} = e

se io sostituisco la funzione in successione diviene la regressionetto = (1 + 1/n)ⁿ = e

VI

_{x → + ∞} lim ^{(1 + x)_1/k = = R}

VII

_{x → 0} lim ^{ln(1 + x) / x} = 1

DIM

ln(1 + x)/x ^{= ln(1 + x)_1/k}

VIII

_{x → 0} lim ^{ex-1 / x} = 1

DIM

(^{y = ex - 1 / y}) _{x → 0} = ^y ln(y+1)

IX

_{x → 0} lim ^{(1 + x)n / x} = α ( ^{x ∈ R} )