Appunti di Teoria della probabilità

Appunti relativi alle lezioni frontali di prof. Paolo Carbone ad opera del publisher Maxbrix. Costituiscono appunti estesi, completi ed esaustivi per l'esame sottostante relativo all' intero corso di Teoria della Probabilità. Contenuti: -Introduzione alle teoria insiemistica: insieme campione, insieme finito, insieme infinito, insieme numerabile, insieme non numerabile, sottoinsieme proprio, s. improprio, uguaglianza insiemistica, insieme complementare, operazioni fra insiemi, unione/intersezione numerabile, partizione, leggi di De Morgan. -Modelli probabilistici: definizioni di prova, esito, evento, Classe degli Eventi, Algebra, s-Algebra, esempi di Prival Algebra ed algebra minima a partire da uno spazio Campione, es. di Algebra non s, s-Algebra di Borel e sua costruzione, Spazio Misurabile, Spazio di misura, misura, misura di probabilità e assiomi di Kolmogorov, Probabilità dell'unione e del Complementare e rappresentazione grafica. -Legge di Probabilità: su base empirica/classica/aleatoria. -Probabilità Classica: legge delle partizioni, Probabilità condizionata, esempi, chain rule, esempi, legge delle Probabilità Totali, esempi, Formula di Bayes, indipendenza statistica fra 2 eventi, indipendenza statistica fra più di 2 eventi, esperimenti sequenziali -Calcolo Combinatorio: Regola Fondamentale dell'Enumerazione, esempi, disposizione semplice, permutazioni, combinazioni, coefficiente binomiale, disposizione con reinserimento, esempi relativi al poker. -Variabili Aleatorie Discrete: definizione di v.a. , Spazio indotto, quando una v.a. è discreta (definizione), p.d.f. di una v.a. discreta e sue proprietà, famiglie di v.a. discrete, Binomiali, Bernoulli, Poisson, Uniforme Discreta, def, di c.d.f e sue proprietà, v.a. Geometrica. -Indicatori di V.A.: moda, mediana, valore atteso/media, varianza, scarto tipo, coefficiente di variazione, proprietà del valore atteso. -Funzioni di V.A. trasformata: proprietà e teoremi, teorema Fondamentale del Valore Atteso, proprietà della varianza, momento di ordine n, momento centrale di ordine n, potenza statistica, tabella riassuntiva sulle famiglie di v.a. discrete ed indicatori relativi, p.d.f. discreta condizionata e proprietà, teorema della p.d.f. condizionata ad una partizione.7 -Indicatori della p.d.f. condizionata: valore atteso, varianza e applicazione del t.f.v.a., teorema del valore atteso data una partizione. -Coppie di Variabili Aleatorie: c.d.f. congiunta e marginali e proprietà, p.d.f. congiunta e proprietà, teorema del calcolo delle p.d.f. marginali per saturazione. -Funzioni di Coppie di v.a.: teorema di calcolo, esempi, Trasformazioni Notevoli di interesse pratico (selection diversity combinary, maxima Ratio combinary, equal gain combinary), teorema del valore atteso in 2 dimensioni, caso notevole con trasformazione somma, varianza in 2 dimensioni, covarianza, correlazione, v.a. ortogonali e incorrelate, relazione covarianza e correlazione, algoritmo di calcolo della covarianza. -Indicatori di Coppie di v.a.: Coefficiente di correlazione, p.d.f. congiunta condizionata. -Indipendenza statistica di v.a. discrete: definizione e conseguenze sugli indicatori, caso notevole= somma di v.a. indipendenti, convoluzione discreta. - V.a. continue: c.d.f. e proprietà, p.d.f. e proprietà, definizione di v.a. continua, indicatori e proprietà. - Famiglie di v.a. continue: Uniforme, Esponenziale Unilatera, Gaussiana (proprietà e tabulazione), Normale Standard e c.d.f., teorema per trasformazioni affine di gaussiane, teorema gaussiane e normale standard, normale complementare, centratura e normalizzazione, v.a. di Rayleigh, funzione delta, delta di Dirac, proprietà estrattiva del delta, gradino unitario e proprietà, unità di misura della p.d.f., scrittura delle discrete nel continuo. -V.a. Miste: definizione. -V.a. Trasformate: teorema fondamentale delle variabili aleatorie trasformate in 1 dimensione. -Condizionamento delle variabili aleatorie: teorema -Coppie di v.a. continue: c.d.f ripartizione, p.d.f. e kolmogorov -Coppie di v.a. continue trasformate: teorema fondamentale delle v.a. trasformate in 2 dimensioni, algoritmo di calcolo ed esempio, esempi di non applicabilità (se cadono le ipotesi) -p.d.f. congiunta condizionata: ad un evento, ad un' altra variabile aleatoria (nota la sua conoscenza), indicatori rispettivi e proprietà, teorema. -V.a. continue indipendenti: definizione e conseguenza rispetto al condizionamento. -Somma di variabili aleatorie continue: vl ateso, varinaza. -Somma di variabili aleatorie continue indipendenti: varianza, p.d.f. della somma attraverso l'integrale di convoluzione, convoluzione di due rettangoli, via grafica -Teorema Centrale del Limite (C.L.T.) : teorema, conseguenza, proprietà filtrante della convoluzione, Formula di De Moivre-Laplace, Disuguaglianza di Markov, Disuguaglianza di Chebyshev. -Processi Stocastici/aleatori/casuali : definizione di processo stocastico/aleatorio, ensemble di un processo aleatorio, processo armonico, classificazione di un processo in base alla natura del dominio/codominio, sequenza casuale, sequenza (i.i.d.) identicamente distribuita e indipedente, valore atteso di un processo stocastico, indicatori probabilistici e conseguenze. -Indicatori di p.s.: autocovarianza e significato, autocorrelazione. -Processi Stocastici Stazionari: stazionarietà in senso lato (wide sense), teorema per trasformazioni affini, Condizione Necessaria per Stazionarietà stretta e in senso lato, def. di stazionarità stretta, teorema, algoritmo di verifica, corollario della stazionarità stretta, rumore bianco gaussiano, processo gaussiano, teorema per i p.s. gaussiani, cross-correlazione, stazionarietà congiunta. -Vettori Casuali: def. pd.f. n-dimensionale e c.d.f., Notazione vettoriale, Valore atteso vettoriale, matrice di correlazione, matrice di covarianza, teorema di trasformazione affine per vettori casuali e indicatori, proprietà della matrice di covarianza per vettori casuali incorrelati

Appunti relativi alle lezioni frontali di prof. Paolo Carbone ad opera del publisher Maxbrix. Costituiscono appunti estesi per l'esame sottostante. Contenuti: -Somma di variabili aleatorie continue: vl ateso, varinaza. -Somma di variabili aleatorie continue indipendenti: varianza, p.d.f. della somma attraverso l'integrale di convoluzione, convoluzione di due rettangoli, via grafica -Teorema Centrale del Limite (C.L.T.) : teorema, conseguenza, proprietà filtrante della convoluzione, Formula di De Moivre-Laplace, Disuguaglianza di Markov, Disuguaglianza di Chebyshev. -Processi Stocastici/aleatori/casuali : definizione di processo stocastico/aleatorio, ensemble di un processo aleatorio, processo armonico, classificazione di un processo in base alla natura del dominio/codominio, sequenza casuale, sequenza (i.i.d.) identicamente distribuita e indipedente, valore atteso di un processo stocastico, indicatori probabilistici e conseguenze. -Indicatori di p.s.: autocovarianza e significato, autocorrelazione. -Processi Stocastici Stazionari: stazionarietà in senso lato (wide sense), teorema per trasformazioni affini, Condizione Necessaria per Stazionarietà stretta e in senso lato, def. di stazionarità stretta, teorema, algoritmo di verifica, corollario della stazionarità stretta, rumore bianco gaussiano, processo gaussiano, teorema per i p.s. gaussiani, cross-correlazione, stazionarietà congiunta. -Vettori Casuali: def. pd.f. n-dimensionale e c.d.f., Notazione vettoriale, Valore atteso vettoriale, matrice di correlazione, matrice di covarianza, teorema di trasformazione affine per vettori casuali e indicatori, proprietà della matrice di covarianza per vettori casuali incorrelati

Appunti relativi alle lezioni frontali de prof. Paolo Carbone ad opera del publisher Maxbrix. Costituiscono appunti estesi per l'esame sottostante. Contenuti: -Indicatori di Coppie di v.a.: Coefficiente di correlazione, p.d.f. congiunta condizionata. -Indipendenza statistica di v.a. discrete: definizione e conseguenze sugli indicatori, caso notevole= somma di v.a. indipendenti, convoluzione discreta. - V.a. continue: c.d.f. e proprietà, p.d.f. e proprietà, definizione di v.a. continua, indicatori e proprietà. - Famiglie di v.a. continue: Uniforme, Esponenziale Unilatera, Gaussiana (proprietà e tabulazione), Normale Standard e c.d.f., teorema per trasformazioni affine di gaussiane, teorema gaussiane e normale standard, normale complementare, centratura e normalizzazione, v.a. di Rayleigh, funzione delta, delta di Dirac, proprietà estrattiva del delta, gradino unitario e proprietà, unità di misura della p.d.f., scrittura delle discrete nel continuo. -V.a. Miste: definizione. -V.a. Trasformate: teorema fondamentale delle variabili aleatorie trasformate in 1 dimensione. -Condizionamento delle variabili aleatorie: teorema -Coppie di v.a. continue: c.d.f ripartizione, p.d.f. e kolmogorov -Coppie di v.a. continue trasformate: teorema fondamentale delle v.a. trasformate in 2 dimensioni, algoritmo di calcolo ed esempio, esempi di non applicabilità (se cadono le ipotesi) -p.d.f. congiunta condizionata: ad un evento, ad un' altra variabile aleatoria (nota la sua conoscenza), indicatori rispettivi e proprietà, teorema. -V.a. continue indipendenti: definizione e conseguenza rispetto al condizionamento.

Appunti relativi alle lezioni frontali de prof. Paolo Carbone ad opera del publisher Maxbrix. Costituiscono appunti estesi per l'esame sottostante. Contenuti: -Introduzione alle teoria insiemistica: insieme campione, insieme finito, insieme infinito, insieme numerabile, insieme non numerabile, sottoinsieme proprio, s. improprio, uguaglianza insiemistica, insieme complementare, operazioni fra insiemi, unione/intersezione numerabile, partizione, leggi di De Morgan. -Modelli probabilistici: definizioni di prova, esito, evento, Classe degli Eventi, Algebra, σ-Algebra, esempi di Prival Algebra ed algebra minima a partire da uno spazio Campione, es. di Algebra non σ, σ-Algebra di Borel e sua costruzione, Spazio Misurabile, Spazio di misura, misura, misura di probabilità e assiomi di Kolmogorov, Probabilità dell'unione e del Complementare e rappresentazione grafica. -Legge di Probabilità: su base empirica/classica/aleatoria. -Probabilità Classica: legge delle partizioni, Probabilità condizionata, esempi, chain rule, esempi, legge delle Probabilità Totali, esempi, Formula di Bayes, indipendenza statistica fra 2 eventi, indipendenza statistica fra più di 2 eventi, esperimenti sequenziali -Calcolo Combinatorio: Regola Fondamentale dell'Enumerazione, esempi, disposizione semplice, permutazioni, combinazioni, coefficiente binomiale, disposizione con reinserimento, esempi relativi al poker. -Variabili Aleatorie Discrete: definizione di v.a. , Spazio indotto, quando una v.a. è discreta (definizione), p.d.f. di una v.a. discreta e sue proprietà, famiglie di v.a. discrete, Binomiali, Bernoulli, Poisson, Uniforme Discreta, def, di c.d.f e sue proprietà, v.a. Geometrica. -Indicatori di V.A.: moda, mediana, valore atteso/media, varianza, scarto tipo, coefficiente di variazione, proprietà del valore atteso. -Funzioni di V.A. trasformata: proprietà e teoremi, teorema Fondamentale del Valore Atteso, proprietà della varianza, momento di ordine n, momento centrale di ordine n, potenza statistica, tabella riassuntiva sulle famiglie di v.a. discrete ed indicatori relativi, p.d.f. discreta condizionata e proprietà, teorema della p.d.f. condizionata ad una partizione.7 -Indicatori della p.d.f. condizionata: valore atteso, varianza e applicazione del t.f.v.a., teorema del valore atteso data una partizione. -Coppie di Variabili Aleatorie: c.d.f. congiunta e marginali e proprietà, p.d.f. congiunta e proprietà, teorema del calcolo delle p.d.f. marginali per saturazione. -Funzioni di Coppie di v.a.: teorema di calcolo, esempi, Trasformazioni Notevoli di interesse pratico (selection diversity combinary, maxima Ratio combinary, equal gain combinary), teorema del valore atteso in 2 dimensioni, caso notevole con trasformazione somma, varianza in 2 dimensioni, covarianza, correlazione, v.a. ortogonali e incorrelate, relazione covarianza e correlazione, algoritmo di calcolo della covarianza.

Appunti di teoria della probabilità per l'esame del professor Carbone su: Elementi di teoria degli insiemi. Spazi campione ed eventi aleatori. Assegnazione di probabilità: approccio classico, empirico, soggettivo. Probabilità condizionata. Teorema della probabilità totale. Teorema di Bayes. Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Concetto di variabile aleatoria. Funzione di ripartizione, di densità di probabilità. Variabili aleatorie discrete. Modelli: Bernoulli, geometrico, binomiale, Pascal, discreto uniforme, Poisson. Moda, mediana, valore atteso. Trasformazioni di variabile aleatoria. Valore atteso di una variabile aleatoria trasformata. Varianza e deviazione standard. Momenti centrali e non centrali. Probabilità di massa condizionata. Variabili aleatorie continue. Funzione di distribuzione cumulativa. Funzione densità di probabilità. Valore atteso. Modelli di probabilità: uniforme, esponenziale, Gaussiano. Variabili aleatorie miste. Trasformazioni di variabili aleatorie continue. Condizionamento di variabili aleatorie continue. Coppie di variabili aleatorie. Funzione di distribuzione cumulativa e funzione di densità di probabilità. Funzioni di distribuzione di massa marginali. Funzioni di densità di probabilità marginali. Funzioni di due variabili aleatorie. Valore atteso. Ortogonalità, correlazione, covarianza, coefficiente di correlazione. Condizionamento di due variabili aleatorie: mediante un evento, mediante una variabile aleatoria. Variabili aleatorie indipendenti. Gaussiana bivariata. Vettori casuali. Densità e distribuzione di probabilità. Funzioni di probabilità marginali. Funzioni di vettori aleatori. Valore atteso e matrica di correlazione. Vettori casuali Gaussiani. Teorema limite centrale. Formula di De Moivre-Laplace. Disuguaglianza di Markov e di Chebyshev. Processi aleatori. Momenti di processo aleatorio. Processi aleatori stazionari in senso stretto e lato. Cenni all' ergodicità dei processi aleatori. Unità didattica: Modulo 2 – Teoria della misurazione Fondamenti di metrologia. Sistema internazionale delle unità di misura. I processi conoscitivi empirici. Il contesto di un processo di misurazione e il suo modello metrologico. Valutazione ed espressione dell'incertezza di misura. Incertezza nelle misurazioni indirette.