Limiti

Notiamo anche che il lim 1/x non esiste.

x 0

⟶ a^x=(+∞ se a>1 e 0 se a<1) e lim a^x=(0

● Abbiamo inoltre che lim x +∞ x -∞

⟶ ⟶

se a>1 e +∞ se a<1). In particolare abbiamo lim e^x=+∞ e lim

x +∞ x -

⟶ ⟶

x=(+∞ se a>1 e -∞

e^x=0. Riguardo alle funzioni logaritmiche si ha lim log

∞ x +∞

⟶ a

se a<1) e lim x=(-∞ se a>1 e +∞ se a<1). In particolare si ha

log

x 0

⟶ a

lim lnx=+∞ e lim lnx=-∞. Notiamo infine che le funzioni circolari

x +∞ x 0

⟶ ⟶

seno e coseno non ammettono lim o lim : esse tendono ad oscillare

x +∞ x -∞

⟶ ⟶

tra ±1.

Primi teoremi sui limiti

Siano E R, f:E R e

⊆ ⟶ x0∈R¯ f(x)=l∈R. Allora

un punto di accumulazione di E. Sia lim x x0

⟶

valgono: ∈

● unicità del limite. se lim f(x)=Ĩ R allora Ĩ=l

x x0

⟶

permanenza del segno. se l≠0 allora esiste un intorno U di x0 tale che f

● ristretta a U⋂(E\{x0}) ha lo stesso segno di l

locale limitatezza. se l∈R allora esiste un intorno U di x0 tale che f ristretta

● a U⋂E è limitata.

Somma e prodotto dei limiti

Siano E R, f,g:E R e

⊆ ⟶ x0∈R¯ un punto di accumulazione di E. Siano lim f(x)=l1 e

x x0

⟶

g(x)=l2 con l1,l2∈R¯. Allora valgono i seguenti fatti

lim x x0

⟶ Se la somma l1+l2 è ben definita allora la funzione somma f+g:E→R

● ammette lim e lim [f(x)+g(x)]= lim f(x)+ lim g(x)

x x0 x x0 x x0 x x0

⟶ ⟶ ⟶ ⟶

Se il prodotto l1l2 è ben definito allora la funzione prodotto fg:E→R

● ammette lim e lim [f(x)g(x)]= lim f(x)•lim g(x)

x x0 x x0 x x0 x x0

⟶ ⟶ ⟶ ⟶

Composizione dei limiti

Siano E R, F R f:E R e g:F→R tali che f(E) F e

⊆ ⊆ ⟶ ⊆ x0∈R¯ un punto di accumulazione di E.

f(x)∈R¯. Allora valgono i seguenti fatti:

Supponiamo che lim x x0

⟶

f(x)=l∈F e g è continua in tale punto allora la funzione composta

● se lim x x0

⟶

gof:E→R ammette lim e lim (gof)(x)=g(lim f(x))=g(l)

x x0 x x0 x x0

⟶ ⟶ ⟶

g(t)∈R¯ e se esiste un

● se lim f(x)=l è di accumulazione per F con lim

x x0 t l

⟶ ⟶

intorno U di x0 tale che f(x)≠l per ogni x∈U⋂E con x≠x0; allora la funzione

composta gof:E→R ammette lim e lim (gof)(x)=lim g(t)

x x0 x x0 t l

⟶ ⟶ ⟶

Nei casi in cui le operazioni tra l1 e l2 non siano ben definite in R¯, si parla di

forme indeterminate: (+∞)+(-∞); ∞/∞; 0•(∞); 0^0; ∞^0; 1^∞. //le ultime tre

provengono dalle prime quattro a partire da funzioni in forma di potenza

f(x)^g(x) tramite la riscrittura f(x)^g(x)=e^g(x)ln[f(x)].

Criteri di confronto tra i limiti

Primo criterio di confronto

Siano E R, f,g:E R e

⊆ ⟶ x0∈R¯ un punto di accumulazione di E. Supponiamo che f e g

e che f(x)≤g(x) ∀x∈E. Allora si ha lim f(x)≤lim

ammettano lim g(x).

x x0 x x0 x x0

⟶ ⟶ ⟶

Secondo teorema di confronto: teorema dei due carabinieri.

Siano E R, f,g,h:E R e

⊆ ⟶ x0∈R¯ punto di accumulazione di E. Supponiamo che

un

per ogni x∈E h(x)≤f(x)≤g(x) se lim g(x)=l∈R¯ allora anche f

h(x)=lim

x x0 x x0

⟶ ⟶

ammette lim e si ha lim f(x)=l.

x x0 x x0

⟶ ⟶

Notiamo che h:E→R è tale che lim h(x)=0 se e solo se lim |h(x)|=0.

x x0 x x0

⟶ ⟶

Regola infinitesimo per limitato

Siano E R, f,g:E R e

⊆ ⟶ x0∈R¯ un punto di accumulazione di E. Supponiamo che lim x x0

⟶

f(x)=0 e che g sia limitata. Allora lim f(x)g(x)=0.

x x0

⟶

Funzioni monotone e limiti

Funzioni monotone

Siano I un intervallo e f:I R una funzione

⟶

f è monotona crescente su I se per ogni x1,x2∈I con x1<x2 si ha

● f(x1)≤f(x2)

f è monotona decrescente se per ogni x1,x2∈I con x1<x2 si ha f(x1)≥f(x2)

●

OSS. se le disuguaglianze sui valori di f valgono con i segni di max e min stretto

[f(x1)</>f(x2)] si parla di funzioni strettamente crescenti e strettamente decrescenti.

OSS. geometricamente, le funzioni monotone crescenti hanno per grafico una linea che

cresce al crescere di x, in caso non contenga tratti orizzontali si tratta di stretta monotonia

crescente.

Limiti di funzioni monotone

Siano a,b R¯ con a<b e sia f: ]a,b[ R

∈ ⟶

● se f è monotona crescente su ]a,b[ si ha lim f(x)=inf f e lim f(x)=sup f

x a x b

⟶ ⟶

]a,b[ ]a,b[

● se f è monotona decrescente su ]a,b[ si ha lim f(x)=sup f e lim f(x)=inf f

x a x b

⟶ ⟶

]a,b[ ]a,b[

OSS. le funzioni monotone possono anche non essere continue.

OSS. il teorema vale anche nel caso in cui a=-∞ e b=+∞, cioè l’intervallo di

definizione di f è illimitato

OSS. la nozione di monotonia può essere formulata anche per funzioni definite su

sottoinsiemi generici E di R, considerando i limiti per x→supE/infE a patto che

essi siano di accumulazione per E.

Un primo limite notevole: sinx / x

Vogliamo mostrare che lim senx/x=1. Esso non può essere calcolato dal momento che

x x0

⟶

si presenta nella forma indeterminata 0/0.

Considerando l’angolo x=AÔM piccolo e positivo, un confronto tra le aree dei triangoli OMB

e OM’A con l’area del settore circolare 0AM mostra che ½ senxcosx<½x<½tanx da cui le

relazioni cosx<sex/x<1/cosx. Tali relazioni valgono anche per x piccolo e negativo dal

momento che cos(-x)=cosx e sen(-x)/-x=senx/x. Notiamo che per la continuità della funzione

coseno si ha lim cosx=1 e lim 1/cosx=1. Per il teorema dei due carabinieri otteniamo

x x0 x x0

⟶ ⟶

dunque che lim senx/x=1.

x x0

⟶

Un secondo limite fondamentale: il numero e

(1+ 1/x)^x=e dove e è un numero

Vogliamo mostrare che lim (1+ 1/x)^x=lim

x +∞ x -∞

⟶ ⟶

compreso tra 2 e 3 detto numero di Nepero. Notiamo che il limite si presenta

nella forma indeterminata 1^∞,

Fattoriale

Sia n∈N. Diciamo fattoriale di n il numero n! definito così: 0!=1, n!=n(n-1)(n-

2)...3•2•1 (1!=1, 2!=2, 3!=3•2=6 e così via).

Coefficienti binomiali

Siano n,k∈N con n≥k. Poniamo ( n = n! / . Notiamo che vale la

simmetria ( n = ( n k ) k!(n-k)! k )

n-k ).

Sommatoria

La seguente nozione abbrevia la scrittura di una somma: n

∑ a =a0+a1+a2+...+an.

k

k=0

Formula del binomio di Newton

Siano x,y∈R e n∈N. Vale la formula (x+y)^x= x^n-k•y^k.

Risulta utile inoltre la seguente relazione: da (1-q)(1+q+q^2+q^3+...

+q^n)=1-q^n+1 ricaviamo 1+q+q^2+q^3+...+q^n= 1-q^n-1 / 1-q relazione

valida per ogni q≠1 e n≥1.

Tornando al limite consideriamo la funzione n↦(1+1/n)^n con n≥1. Poichè +∞ è

punto di accumulazione per N\{0} siamo nelle condizioni di poter calcolare

lim ∞(1+1/n)^n, Vale che:

n +

⟶ la funzione n↦(1+1/n)^n è una funzione monotona strettamente

● crescente di n

applicando lo sviluppo del binomio si ha (1+1/n)^n=1+n 1/n+ n(n-

○ 1)/2! 1/n^2 + n(n-1)(n-2)/3! 1/n^3 +...+ 1/n^n = 1+1+1/2!+1/3!

(1-1/n)(1-2/n) +...+ 1/n! (1-1/n)(1-2/n)...(1- n-1/n). La somma a

secondo membro cresce al crescere di n coinvolgendo sempre più

termini. Di conseguenza n↦(1+1/n)^n è una funzione monotona

strettamente crescente di n.

si ha 2<(1+1/n)^n<3-ઠ dove ઠ>0.

● ○ si ha certamente n>1 e 2<(1+1/n)^n. Inoltre poiché i binomi 1-1/n, 1-2/n …

sono minori di 1 si ha (1+1/n)^n<1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!<1+1+1/2+1/2^2+...

+1/2^n-1. Calcolando la somma a secondo membro si ottiene

(1+1/n)^n<1+(1-1/2^n)/(1-1/2)=3-1/2^n-1 e dunque per ogni n>1

2<(1+1/n)^n<3

Grazie alla monotonia della successione esiste dunque il limite e=lim (1+1/n)^n e risulta

n +∞

⟶

2<e<3.

Per ottenere il limite con x R e x +∞, basta notare che se n≥1 è tale che n≤x≤n+1, si ha

∈ ⟶

1+(1+1/n)≤1+1/x≤1+1/n da cui (1+1/n)^n≤(1+1/x)^x≤(1+1/n)^n+1. Ma si ha

lim (1+1/n)^n+1=lim (1+1/n)^n (1+1/n)=e•1=e e

n +∞ n +∞

⟶ ⟶

lim (1+1/n+1)^n=lim [(1+1/n)^n+1]/[1+(1/n+1)]=e/1=e. Per il criterio del confronto si

n +∞ n +∞

⟶ ⟶

ha allora lim (1+1/x)^x=e.

x +∞

⟶

Per ottenere il limite con x R e x -∞, basta porre x=(y+1) con y>0 per ottenere (1+1/x)^x=(1-

∈ ⟶

1/y+1)^-y-1=[(y+1)/y]^y+1=(1+1/y)^y+1 per cui lim (1+1/x)^x=lim (1+1/y)^y+1=e.

x +∞ y +∞

⟶ ⟶

(1+x/n)^n=e^x valida per ogni x∈R. Essa si

Notiamo infine la relazione lim n +∞

⟶

ottiene ponendo y=n/x.

Ulteriori limiti fondamentali

Vogliamo vedere che lim [(e^x-1)/x]=1 e lim [ln(1+x)/x]=1. Notiamo che essi si

x 0 x 0

⟶ ⟶

presentano nella forma indeterminata 0/0.

Poniamo z=e^x -1 così che x=ln(1+z) e (e^x -1)/x=z/ln(1+z)=1/ln(1+z)^1/z. Si ha

lim (1+z)^1/z=lim (1+1/t)^t=e così che lim (e^x -1)/x=lim 1/ln(1+z)^1/z=1.

z 0 t⟶±∞ x 0 z 0

⟶ ⟶ ⟶

Dal limite dell’esponenziale deriva immediatamente anche il limite del logaritmo: se poniamo

ln(1+x)=t, si ricava x=e^t -1 ed il limite in questione diventa lim ln(1+x)/x=lim t/(e^t

x 0 t 0

⟶ ⟶

-1)=1.

Valgono le seguenti generalizzazioni.

lim (a^x -1)/x=lna e lim log (1+x)/x=log e. Infatti si ha lim (a^x

x 0 x 0 x 0

⟶ ⟶ ⟶

a a

-1)/x=lim [(e^xlna)-1]/x=lna e lim log (1+x)/x=lim ln(1+x)/xlna=log e.

x 0 x 0 x 0

⟶ ⟶ ⟶

a a

Limiti destro e sinistro

Siano E R, f,g:E R e

⊆ ⟶ x0∈R¯ un punto di accumulazione di E.

x0 è un punto di accumulazione sinistro per E se x0 è punto di

● accumulazione per E⋂]-∞,x0[

x0 è un punto di accumulazione destro per E se x0 è punto di

● accumulazione per E⋂]x0,+∞[

Se x0 è punto di accumulazione sinistro per E applicando la teoria dei limiti alla restrizione di f

all’insieme E ]-∞,x0[, se il limite per x x0 di tale restrizione esiste, esso si dice limite sinistro

⋂ ⟶

di f in x0 e si indica con lim f(x).

x x0-

⟶

Se x0 è punto di accumulazione destro per E applicando la teoria dei limiti alla restrizione di f

all’insieme E ]x0,+∞[, se il limite per x x0 di tale restrizione esiste, esso si dice limite destro di

⋂ ⟶

f in x0 e si indica con lim f(x).

x x0+

⟶

Per il limite destro e sinistro valgono definizioni e proprietà simili a quelle viste per il