Lezioni, Teoria Della Probabilità

Teoria della Probabilità e della Misurazione (TPM) AA 2012–13

Docente: Prof. Paolo Carbone, email: paolo.carbone@unipg.it Tel: 075 5853629

Docente: Prof. Antonio Moschitta, email: moschitta@diei.unipg.it Tel: 075 5853933

Orario di ricevimento (Carbone): Lunedì 10:30-11:30 e su appuntamento

Libri di testo (in alternativa):

• Dispense a cura del docente e – a complemento –:
• "Probability and Stochastic Processes," 2nd ed. Roy. D. Yates, David J. Goodman o
• "N. A. Weiss "Calcolo delle probabilità", Pearson-Addison Wesley, 2008

Prerequisiti: Analisi I

Programma:

• Elementi di teoria degli insiemi. Campi e σ-algebra di Borel. Spazi campione ed eventi aleatori. Assegnazione di probabilità: approccio classico, empirico, soggettivo. Probabilità condizionata, teorema della probabilità totale. Teorema di Bayes. Esempi ed esercizi.
• Elementi di calcolo combinatorio: disposizione, permutazioni, combinazioni. Prove ripetute: formula di Bernoulli. Esempi ed esercizi.
• Concetto di variabile aleatoria. Funzione di ripartizione, di densità di probabilità. Variabili aleatorie continue, discrete, miste. Momenti di variabili aleatorie: centrati e non centrati. Valor medio. varianza. Disuguaglianza di Chebyshev. Variabili aleatorie uniformi, Gaussiane, esponenziali. Esempi ed esercizi.
• Trasformazioni di variabile aleatoria. Determinazione della funzione di ripartizione. Trasformazioni lineari di variabili aleatorie. Esempi ed esercizi.
• Coppie di variabili aleatorie. Densità di probabilità congiunta e marginale. Variabili aleatorie indipendenti. Momenti di coppie di variabili aleatorie. Funzioni di ripartizione e di densità di probabilità condizionata. Esempi ed esercizi.
• Funzioni di due variabili aleatorie. Variabili aleatorie n-dimensionali. Proprietà della variabili aleatorie Gaussiane. Teorema limite centrale. Esempi ed esercizi.
• Processi aleatori. Momenti di un processo aleatorio. Processi aleatori stazionari in senso stretto e lato. Ergodicità. Transito di processi aleatori in sistemi istantanei. Esempi ed esercizi.
• Teoria della misurazione. Fondamenti di metrologia. Modello del processo di misurazione. Valutazione dell’errore dell’incertezza di misura. Legge di propagazione delle incertezze. Esempi ed esercizi.
• Esame: prova scritta e prova orale. La prova scritta consiste in 2 esercizi (uno da 7 punti e uno da 8 punti) e in 15 quiz con 4 possibili risposte, delle quali solo una è corretta (1 punto per ogni risposta corretta, -0.5 pt per ogni risposta errata, 0 punti per ogni mancata risposta). Durante il corso verranno risolti in aula alcuni esercizi e alcune prove di esame.

Probabilità

Definita u struttura matematica di base si deve scegliere il modo in cui assegnare le probabilità nel rispetto degli assiomi. Per fare ciò si hanno a disposizione diversi approcci:

Base empirica: si valuta la probabilità in base alle frequenze di occorrenza di un fenomeno.

Base classica: si valuta la probabilità in base al rapporto ^N(E)/_N(Ω) assunto che tutti gli eventi siano equiprobabili.

Base geometrica: (teoria della misura) usata nel caso in cui lo spazio campione è continuo. Si considera la σ-algebra di Borel dell'asse reale e si assegna la probabilità alle semirette del tipo [s,+∞) tramite una funzione integrale f(x):

• ∫_-∞^tf(x)dx = t

Legge delle partizioni

Gli eventi A₁, A₂, A₃,... formano una partizione dello spazio campionario Ω se sono incompatibili ed esaustivi, ovvero

1. A_m∩A_n=∅ ∪ m≠n
2. ∪ A_m = Ω

Se A₁, A₂,... sono una partizione dello spazio campionario Ω contenente N eventi, per ogni evento B si ha

P(B)=∑_m=1^N P(A_m∩B)

In particolare se E è un evento allora E ed E^c sono una partizione in Ω dalla legge quindi la prob. che accada un evento B è data da:

P(B)=B(B∩E) + P(B∩E^c)

FAMIGLIE DI VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

IN MOLTI CASI PRATICI CERTI COMPORTAMENTI PROBABILISTICI DI VARIABILI ALEATORIE SI PRESENTANO PIÙ E PIÙ VOLTE.

VARIABILI ALEATORIE BINOMIALI: B(m, p)

TALE MODELLO SI APPLICA NEL CASO IN CUI:

• SI EFFETTUINO PROVE IN SEQUENZA INDIPENDENTI L'UNA DALL'ALTRA
• IN OGNI PROVA CI SONO 2 POSSIBILI ESITI (SUCCESSO O INSUCCESSO)
• LA PROBABILITÀ DI SUCCESSO P NON CAMBIA TRA UNA PROVA E L'ALTRA

X = N° PROB. DI SUCCESSO NELLA SINGOLA PROVA m = NUMERO DI PROVE EFFETTUATE X = VARIABILE ALEATORIA CHE ESPRIME IL m° DI SUCCESSI IN m PROVE

P_X(x) = \(\binom{m}{x}\) p^x(1-p)^m-x 0 < p < 1, m ≥ 1

- SE m = 1 IL MODELLO PRENDE IL NOME DI VARIABILE ALEATORIA DI BERNOULLI: P_X(x) =

- P(m insuccessi) = (1-p)^m ; P(m successi) = p^m

- ESEMPIO: SOPRAVVIVENZA FINO A 70 ANNI m = 3 PERSONE p = PROB. DI SOPRAVVIVENZA p = 0,8 X = n° DI PERSONE VIVE A 70 ANNI

P(X=2) = \(\binom{3}{2}\) 0,8² (1-0,8)^3-2 P(X ≤ 1) = P_X(0) + P_X(1) P(X ≥ 1) = P_X(1) + P_X(2) + P_X(3) = 1 - P_X(0)

VARIABILI ALEATORIE DI POISSON

X È V.A. DI POISSON SE LA SUA PDF SI PUÒ ESPRIMERE

P_X(x) = \(\frac{\alpha^x e^{-\alpha}}{X!}\) X = 0,1,2, ... α > 0

LA V.A. DI POISSON DESCRIVE FENOMENI DI ARRIVO, IN PARTICOLARE SI SPECIFICA UN TASSO MEDIO DI ARRIVI AL SECONDO = λ E UN INTERVALLO TEMPORALE = T

IL m° DI ARRIVI NELL'INTERVALLO T HA UNA DISTRIBUZIONE DI POISSON CON PARAMETRO α = λ T

- ESEMPIO: SITO WEB CON λ = 2 ACCESSI: P(ANCHE 2 ACCESSI IN 0,25s) = P_X(0) = 0,5 = 0,057 P(NON AVERE PIÙ DI 2 ACCESSI IN 1s) = P(X ≤ 2) = P[T(X=0)+P(T=1)+P=2]

VARIABILE ALEATORIA UNIFORME DISCRETA

UNA V.A. È UNIFORME DISCRETA SE LA SUA PDF È UNA FUNZIONE COSTANTE RISP. A X

P_X(x) = \(\frac{1}{e-k+1}\) X = k, k+1,... e

ATTRIBUISCE LA STESSA PROBABILITÀ AD OGNI ELEMENTO DELL'INSIEME

Nel caso in cui si analizzino esperimenti che producono 2 variabili

aleatorie discrete X e Y la caratterizzazione probabilistica completa

avviene assegnando funzioni di 2 variabili.

In particolare si definisce f. di distribuzione cumulativa congiunta

F_X,Y(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)

Teorema (Proprietà della funzione di distribuzione cumulativa congiunta)

• 0 ≤ F_X,Y(x, y) ≤ 1
• F_X,Y(x, ∞) = F_X(x)
• F_X,Y(∞, y) = F_Y(y)
• F_X,Y(-∞, y) = F_X,Y(x, -∞) = 0
• Se x ≤ x₁
• y ≤ y₁ allora F_X,Y(x, y) ≤ F_X,Y(x₁, y₁)

Funzione di probabilità di massa congiunta

P(X, Y) = P(X = x, Y = y)

La coppia (X, Y) prende valori in S_X,Y = {(x, y) | P_X,Y(x, y) > 0}

* Esempio

• 0,84 (2,2)
• 0,09 (1,1)
• 0,06 (1,0)
• 0,01 (0,0)
• 0 altrove

Funzioni di distribuzione di massa marginali

Data la PDF congiunta P_X,Y(x, y) si vogliono determinare le PDF marginali P_X(x) e P_Y(y).

Ciò è sempre possibile in quanto la congiunta contiene in sé le informazioni per le marginali (non è vero il viceversa).

Esiste un teorema che ci permette di ricavare le marginali dalla congiunta

• P_X(x) = Σ P_X,Y(x, Y)
• P_Y(y) = Σ P_X,Y(X, y)