Analisi e geometria 1 - Lezioni

Insiemi numerici

Numeri naturali, interi e razionali

N: numeri naturali 0, 1, 2, 3

Z: numeri interi relativi 0, +1, +2, +3

Q: numeri razionali \(\frac{m}{n} \quad m, n \in \mathbb{Z} \; \text{con} \; n \neq 0 \)

Numeri con la virgola ma finiti (allineamenti decimali finiti o con cicli periodici) 0,3 = \(\frac{3}{10}\) rappresentati geometricamente come segmenti x se x ∈ ℝ di punto P.

Numeri reali

R: insieme dei numeri reali (insieme di tutti gli allineamenti decimali) finiti + infiniti periodici o non periodici.

\( x^2 + y^2 = 3 \) x, y ∈ 2

Esistenza elementi neutri

Insiemi numerici N: numeri naturali 0, 1, 2, 3

Z: numeri interi relativi 0, ±1, ±2, ±3

Q: numeri razionali m_n m ∈ Z ovvero con m∈Z diverso con m e n primi tra loro numeri con cifre infinite ma limitati (allineamenti decimali finiti o allineati periodici). 0,3 = 3_. giustificati geometricamente sopra l'asse.

Assiomi e proprietà

X - a corrisponde così se x ∈ R gli punti P tra le cifre di O in x ul regombo OLI ci sono ir commensurabili l'equazione x²=2 non ha soluzione tra i numeri illudodoti razionali

1° indimostrabile deduzione su intamente uniesimecc dimostrazione deti songrooctmo proodiche morali.

\( u^2 = 2v^2 \) con m e n primi tra loro 1⁰ obm² = 2A² con m e un numero da sapere primo oli altro numerose m² è pari anche n² è pari.

Se m è pari cioè m=2K K if Z. m² 4K² = 2n² = 2n = 2K² n² = 2(K²) n² è pari n è pari.

M e n sono pari ma non possono essere perché devono essere primi tra loro sono punti sulla retta ai quali non corrisponde numeri razionali.

Risoluzione dei punti sull'asse

Per risolvere, dobbiamo allineare l'esistenza dei numeri R insieme di numeri reali con tutti gli allineamenti decimali o finiti o illimitati periodici o non periodici.

Si parla di retta reale contra esiste una curva può rientrare troncivia tra R k b_{_&} sottas x_k^&Yx ∣ y ∨ diversale se xe y = QQ non forma un "continuum". R "lo aggiungo".

Io cosa rimane in R e vi dobbiamo lungo riempire tutti i punti della retta?

Assiomi e proprietà nei campi

1. Associatività: (x+y) + z = x + (y+z) (xy)C + zw = (xy)z
2. Esistenza di elemento neutro: per somma x: X = x: X e per moltiplicazione por teprecto.
3. Esistenza di elementi inversi: per la somma k + (-x) = 0-x è detto opposto, per la moltiplicazione x · x^-1 = 1    ∃ x ≠ 0, x^-1 è detto reciproco.
4. Distributiva: x(y+z) = xy + xz

L'insieme avente queste proprietà viene detto corpo. ℝ è un campo    ℝ è un sottocampo di ℝ perché è un sottinsieme di ℝ. ℤ non è un campo.

Campi ordinati

Se x ∈ X ed un insieme s^′, si dice che x è un campo ordinato se esiste l≤ tra gli elementi.

1. xy ≥ 0 x≥0; y¹0 per l'assurdo x≥y e y≥z → x≥z proprietà transitiva
2. x ≤ y → x² ≤ yz
3. Se xy ≥ 0 ≥ x ≤ y &rg; per l&assurdo x ≥ y

ℝ e ℝ sono campi ordinati. Ad esempio, sono conseguenza di 1 e fino a Q.sup.1(-x) · x = x · y ; ( -xy) y = (-y) xy ; -x = y ; x - y ; y ≥ 0

x² ≥ 0; x² y = 0    in un campo ordinato xy ≥ y se non è vero che xy x^y = x · y^-1

X campo ordinato (ℝ [¹ g_ })ℰ ⊆ X (&exists; un sottinsieme di X)

m ∈ &exists; un maggiore dell'insieme ℰ se ∀x ∈ E x < e.jpg ℰ è limitato superiormente se esiste un maggiore ℰ è limitato se alebriamente un mollificante è l'uno indica un insieme esempio X:ℝ E: